5.2 Rechnen mit Matrizen

Transkript

1 52 Rechnen mit Matrizen 52 Rechnen mit Matrizen 95 Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij ) Matrizen vom Typ m n, so setzt man A+B := (a ij +b ij ) Die Summe ist also wiederum eine m n-matrix 521 Beispiel = Die Skalarmultiplikation einer m n-matrix A = (a ij ) (mit Einträgen a ij aus einem Körper K) mit λ K ist durch Multiplikation sämtlicher Einträge mit λ definiert: λ A := (λ a ij ) 522 Beispiel 0 1 i 2+i i 2 i = 0 i 1+2i 1 2i 1 Die Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor haben wir bereits kennengelernt Allgemeiner kann man das Produkt von zwei Matrizen A und B mit Einträgen in demselben Körper K definieren, wenn die Anzahl Spalten von A mit der Anzahl Zeilen von B übereinstimmt Dabei gehen wir folgendermassen vor Nehmen wir an, A = (a ik ) sei vom Typ m s und B = (b kj ) vom Typ s n Jede Spalte von B bildet einen Vektor in R s, nämlich v j = b 1j b 2j b sj (j = 1,,n) Nun multiplizieren wir der Reihe nach A mit jeder dieser Spaltenvektoren und bilden aus den Vektoren Av 1,Av 2,,Av n, die jeweils aus m Einträgen bestehen, eine m n-matrix C Diese Matrix C ist das Produkt der Matrizen A und B 523 Beispiele i i = = ( 2+i 1+i 4 2+i )

2 96 Kapitel 5 Lineare Algebra Man findet den Eintrag der Produktmatrix C an der Stelle (i,j), indem man jeweils entsprechende Einträge der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B multipliziert und aufaddiert Also ist C = A B = ( s a ik b kj ) Ist n = 1,soistB nichts anderesalseinspaltenvektor, undindiesem Fallstimmt die Multiplikation mit der schon bekannten Multiplikation von Matrix mit Spaltenvektor überein 524 Beispiel k=1 1 4 = Es ist zu beachten, dass das Produkt von zwei Matrizen nur definiert ist, wenn die Typen der Matrizen zueinander passen! Ausserdem kommt es auf die Reihenfolge der Matrizen an, die Multiplikation ist nicht kommutativ, das heisst im allgemeinen gilt AB BA 525 Beispiele (3 1 1) ( ) 0 1 = = (5), aber 4 1 1, aber (3 1 1) = ( ) = Bemerkung Es gilt A(Bv) = (AB)v für alle v K n Beweis Wir überprüfen dies zunächst für spezielle Vektoren v Für j = 1,,n 0 bezeichne e j = denjenigen Vektor, der an der Stelle j den Eintrag 1 hat 1 0 und sonst lauter Nullen: Einerseits ist B e j = b 1j b 2j b sj Also ist A(Be j) gerade das Produkt von A mit der j-ten Spalte von B Andererseits ist (AB)e j gerade die j-te

3 52 Rechnen mit Matrizen 97 Spalte der Matrix AB, und die erhält man ebenfalls durch Multiplikation von A mit der j-ten Spalte von B Sei jetzt v = x 1 e 1 ++x n e n Dann zeigt eine kurze Rechnung: A(Bv) = A(x 1 Be 1 +x n Be n ) = x j A(Be j ) = j=1 x j (AB)e j = (AB)v qed j=1 Als nächstes soll nun noch die Inverse einer Matrix definiert werden 527 Definition Seien A,B Matrizen vom Typ n n mit Einträgen aus dem Körper K Die Matrix B ist die Inverse von A, falls AB = BA = E = Durch diese Eigenschaft ist B eindeutig bestimmt Man verwendet für die Inverse einer Matrix A üblicherweise die Notation A 1 a b 528 Bemerkung Eine 2 2-Matrix A = hat genau dann den Rang 2, c d d b wenn ad bc 0 ist Ist das der Fall, dann ist die Inverse A 1 = 1 ad bc c a Denn man rechnet nach, dass A A 1 = A 1 A 1 0 = Die Inverse der Matrix ( 0 ) A = lautet zum Beispiel A = = Allgemeiner gilt folgendes: 529 Satz Eine n n-matrix A besitzt genau dann eine Inverse, wenn der Rang von A gleich n ist Beweis Nehmen wir zunächst an, die Matrix A besitze eine Inverse A 1 Dann x 1 hat für jeden Vektor b R n das Gleichungssystem A = b eine eindeutige x n x 1 Lösung, nämlich = A 1 b Nach Bemerkung 56 über die Lösungsmengen x n linearer Gleichungssysteme folgt daraus, dass der Rang von A gleich n sein muss Sei jetzt umgekehrt der Rang von A gleich n Wenn wir A auf Zeilenstufenform bringen, erhalten wir also eine Matrix ganz ohne Nullzeilen, mit genau n Stufen Deshalb hat jedes der linearen Gleichungssysteme Av j = e j (für j = 1,,n) eine eindeutige Lösung v j R n Bilden wir aus den Vektoren v 1,,v n als Spalten eine

4 98 Kapitel 5 Lineare Algebra neue n n-matrix B, so gilt nach Konstruktion AB = E Die Matrix B ist also die Inverse von A qed Die Inverse einer vorgelegten quadratischen Matrix A von maximalem Rang kann mithilfe von elementaren Zeilenumformungen bestimmt werden Die n Gleichungssysteme A v j = e j für j = 1,,n müssen dazu simultan gelöst werden Dazu kann man folgendermassen vorgehen: Man bildet aus A und der Einheitsmatrix E vom selben Typ eine erweiterte Matrix M = (A E) Nun bringt man M durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform Weil A von maximalem Rang ist, erhält man in der linken Hälfte eine Matrix, deren Einträge in der Diagonalen gleich 1 und unterhalb der Diagonalen gleich Null sind Durch weitere geeignete elementare Zeilenumformungen kann man nun ausserdem erreichen, dass in der linken Hälfte auch die Einträge oberhalb der Diagonalen gleich Null sind Man erhält die Form M = (E B) Die Matrix B ist dann bereits die gesuchte Inverse 5210 Beispiel A = dann: M = Die erweiterte Matrix M = (A E) lautet Wir vertauschen die ersten beiden Zeilen und ziehen von der dritten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile ab: Jetzt addieren wir zur zweiten Zeile das Siebenfache der dritten Zeile und erhalten: Wir ziehen von der ersten Zeile das Dreifache der zweiten Zeile und das Fünffache der dritten Zeile ab und addieren schliesslich noch zur zweiten die dritte Zeile dazu Damit ist die gesuchte Form erreicht: Nun lesen wir aus der rechten Hälfte die Inverse ab: A 1 =

5 53 Determinanten Determinanten In diesem Abschnitt wird es darum gehen, Determinanten quadratischer Matrizen zu definieren Die Determinante liefert ua ein einfaches Kriterium dafür, ob eine vorgelegte Matrix invertierbar ist oder nicht Genauer werden wir am Ende des Abschnitts folgendes zeigen: 531 Satz Für jede quadratische Matrix A gilt: Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist für alle b R n eindeutig lösbar A ist invertierbar Rang(A) = n det(a) 0 Für jede natürliche Zahl n gibt es eine Abbildung det:m n n R, A deta, die wir jetzt durch Induktion über n definieren werden Für 1 1-Matrizen setzt man det(a) := a für alle a R Für 2 2-Matrizen definiert und schreibt man a b det = c d a b c d := ad bc Zum Beispiel ist also det 2 3 = 8 3 = Kommen wir jetzt zum Fall n = 3 Die Determinante einer 3 3-Matrix kann man als Kombination von drei 2 2-Unterdeterminanten beschreiben Genauer setzt man: a 11 a 12 a 13 deta = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 := a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 +a 31 a 12 a 13 a 22 a Beispiele = = = 4, a d e 0 b f 0 0 c = a b f 0 c = abc Wenn wir die in unserer Definition vorkommenden 2 2-Unterdeterminanten ausschreiben, erhalten wir folgende Beschreibung der Determinante: deta = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 21 a 12 a 33 +a 21 a 13 a 32 +a 31 a 12 a 23 a 31 a 13 a 22

6 100 Kapitel 5 Lineare Algebra Es handelt sich also um eine alternierende Summe, die aus 6 Produkten von je 3 Einträgen der Matrix A besteht Man kann sich davon überzeugen, dass in jedem einzelnen Produkt genau ein Eintrag aus jeder Zeile und jeder Spalte vorkommt Sei jetzt n > 3, und nehmen wir an, die Determinanten von sämtlichen (n 1) (n 1)-Matrizen sind bereits definiert Für n n-matrizen definieren wir nun wie im Fall n = 3 die Determinante durch Entwicklung nach der ersten Spalte Dazu sei A i1 diejenige (n 1) (n 1)-Matrix, die aus A durch Streichung der i-ten Zeile und der ersten Spalte entsteht Die Determinante von A i1 ist nach der Annahme bereits erklärt, und wir multiplizieren sie jetzt noch mit dem Eintrag a i1 aus der ersten Spalte Die alternierende Summe all dieser Teilergebnisse bildet die Determinante von A: 533 Definition deta := ( 1) i+1 a i1 deta i1 = a 11 det(a 11 ) a 21 det(a 21 )+ +( 1) n+1 a n1 A n1 i=1 534 Beispiel = = ( ) = = Bemerkung Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass sich die Determinante einer n n-matrix als alternierende Summe von n! Produkten aus je n Einträgen schreiben lässt Dabei kommt in jedem der Produkte genau ein Eintrag aus jeder Zeile und jeder Spalte vor Für eine obere Dreiecksmatrix ist es sehr einfach, die Determinante zu bestimmen: 536 Bemerkung Ist A eine obere Dreiecksmatrix, so stimmt die Determinante von A mit dem Produkt der Diagonaleinträge von A überein Beweis Wir zeigen die Behauptung durch vollständige Induktion nach der Anzahl der Zeilen n Für n = 1 ist nichts zu zeigen Sei jetzt n > 1 und die Behauptung für n 1 schon gezeigt Ist A eine obere Dreiecksmatrix vom Typ n n, können wir A in folgender Form schreiben: A = d 1 0 d d n

7 53 Determinanten 101 Durch Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte ergibt sich: d 2 deta = d 1 0 d n Da die Teilmatrix A 11 wiederum eine obere Dreiecksmatrix ist, folgt nun aus der Induktionsannahme deta = d 1 d 2 d n, wie behauptet qed WirkönnendieDeterminanteauchalsFunktionderSpaltenv 1,,v n dermatrix A auffassen und schreiben dann det(v 1,,v n ) 537 Satz Bezogen auf die Spalten hat die Determinantenfunktion folgende wichtige Eigenschaften: (i) Linearität in den Spalten: Für alle u,v R n, α R gilt: det(,u+v,) = det(,u,)+det(,v,) und det(,αu,) = α det(,u,) (bei festgehaltenen restlichen Spalten) (ii) Die Funktion ist alternierend: Vertauscht man zwei Spalten, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante: det(,u,,v,) = det(,v,,u,) für alle u,v R n (iii) Normierung: det(e 1,e 2,,e n ) = dete = 1 Durch diese drei Eigenschaften ist die Funktion det:m n n R bereits eindeutig festgelegt Beweis Die Aussage (iii) ergibt sich sofort durch vollständige Induktion Zu (i): Die Linearität in der ersten Spalte kann man durch Nachrechnen überprüfen, die Linearität in beliebigen Spalten folgt wiederum durch vollständige Induktion aus der rekursiven Definition der Determinante Zu (ii): Für n = 1 ist nichts zu zeigen Für n = 2 rechnen wir nach: b a d c = bc ad = (ad bc) = a b c d Sei jetzt n > 2: Vertauscht man zwei Spalten miteinander, die nicht an der ersten Stelle stehen, ergibt sich die Behauptung sofort aus der Induktionsannahme Schwieriger wird es, wenn wir die erste Spalte mit einer anderen vertauschen, weil die erste Spalte in der rekursiven Definition der Determinante eine Sonderrolle spielt Aber es reicht, die Vertauschung der ersten mit der zweiten Spalte zu untersuchen Alle anderen Vertauschungen lassen sich darauf zurückführen Wenn wir die in der Definition der Determinante einer n n-matrix A auftretenden Unterdeterminanten erneut nach der ersten Spalte entwickelt, erhalten wir eine Doppelsumme, die aus Termen der folgenden Art besteht: ±a i1 a k2 det(a i1 ) k2

8 102 Kapitel 5 Lineare Algebra Dabei steht (A i1 ) k2 für diejenige (n 2) (n 2)-Matrix, die wir aus A erhalten, wenn wir die erste und zweite Spalte, sowie die i-te und die k-te Zeile streichen Das Vorzeichen ist ( 1) i+k, falls k < i, und ( 1) i+k+1, falls k > i ist Vertauschen wir jetzt die ersten beiden Spalten von A, schreiben uns die Determinante der neuen Matrix auf und entwickeln wiederum alle Unterdeterminanten nochmals nach der ersten Spalte, erhalten wir eine Doppelsumme mit entsprechenden Termen Da jetzt erste und zweite Spalte vertauscht sind, wechseln die Rollen von i und k, und das bedeutet gerade, dass in jeder einzelne Summand das Vorzeichen wechselt qed Aus den Eigenschaften (i)-(iii) ergeben sich folgende nützliche Konsequenzen: 538 Folgerung Für die Determinantenfunktion gelten ausserdem noch diese Eigenschaften: (iv) Stimmen zwei Spalten einer quadratischen Matrix miteinander überein, so ist die Determinante der Matrix gleich Null (v) Zieht man von einer Spalte einer quadratischen Matrix ein Vielfaches einer anderen Spalte ab, so bleibt die Determinante der Matrix dabei unverändert Beweis (iv) Nach (ii) muss für eine Matrix mit zwei identischen Spalten gelten: det(a) = det(,v,,v,) = det(,v,,v,) und daher det(a) = 0 (v) Nehmen wir an, die Matrix A enthält die Spalten u und v, und wir ersetzen v durch v αu (für ein α R) Wegen der Linearität und Eigenschaft (iv) folgt dann: det(,v αu,,u,) = det(,v,,u,) αdet(,u,,u,) = det(,v,,u,) qed Die entsprechenden Aussagen gelten auch bezogen auf Zeilen: 539 Satz DieDeterminantenfunktion det:m n n Ristauchlinearundalternierend in den Zeilen Stimmen zwei Zeilen in einer Matrix überein, so ist die Determinante der Matrix gleich Null Zieht man von einer Zeile einer Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile ab, so bleibt die Determinante dabei unverändert Enthält eine Matrix viele Nullen, kann die Berechnung der Determinante sich vereinfachen, wenn man nicht nach der ersten sondern nach einer der anderen Spalten oder nach einer geeigneten Zeile entwickelt Dabei macht man sich den folgenden Entwicklungssatz zunutze: 5310 Satz Die Determinante einer n n-matrix A = (a ij ) kann man wahlweise auf eine der folgenden Arten berechnen: Entwicklung nach der j-ten Spalte (für ein j {1,,n}) deta = ( 1) i+j a ij deta ij i=1 (Dabei bezeichnet A ij diejenige (n 1) (n 1)-Matrix, die durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte aus A entsteht)

9 53 Determinanten 103 Entwicklung nach der i-ten Zeile (für ein i {1,,n}) deta = ( 1) i+j a ij deta ij j=1 Auf den Beweis verzichten wir an dieser Stelle Aber hier sind zur Illustration einige Beispiele 5311 Beispiele (a) Die folgende Determinante wird durch Entwicklung nach der letzten Zeile berechnet: = = 12 (b) Die Determinante der folgenden 4 4-Matrix berechnen wir durch Entwicklung nach der zweiten Spalte, weil darin zwei Nullen vorkommen: deta = = ( 1) Die zweite Teildeterminante ist gleich Null, weil darin die erste und die dritte Spalte übereinstimmen Die erste Teildeterminante entwickeln wir nun weiter nach der dritten Zeile und erhalten: deta = ( 3) = 9 Eine weitere wichtige Eigenschaft der Determinantenfunktion wird durch den folgenden Multiplikationssatz beschrieben, der hier wiederum ohne Beweis angegeben werden soll: 5312 Satz Sind A,B M n n, so gilt: Ist A invertierbar, so folgt insbesondere: det(ab) = det(a) det(b) det(a) det(a 1 ) = det(e) = 1 Auch hier sollen einige Beispiele zur Illustration genügen: 5313 Beispiele (a) Ist A = Also gilt ( ,soistA = deta 1 = 1 2 = 1 deta ) = ( )

10 104 Kapitel 5 Lineare Algebra (b) Sind A und B Diagonalmatrizen mit Einträgen a 1,,a n bzw b 1,,b n auf der Diagonalen und Nullen abseits der Diagonalen, so ist das Produkt von A und B wiederum eine Diagonalmatrix, nämlich: a 1 b 1 0 A B = a n b n Also gilt hier det(ab) = a 1 b 1 a n b n = (a 1 a n )(b 1 b n ) = det(a)det(b) (c) Ist B eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen b 1,,b n und A eine beliebige n n-matrix mit den Spalten v 1,,v n, so gilt wegen der Linearität in den Spalten det(ab) = det(b 1 v 1,,b n v n ) = b 1 b n det(v 1,,v n ) = det(b)det(a) Mithilfe von Unterdeterminanten kann man auch die Inverse einer invertierbaren Matrix berechnen Ist A eine n n-matrix mit Einträgen a ij, so definieren wir dazu B = (b ij ) als die Matrix mit den Einträgen b ij := ( 1) i+j deta ij (für 1 i,j n) Hier bezeichnet A ij wiederum diejenige (n 1) (n 1)-Matrix, die man aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhält Nun bilden wir die transponierte Matrix B t = (b ji ) 1 i,j n, indem wir Zeilen und Spalten vertauschen und setzen à := Bt Man spricht hier auch von der zu A adjunkten Matrix Dann gilt: 5314 Bemerkung A à = à A = det(a) E Beweis Es ist zu zeigen, dass der Eintrag c ij der Produktmatrix A à an der Stelle i,j gleich det(a) ist, falls i = j, und 0 sonst Für i = j erhalten wir nach dem Determinantenentwicklungssatz (durch Entwicklung nach der i-ten Zeile): Und für i j ist c ii = a ik b ik = k=1 c ij = ( 1) i+k a ik deta ik = det(a) k=1 a ik b jk = k=1 ( 1) i+k a ik deta jk k=1 Wiederum nach dem Determinantenentwicklungssatz stimmt dies überein mit der Determinante derjenigen Matrix, die man aus A erhält, indem man die j-te Zeile durch die i-te Zeile von A ersetzt Weil die so entstandene Matrix aber zwei gleiche Zeilen enthält (denn die ursprünglich i-te Zeile kommt ja nun zweimal vor), verschwindet ihre Determinante Also ist für i j wie gewünscht c ij = 0 Entsprechend kann man argumentieren, um zu zeigen, dass die Produktmatrix à A mit det(a) E übereinstimmt qed

11 53 Determinanten Folgerung Eine n n-matrix A ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist Beweis Ist A invertierbar, dann gilt nach dem Multiplikationssatz det(a A 1 ) = (deta)(deta 1 ) = 1 Daraus folgt deta 0 wie behauptet Sei jetzt umgekehrt deta 0 Dann hat A eine Inverse, nämlich A 1 1 = det(a)ã qed Beispiele Ist A = 0 3 0, so ist B = Also /2 0 1/2 ist A 1 = det(a)ã 1 = 0 1/ Sei A = Dann ist det(a) = 17 Die Berechnung sämtlicher 2 2-Unterdeterminanten liefert: B = = , und daher A 1 =