Matrizen und Determinanten

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1 Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von Matrizen lassen sich die Berechnungen sehr vereinfachen So lassen sich Gleichungssysteme mit vielen Gleichungen oder Variablen sehr viel effizienter lösen (Gauss Eliminationsverfahren), sowie das Spatprodukt mit einer Hilfsdeterminante viel einfacher berechnen Neben der Anwendung in der reinen Mathematik findet die Matrizenrechnung vor allem in der Wirtschaft Verwendung, da Sie einen viel übersichtlicheren Umgang mit tabellarischen Werten und das Rechen mit ihnen ermöglicht Def 1 (Matrix): Unter einer Matrix A (pl Matrizen) versteht man eine rechteckige Anordnung/ ein rechteckiges Schema von Elementen, Einträge der Matrix genannt Eine m x n Matrix besteht aus m Zeilen und n Spalten Bei einer mxn Matrix ist mxn die Dimension der Matrix A a 31 a 32 a 33 a 42 a m1 a m2 a 1n a 2n a 3n a ii a ij a mn Jedes Element a ij der Matrix trägt zwei Indizes, i: 1; ;m und j: 1; ;n, die jedem Element der Matrix einen eindeutigen Platz zuweisen Wenn Zeile und Spalte des Eintrags übereinstimmen, heißt der Eintrag a ii und steht in der Diagonalen Man kann demnach sagen: Def 2 (Gleichheit): Zwei Matrizen A, B sind genau dann gleich, wenn all ihre Einträge übereinstimmen, wenn also gilt: a ij b ij, a ij A, b ij B besondere Matrizenformen: Spaltenvektor Zeilenvektor A a 11 a 21 a 31 a m1 A a 11 a 12 a 1n quadratische Matrix A a 11 a 12 a 21 a 1n a ii Anzahl der Zeilen und Spalten stimmen überein a nn Einheitsmatrix E A Einsen in der Hauptdiagonale, sonst Nullen Def 3 (Spur einer Matrix): Mit der Spur einer Matrix wird die Summe der Elemente entlang der Hauptdiagonale bezeichnet Es gilt also: n Spur A i1 a ii a 11 a 22 a 33 a ii a nn

2 Matrizen und Determinanten 2 Da eine Hauptdiagonale dieser Art nur bei quadratischen Matrizen zu finden ist, kann man auch nur die Spur quadratischer Matrizen angeben Def 4 (transponierte Matrix): Unter einer transponierten, oder auch gestürzten Matrix A T versteht man eine Matrix, die durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an der Hauptdiagonalen entsteht Die erste Zeile der transponierten Matrix ist somit die erste Spalte der Ausgangsmatrix Die Hauptdiagonale ist bei beiden gleich Bsp: A A T Def 5 (Symmetrische Matrix): Eine Matrix heißt symmetrisch, falls sie mit A T identisch ist Bsp: A A T Def 6 (Antisymmetrische Matrix): Eine Matrix heißt antisymmetrisch oder auch schiefsymmetrisch, wenn gilt: A A T Def 7 (Inverse Matrix): Die inverse Matrix A 1 erfüllt die Gleichung: A 1 A E Inverse Matrizen lassen sich entweder durch das Gausssche Eliminationsverfahren oder über Unterdeterminanten berechnen 2 Rechenregeln von Matrizen Def 8 (Addition und Subtraktion): Bei der Addition bzw der Subtraktion von Matrizen A, B werden die jeweiligen Elemente a ij und b ij addiert bzw subtrahiert Dies funktioniet natürlich nur, wenn die Matrizen vom gleichen Typ sind, dh in Zeilen und Spaltenanzahl übereinstimmen A B a 31 a 32 a 33 a 42 a m1 a m2 a 1n a 2n a 3n a ii a ij a mn b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 b 42 b m1 b m2 b 1n b 2n b 3n b ii b ij b mn a 11 b 11 a 12 b 12 a 13 b 13 a 21 b 21 a 22 b 22 a 23 b 23 a 31 b 31 a 32 b 32 a 33 b 33 a 42 b 42 a 43 b 43 a m1 b m1 a m2 b m2 a 1n b 1n a 2n b 2n a 3n b 3n a ii b ii a ij b ij a mn b mn (Analog bei Subtraktion) Bsp: Da bei der Addition von Matrizen die Elemente addiert werden und diese Rechenoperation bekanntermaßen kommutativ ist, ist auch die Addition von Matrizen kommutativ Gleiches gilt betragsmäßig für die Subtraktion

3 Matrizen und Determinanten 3 Def 9 (Multiplikation): Das Produkt zweier Matrizen A, B (auch skalares Matrixprodukt genannt) lässt sich genau dann bilden, wenn die Spaltenanzahl des linken Faktors mit der Zeilenanzahl des rechten Faktors übereinstimmt Die Matrix A muss also vom Typ m x n und B vom Typ n x p sein (m, p sind frei wählbar) Die durch Multiplikation entstandene Matrix ist dann vom Typ m x p Das Produkt wird berechnet: n A B C j 1 a ij b jk c ik, i 1,, m und k 1,, p Dabei ist c ik das Skalarprodukt der i- ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B a 11 a 12 Bsp: a 21 a b 11 b 12 b 13 a 11b 11 a 12 b 21 a 11 b 12 a 12 b 22 a 11 b 13 a 12 b b 21 b 22 b 23 a 21 b 11 a 22 b 21 a 21 b 12 a 22 b 22 a 21 b 13 a 22 b 23 Aufgabe: Zeige: Zur Veranschaulichung dient das Falksche Schema (siehe Bronstein, Bartsch, Wikipedia: Die Multiplikation zweier Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ, da im Gegensatz zur Addition bzw Subtraktion nicht einfach zwei Elemente der Matrizen A und B durch bzw - verknüpft werden, um auf ein Element von C (der Ergebnismatrix) zu schließen, sondern durch Bildung des Skalarprodukts zwei Elemente unterschiedlicher Zeilen und Spalten durch * verknüpft werden, die ihrerseits durch von anderen Produkten verknüpft werden und die Elemente der Matrix sowohl positive, als auch negative Zahlen sind Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar: a 31 a 32 a 42 a 33 a m1 a m2 a 1n a 2n a ii a 3n a ij a mn φa 11 φa 12 φa 13 φa 21 φa 22 φa 23 φa 31 φa 32 φa 42 φa 33 φa m1 φa m2 φa 1n φa 2n φa ii φa 3n φa ij φa mn φ A φ Bsp: Def 11 (Division): Die Division zweier Matrizen A und B erfolgt durch Multiplikation von A mit der Inversen Matrix von B Es gilt also: A/B AB 1 Def 11 (Rechenregeln für Matrizen): Es gelten Distributiv- und Assoziativgesetze, zb: A B C AB AC oder AB C A BC 3 Einführung Determinanten: Def 1 (Determinantenbegriff): Eine Determinante ist eine reelle oder komplexe Zahl, die einer Matrix A (n x n) eindeutig zugeordnet werden kann Bsp: A a 11 a 12 a 21 a det A a 11 a a 21 a 22 Bezeichnungen: D det(a) A Zur Berechnung einer 2x2 Determinante gilt: D a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21

4 Matrizen und Determinanten 4 Zur Berechnung einer 3x3 Determinante gilt: D a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Veranschaulichung der Formel durch die Regel nach Sarrus (auch Jägerzaunregel) a 11 a 12 a - 13 a - 11 a 12 - a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Anmerkung: Produkte der je 3 Elemente entlang der roten Diagonalen werden addiert, Produkte der grünen Diagonale werden subtrahiert! Achtung: Diese Regel ist nur für Determinanten mit maximal 3x3 Zeilen und Spalten anwendbar Höherrangige Determinanten müssen erst zu kleineren Unterdeterminante entwickelt werden, bevor die Regeln angewendet werden können Im nächsten Kapitel, wird der Laplace sche Entwicklungssatz behandelt, und wir werden sehen, dass es sich bei den eben vorgestellten Regeln um Spezialfälle handelt 4 Laplacescher Entwicklungssatz: Der Laplace sche Entwicklungssatz gestattet die Berechnung der Determinante von beliebigen Matrizen (nxn) Wir geben hier ein Beispiel für n 4 an, wobei nach der 3 Zeile entwickelt wurde D a 14 a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 a 33 a 24 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 31 a 12 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24 a 32 a 42 a 43 a 44 a 11 a 13 a 14 a 21 a 23 a 24 a 33 a 41 a 43 a 44 a 11 a 12 a 14 a 21 a 22 a 24 a 34 a 41 a 42 a 44 a 41 a 42 a 43 Beachte: Für die Vorzeichen der Unterdeterminanten gilt der Vorfaktor 1 ij (mit Index i-ter Zeile und j-ter Spalte), daraus folgt die sog Schachbrettregel : Um eine Determinante in eine Summe aus kleineren, berechenbaren Determinanten aufzuteilen, entwickelt man nach der μ-ten Zeile oder der τ-ten Spalte Sind die Determinanten höherrangig als 4x4, muss der Entwicklungssatz mehrmals hintereinander angewendet werden Es gilt: D det A D det A n τ1 a μτ n μ 1 a μτ A μτ (μ fest gewählt Entwicklung nach der μ-ten Zeile) A μτ (τ fest gewählt Entwicklung nach der τ-ten Spalte) Im obigen Beispiel wurde nach den Elementen der 3 Zeile entwickelt Es kann aber grundsätzlich nach jeder Zeile oder Spalte entwickelt werden Meistens werden die Determinanten nach der Zeile oder Spalte entwickelt, die die meisten Nullen enthält, da dann einige der Elemente (auf das obige Beispiel angewendet) a 31, a 32, a 33, a 34 Null sind und somit dann auch das Produkt mit der Unterdeterminante 0 wird (Terme

5 Matrizen und Determinanten 5 fallen weg) Entwickelt man geschickt nach Zeilen oder Spalten mit vielen Nullen, kann man den Rechenaufwand reduzieren Angenommen die Elemente a 32, a 34 hätten den Wert 0, dann berechnet sich die Determinante nur noch aus: D a 31 a 12 a 13 a 14 a 22 a 42 a 23 a 43 a 24 a 44 a 33 a 11 a 12 a 14 a 21 a 22 a 24 a 41 a 42 a 44 Nach dem Laplacesschen Entwicklungssatz kann jede noch so große Determinante als Summe berechenbarer Determinanten entwickelt werden Der Satz muss bei einer n x n Determinante mindestens n - 3 mal angewendet werden, da dann bereits die Regel nach Sarrus angewendet werden kann Prinzipiell kann man aber einfach weiter entwickeln da die Regel nach Sarrus nur einen Sonderfall des Laplaceschen Entwicklungssatzes darstellt Bsp: Entwicklung nach der 3 Zeile D Eigenschaften von Determinanten: Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, für deren Berechnung der Laplace sche Entwicklungssatz gilt Dieser gilt auch für 2x2 Determinanten (in diesem Fall sind die Unterdeterminanten dann Zahlen) Die Determinante wechselt ihr Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen oder zwei Spalten vertauscht: Aus einer Zeile oder Spalte kann man einen gemeinsamen Faktor vor die Determinante ziehen: Die Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile/Spalte das Vielfache einer anderen Zeile/Spalte addiert oder subtrahiert Durch solche Operationen gelingt es, Nullen in der Determinante zu erzeugen: (jeweils zweite Zeile minus erste Zeile) Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalglieder (also der Einträge in der Hauptdiagonalen): 0 a 22 a 23 a 11 a 22 a 33 0 a 22 a 33 a 11 a 22 a a 33 Die Determinante ist 0, wenn zwei Zeilen oder Spalten identisch oder bis auf einen Faktor gleich sind Bsp:

6 Matrizen und Determinanten 6 Cramersche Regel (nach Gabriel Cramer, 1704*) Mathematische Formel zur Lösung von Linearen Gleichungssystemen: Gegeben sei ein LGS: a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n b 2 a n1 x 1 a n2 x 2 a nn x n b n Ist das LGS eindeutig und explizit lösbar, so kann die Lösung bestimmt werden mit: x 1 D 1 D ; x 2 D 2 D ; x 3 D 3 D ; x n D n D wobei D die Ausgangsdeterminante des LGS ist (bei nicht eindeutig lösbaren LGS ist D0!) und D 1, D 2,, D n durch ersetzen der n-ten Spalte der Ausgangsdeterminante durch die Werte b 1 ; b 2 ; b 3 ; ;b n Beispiele: allgemein (3 Gleichungen): a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2 a 31 x 1 a 32 x 2 a 33 x 3 b 3 D D 2 a 31 a 32 a 33 a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 2 Gleichungen, 2 Variablen: Gegeben sind die Gleichungen: 3x 2y 5 2x 6y 7 Diese lassen sich in die Matrixschreibweise überführen: x y 5 7 Nach der Cramerschen Regel ergibt sich: x y Gleichungen, 3 Variablen: Gegeben sind die Gleichungen: x y 2z 7 2x 3y 5z 17 3x 2y z 12 Diese lassen sich in die Matrixschreibweise überführen: x y z

7 Matrizen und Determinanten 7 Nach der Cramerschen Regel sowie der Regel von Sarrus oder dem Laplacesschen Entwicklungssatz gilt: x y (24 51) z kann nun zeitsparend durch Rücksubstitution ermittelt werden: 3 2 2z 7 z 1 Es empfiehlt sich, eine Probe mit den ermittelten Ergebnissen durchzuführen Dieses Verfahren ist fehleranfällig Nutzbarkeit: Die Cramersche Regel ist in der Regel nur von theoretischem Nutzen, da der Rechenaufwand in höheren Dimensionen exorbitant ansteigt Dies lässt sich beispielhaft veranschaulichen: Für eine Determinante einer 2x2-Matrix müssen 2 Multiplikationen und eine Addition durchgeführt werden Nach Cramer muss man drei solcher Determinanten bilden und mit ihnen 2 weitere Divisionen durchführen 11 Rechenoperationen zur Lösung des LGS Für die Determinante einer 3x3-Matrix müssen 12 Multiplikationen und 5 Additionen durchgeführt werden Nach Cramer sind 4 Determinanten zu bilden plus 3 weitere Divisionen 71 Rechenoperationen 4x4-Matrix: 72 Multiplikationen und 23 Additionen für je 5 zu bildende Determinanten und 4 weitere Divisionen > 479 Rechenoperationen! weitere mathematische Bedeutung: Herleitung der Inversen einer Matrix mittels der Adjunkten (Abschnitt: Herleitung der Formel) Beweis der Cramerschen Regel: (Folie 33)

8 Matrizen und Determinanten 8 6 Der Gaußsche Algorithmus Ziel: Lösung linearer Gleichungssysteme Beispiel: 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten 3x 5y 8z x 8y 2z 1 8 x 4y 2z 3 1 Zuerst müssen alle Gleichungen im die Form ax by cz d überführt werden Weiterhin können durch geschicktes Vertauschen der Gleichungen spätere Rechenschritte vereinfacht (bzw erst möglich gemacht) werden (I) x 4y 2z 3 (II) 3x 5y 8z 5 ( 3) ( 1 4 ) (III) 1 4 x 8y 2z 1 2 Durch zeilenweise Manipulationen (Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen, Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl 0) wird das Gleichungssystem nun weiter vereinfacht Ziel ist dabei das Erreichen der Dreiecksform (siehe 3) Hierfür wird zuerst die Gleichung (I) mit einem Faktor multipliziert und zu (II) sowie (III) addiert, sodass die Variable x aus den Gleichungen (II) und (III) eliminiert wird (I) x 4y 2z 3 (II) 7y 14z 14 (III) 7y 3 2 z Nun muss nur noch y aus (III) eliminiert werden Hierfür wird die Gleichung (II) mit einem Faktor multipliziert und zu (III) addiert Anschließend ist die Dreiecksform erreicht (I) x 4y 2z 3 (II) 7y 14z 14 (III) 25 2 z Aus Gleichung (III) lässt sich nun z berechnen (III) z Eingesetzt in Gleichung (II) ergibt sich (II) 7y y 1 5

9 Matrizen und Determinanten 9 6 Setzt man nun z und y in (I) ein, so ergibt sich: (I) x x Damit besitzt das Gleichungssystem die Lösungsmenge: L 8 5, 1 5, 11 Bemerkungen: - Die Schritte 2 und 3 werden Vorwärtselimination, die Schritte 5 und 6 Rücksubstitution genannt - Manchmal ist das Gleichungssystem ohne anfängliches Vertauschen nicht lösbar z B wenn (I) die Gleichung 0x 5y 8z 5 wäre - Das Verfahren lässt sich auch auf Geleichungssysteme mit n N Gleichungen und Variablen anwenden 10 Übungsaufgabe: Ermitteln sie die Lösungsmengen des Gleichungssystems: (I) 7n 3k 5d 12 (II) n 2k 4d 5 (III) 4n k 3d 1 Lösung zur Kontrolle: n 1; k 0; d 1 Internetadressen: Gauß Algorithmus, speziell zeitsparende Schreibweise in erweiterter Koeffizientenmatrix: Weitere Beispiele, Übungsaufgaben (mit teilweise mehr als 3 Variablen): Übungsaufgaben: Lösen sie die Übungsaufgabe sowie das Beispiel zum Gaußschen Algorithmus nach dem obigen Prinzip: Wikipedia, mit weiteren Beispielen: Wikipedia, Regel von Sarrus (anderes Verfahren zur Berechnung von Determinanten von 3x3 Matrizen): Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen (Hinweis: in großen Matrizen vorher Nullen erzeugen ):