Der Rang einer Matrix A. Beispiel

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1 Der Rang einer Matrix A ist gleich Anzahl der Zeilen ungleich 0, nachdem die Matrix durch elementare Zeilenoperationen in Zeilenstufenform gebracht worden ist. Bezeichnung: ranga oder rga. Beispiel A = hat Rang 2, da sie sich durch elementare Zeilenumformungen gemäÿ dem GauÿAlgorithmus in die Matrix überführen lässt. matrizen13b.pdf, Seite 1

2 Eigenschaften Der Rang einer m nmatrix A... ist minm, n, also kleiner gleich der Zahl der Zeilen und kleiner gleich der Zahl der Spalten, ändert sich nicht unter elementaren Zeilenoperationen, ändert sich nicht unter elementaren Spaltenoperationen Vertauschen zweier Spalten, Multiplikation einer Spalte mit einer Konstanten 0, Addition einer Spalte zu einer anderen Spalte, ist gleich der maximalen Zahl linear unabhängiger Zeilen, ist gleich der maximalen Zahl linear unabhängiger Spalten, ist gleich dem Rang der Transponierten A T. rgab rga und rgab rgb matrizen13b.pdf, Seite 2

3 Bemerkung / Folgerung Bei der Bestimmung des Ranges dürfen an einer Matrix A auch elementare Spaltenopertionen durchgeführt werden. Beispiel rg = rg = rg = rg = rg = rg = 2 angewandte Operationen: Letzte Spalte mal 1 2, Vertauschen der 1. und 4. Spalte, Vertauschen der 2. und 3. Zeile, 3. Zeile minus 1. Zeile, 3. Zeile minus 2. Zeile matrizen13b.pdf, Seite 3

4 Warnung Spaltenoperationen sind nur dann zulässig, wenn es ausschlieÿlich um die Bestimmung des Ranges geht. Dies hängt damit zusammen, dass der Rang von A gleich dem der Transponierten A T ist. Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen und der Invertierung von Matrizen kommt später dürfen dagegen die betrachteten Koezientenmatrizen ausschlieÿlich zeilenweise umgeformt werden. matrizen13b.pdf, Seite 4

5 Rang und lineare Gleichungssysteme Mit dem Rang einer m nmatrix A und dem Rang der erweiterten KoezientenMatrix A b die dann eine m n + 1Matrix ist lassen sich Aussagen über die Anzahl der Lösungen des linearen Gleichungssystems Ax = b treen. Der Rang von A gibt an, wie viele Unbekannte bei der Lösung des Gleichungssystems Ax = b eindeutig festgelegt sind. Hat man die erweiterte Koezientenmatrix A b in die Zeilenstufenform Ã, b gebracht, so ist das LGS genau dann nicht lösbar, wenn es eine Zeile gibt, in der à nur Nullen enthält, aber der entsprechende Koezient von b ungleich Null ist. Das bedeutet aber, dass der Rang von A b echt gröÿer dem Rang von A ist. Also gilt Ax = b nicht lösbar rga b > rga. matrizen13b.pdf, Seite 5

6 Zusammenhang zwischen Rang und Lösungen eines LGS Für das LGS Ax = b mit der m nmatrix A und b R m gilt Das LGS ist genau dann lösbar, wenn für die erweiterte Koezientenmatrix A b gilt rga b = rga. Insbesondere: Ist rga = m, so ist Ax = b für alle b R m lösbar. Die Lösung ist eindeutig, wenn rga = n. Ist rga b = rga = k, so können n k Unbekannte als freie Parameter beliebig gewählt werden. Spezialfall: Für eine quadratische n nmatrix A mit rga = n hat das LGS Ax = b für jedes b R n eine eindeutige Lösung. matrizen13b.pdf, Seite 6

7 Beispiel Mit A = rga = rg = rg sowie rga b = rg siehe vorheriges Beispiel. und b = = rg = rg ist = 2 = 2 Es folgt, dass das LGS Ax = b lösbar ist. Es gibt n = 3 Unbekannte = Zahl der Spalten von A, von denen rga = 2 durch das LGS festgelegt werden. Somit enthält die allgemeine Lösung einen = 3 2 freien Parameter. matrizen13b.pdf, Seite 7

8 Beispiel 2 Mit b = Beispiel ist rga b = rg = rg und A = = rg = rg aus dem letzten / = 3 Wegen rga = 2 < rga b = 3 hat das LGS Ax = b jetzt keine Lösung. matrizen13b.pdf, Seite 8

9 Beispiel 3 Mit A = rga = rg = rg ist = rg = rg / = 3 Ist b R nun ein beliebiger Vektor, so hat die erweiterte 3 Koezientenmatrix A b drei Zeilen, also ist rga b 3. Damit ist das LGS Ax = b in jedem Fall lösbar. Wegen rga = 3 werden dabei alle 3 Unbekannten eindeutig festgelegt, d. h. das LGS ist für beliebiges b R eindeutig 3 lösbar. matrizen13b.pdf, Seite 9

10 Inverse Matritzen Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden: ax = b x = b a = a 1 b. Verallgemeinerung auf Ax = b mit einer n nmatrix A: Wenn es eine Matrix A die Kehrmatrix 1 1 gibt mit A A 1 A = I n, so kann damit das LGS Ax = b durch Umstellung der Gleichung gelöst werden: Ax = b A 1 Ax = A 1 b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b matrizen13b.pdf, Seite 10

11 Beispiel Mit A = ist BA = AB = I 2 = und B = also ist B = A 1 die Kehrmatrix von A. Für die Lösung x = x1 x 2 Beweis durch nachrechnen, des LGS Ax = 1 1 gilt dann, indem beide Seiten der Gleichung von links mit B multipliziert werden: 2 3 x1 1 = x 2 x x1 1 = 0 1 x = x 2 x1 x = 1 matrizen13b.pdf, Seite 11

12 Denition Eine quadratische n nmatrix heiÿt invertierbar, wenn es eine n nmatrix A gibt mit 1 A 1 A = AA 1 = I n. A 1 ist dann die Inverse von A. Beispiel = bzw = Bemerkung Aus der Denition folgt unmittelbar: Ist B die Inverse von A, so ist A die Inverse von B Man sagt: A und B sind zueinander invers. matrizen13b.pdf, Seite 12

13 Gruppeneigenschaft Sind A und B invertierbar, so auch AB mit Inversem AB 1 = B 1 A 1 Achtung: umgekehrte Reihenfolge!. Es folgt, dass die Menge aller invertierbaren n nmatrizen eine nichtkommutative Gruppe bildet mit neutralem Element I n. Aus der allgemeinen Gruppeneigenschaft folgt Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt. Es genügt, eine der beiden Bedingungen nachzuprüfen: Aus A 1 A = I n folgt automatisch AA 1 = I n und umgekehrt. Achtung: Die obige Argumentation funktioniert nur bei quadratischen Matrizen. Bei m nmatrizen mit m n ist die Betrachtung von Inversen nicht sinnvoll. matrizen13b.pdf, Seite 13

14 Berechnung der Inversen Ist b k = b b n1 die kte Spalte von B = A 1, so folgt aus AB = I n und der Denition der Matrixmultiplikation bei Betrachtung der kten Spalte Ab k = e k kter StandardEinheitsvektor. Beispiel: Aus b11 b B = 12 = b 21 b b11 b 12 = b 21 b 22 b11 1 = b und b12 1 folgt = b matrizen13b.pdf, Seite 14

15 Inverse Matrix mit GauÿAlgorithmus Zur Berechnung von A können mit dem GauÿAlgorithmus 1 die Gleichunssysteme Ab 1 = e 1, Ab 2 = e 2,...,Ab n = e n simultan gelöst werden. Dazu startet man mit der erweiterten Koezientenmatrix A I n und transformiert diese durch elementare Zeilenumformungen in I n A. 1 Beispiel A = A 1 = Im letzten Schritt wurde 2fache der zweiten Zeile von der ersten Zeile subtrahiert, um den Koezienten a 12 oberhalb der Diagonale zu Null zu machen. matrizen13b.pdf, Seite 15

16 Beispiel A = A 1 = Grün: Im nächsten Schritt zu 0 machen, rot: zu 1 machen, blau: wird verändert, fett/rot: Pivotelement matrizen13b.pdf, Seite 16

17 Algorithmus zur Invertierung von A = a ij Starte mit der erweiterten Koezientenmatrix A I n. for j=1; j<=n; j++ { Ist a jj = 0, so wähle i > j mit a ij 0 und vertausche die Zeilen i und j. Ist dies nicht möglich, so ist A nicht invertierbar. multipliziere jte Zeile mit 1/a jj. Dadurch wird a jj zu 1 for i=j+1; i<=n; i++ subtrahiere von der iten Zeile das a ij fache der jten Zeile. Dadurch werden die Koezienten unterhalb a jj zu 0 } for j=n; j>=2; j for i=1; i<j; i++ subtrahiere von der iten Zeile das a ij fache der jten Zeile. Dadurch werden die Koezienten oberhalb a jj zu 0 Das Ergebnis ist I n A 1. matrizen13b.pdf, Seite 17

18 Anwendungen Muss man ein LGS Ax = b für verschiedene b und die selbe Matrix A lösen, ist es oft sinnvoll, A zu berechnen 1 Bsp. Umrechnung RGBYPbPrFarben Umkehrung von linearen Transformationen Dekodierung von Daten Beispiel Die Matrix A = beschreibt in der Ebene eine Linksdrehung um 45 o kombiniert mit einer gleichmäÿigen Streckung um den Faktor 2. A 1 = beschreibt dann eine Rechtsdrehung um 45 o kombiniert mit einer Stauchung um den Faktor 2. matrizen13b.pdf, Seite 18

19 Drehstreckung mit A = matrizen13b.pdf, Seite 19

20 Bemerkung Nicht jede quadratische Matrix A, die ungleich der Nullmatrix 0 n,n ist, ist invertierbar. Es gilt: A ist invertierbar Das LGS Ax = b ist für jedes b R n eindeutig lösbar Begründung für : Ist das LGS immer eindeutig lösbar, so kann die inverse Matrix mit dem GauÿAlgorithmus berechnet werden. Für : Existiert A 1, so ist die Lösung des LGS gegeben durch x = A 1 b. matrizen13b.pdf, Seite 20

21 Invertierbarkeit und Rang Weiterhin gilt für eine n nmatrix: Das LGS Ax = b ist für jedes b R n eindeutig lösbar genau dann, wenn rga = n. Das heiÿt, eine n nmatrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang = n hat. Matrizen mit dieser Eigenschaft quadratisch, invertierbar, voller Rang werden auch als regulär bezeichnet. Beispiel A = ist nicht regulär und damit auch nicht invertierbar, da rga = rg = rg = 1 < matrizen13b.pdf, Seite 21

22 Beispiel: Inverse Matrix in Z 3 2 Daten werden in Bitfolgen mit jeweils 3 Bit unterteilt, die als Vektoren x Z aufgefasst werden. 3 2 Die Daten werden verschlüsselt, indem x mit der Matrix A = multipliziert wird, d. h. die verschlüsselten Daten haben die Form y = Ax Z 3 2, z. B. wird x = zu y = Ax = = verschlüsselt. Da Entschlüsselung erfolgt nun mit der inversen Matrix A 1 : Aus y = Ax folgt x = A 1 y. Die Berechnung von A erfolgt wie bei einer Matrix mit 1 reelllen Koezienten mit dem GauÿAlgorithmus. Man erhält A 1 = und damit z. B = matrizen13b.pdf, Seite 22

23 LRZerlegung In praktischen Anwendungen wird oft anstelle der inversen Matrix die LRZerlegung auch LUZerlegung genannt einer Matrix A berechnet: Die quadratische Matrix A wird dargestellt als Produnkt A = LR, wobei L eine untere und R eine obere Dreiecksmatrix ist. R ist dabei die Matrix, die aus A durch die Umformungen im GauÿAlgorithmus entsteht, L speichert die Informationen über die durchgeführten Zeilenoperationen. Beispiel: = matrizen13b.pdf, Seite 23

24 Determinante Die Determinante A = det A einer quadratischen Matrix A ist eine reelle Zahl mit der Eigenschaft A invertierbar det A 0. Die Berechnung erfolgt rekursiv: deta 11 = a 11 für eine 1 1Matrix, a b det = ad bc für eine 2 2Matrix, c d deta ij = n j=1 1j+1 a 1j det A 1j = a 11 det A 11 a 12 det A 12 +a 13 det A 13 ±...±a 1n det A 1n für eine n nmatrix, wobei A ij die Matrix bezeichnet, die entsteht, wenn man aus A die ite Zeile und die jte Spalte entfernt. matrizen13b.pdf, Seite 24

25 Beispiel 1 det = 1 det = = det det = = 0. Es folgt, dass die Matrix nicht invertierbar ist matrizen13b.pdf, Seite 25

26 Beispiel 2 Für welche Werte des Parameters p R ist die Matrix A p = p p p invertierbar bzw. das LGS A p x = b für alle b R eindeutig 3 lösbar? Dazu muss gelten det A p = p det p 1 1 p det p = pp p p = p 3 p 0 p { 1, 0, 1}. + det 1 p 1 1 Es folgt, dass A p für alle p mit p 0 und p ±1 invertierbar ist. matrizen13b.pdf, Seite 26

27 LaplaceEntwickling der Determinante Die angegebene Formel ist die LaplaceEntwicklung nach der ersten Zeile. Analog ist eine Entwicklung nach der iten Zeile für beliebiges i möglich: det A = n 1 i+j a ij det A ij, j=1 sowie nach der jten Spalte: n det A = 1 i+j a ij det A ij i=1 Beispiel Entwicklung nach 3. Spalte det = matrizen13b.pdf, Seite 27

28 LaplaceEntwickling in Worten Die Einträge a ij einer ausgewählten Zeile oder Spalte der Matrix A werden durchlaufen und jeweils mit der Determinante der n 1 n 1Untermatrix A ij multipliziert, die entsteht wenn aus A die i-te Zeile und die j-te Spalte entfernt wird. Über die so berechneten n Werte je einer für jeden Koezienten der ausgewählten Zeile bzw. Spalte wird die alternierende d. h. mit wechselnden Vorzeichen Summe gebildet. Die Wahl der Vorzeichen erfolgt dabei nach einem Schachbrettmuster: matrizen13b.pdf, Seite 28

29 Beispiel Entwicklung nach der 2. Spalte det = 2 det det = 2 7 = 5 Die Summanden für die beiden Nulleinträge der Entwicklungsspalte sind Null und fallen daher weg, die zugehörigen Unterdeterminaten brauchen nicht berechnet zu werden. Grundsätzlich empehlt es sich, die Determinante nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln, die möglichst viele Nullen enthält. matrizen13b.pdf, Seite 29

30 Dreiecksmatrizen Besonders einfach wird die Berechnung der Determinante bei einer oberen Dreiecksmatrix a ij mit a ij = 0 für j < i In diesem Fall ist folgt aus der Entwicklung nach der 1. Spalte a 11 a a 1n... det 0... n = a a nn = a ii a nn Analog ist deta ij = n a i=1 ii auch für eine untere Dreiecksmatrix mit a ij = 0 für i > j. Insbesondere ist det I n = 1. i=1 matrizen13b.pdf, Seite 30

31 Eigenschaften der Determinante Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante. Die Determinante ändert sich nicht, wenn zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert wird. Mulitipliziert man eine Zeile mit dem Skalar c, so multipliziert sich die Determinante mit c. Es folgt detca = c n det A jede Zeile wird mit c multipliziert. Alle Eigenschaften bleiben gültig, wenn Zeile durch Spalte ersetzt wird. deta T = det A. detab = det A det B. det A 1 = 1 det A, falls A invertierbar. matrizen13b.pdf, Seite 31

32 Berechnung der Determinante Bei einer voll besetzten n nmatrix d. h. alle Koezienten sind 0 erfordert die Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte über n! Multiplikationen. Transformiert man die Matrix durch elementare Zeilen bzw. Spaltenoperationen zunächst in eine Dreiecksmatrix, so kann die Determinante mit On 3 Rechenoperationen berechnet werden. Daher wird dieses Verfahren bei groÿen Matrizen in der Praxis vorgezogen. Beispiel mit Zeilenoperationen nach Gauÿ = = = = 0 matrizen13b.pdf, Seite 32

33 Beispiel 2 = = = = = = 5. Im 1. Schritt wurden die Zeilen 2 und 3 vertauscht, wodurch sich das Vorzeichen ändert, danach Vorwärtselimination nach Gauÿ. Beispiel = = = = = Im 1. Schritt wurden die Zeilen 1 und 3 vertauscht und der Faktor 2 aus der 2. Zeile herausgezogen. matrizen13b.pdf, Seite 33

34 Die Regel von Sarrus ist eine alternative Möglichkeit zur Berechnung der Determinante einer 3 3Matrix: det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Achtung: funktioniert nur bei 3 3! matrizen13b.pdf, Seite 34

35 Beispiel A = Man schreibt und erhält bzw det A = = = 0 matrizen13b.pdf, Seite 35

36 Geometrische Interpretation der Determinante Der Betrag det A der Determinante einer 2 2Matrix a11 a A = 12 entspricht der Fläche des von den a 21 a 22 Spaltenvektoren a11 s 1 = a 21 und s 2 = a12 a 22 aufgespannten Parallelogramms und ist gleich der Fläche des von den Zeilenvektoren z 1 = a 11 a 12 und z 2 = a 21 a 22 aufgespannten Parallelogramms. det A ist positiv, wenn das System {s 1, s 2 } positiv orientiert ist, d. h. s 1 durch eine Linksdrehung um einen Winkel kleiner 180 o in die Richtung von s 2 überführt werden kann. det A ist negativ, wenn {s 2, s 1 } positiv orientiert ist {s 1, s 2 } ist negativ orientiert. det A = 0 genau dann, wenn s 1 und s 2 entweder in die gleiche oder in entgegengesetzte Richtungen zeigen, d. h. auf einer Geraden liegen. In diesem Fall sind die beiden Vektoren linear abhängig. matrizen13b.pdf, Seite 36

37 Beispiel Aus det Spaltenvektoren = = 2 folgt, dass die } 2, sowie die Zeilenvektoren { {1; 2, 3; 4} jeweils negativ orientiert sind und die aufgespannten Parallelogramme jeweils die Fläche 2 haben. matrizen13b.pdf, Seite 37

38 Anwendung Bilden die Spaltenvektoren s 1 und s 2 einer Matrix A zwei Seiten eines Dreiecks, so ist die Dreiecksäche gleich 1 det A da ein 2 Dreieck ein halbes Parallelogramm ist. Beispiel Das Dreieck mit den Ecken A = 3, B = 1 und C = hat die Seitenvektoren B A = 4, C A = 5 und 2 3 C B = 1. Seine Fläche ist somit gleich det 4 5 = 1 2 det 4 1 = 1 2 det 5 1 = = matrizen13b.pdf, Seite 38

39 Geometrische Interpretation einer 3 3Determinante Der Betrag det A der Determinante einer 3 3Matrix A ist gleich dem Volumen des von den Spaltenvektoren von A aufgespannten Parallelepipeds Spats sowie gleich dem Volumen des von den Zeilenvektoren aufgespannten Spats. Sie ist positiv wenn die Spaltenvektoren sowie die Zeilenvektoren jeweils positiv orientiert sind ein Rechtssystem bilden und negativ, wenn die Spalten- und Zeilenvektoren negativ orientiert sind. Die Determinate ist 0, wenn die Spaltenvektoren in einer Ebene liegen linear abhängig sind. In diesem Fall liegen auch die Zeilenvektoren in einer Ebene. matrizen13b.pdf, Seite 39

40 Lineare Abbildungen Bei der linearen Abbildung x y = Ax mit einer 2 2Matrix A gibt det A den Faktor an, um den Flächeninhalte ändern. Die Determinante einer 3 3Matrix A gibt entsprechend die Änderung dreidimensionaler Volumina an. Die Abbildung ist x Ax orientierungstreu, wenn det A > 0. Ist det A < 0, so werden geometrische Objekte nach der Abbildung seitenverkehrt dargestellt. Multiplikation mit A = : Vergröÿerung der Fläche um den Faktor det A = 3 und seitenverkehrte Darstellung matrizen13b.pdf, Seite 40

41 Die Cramersche Regel ist eine Formel zur Lösung von linearen Gleichungssystemen und zur Berechnung von inversen Matrizen mit Hilfe von Determinanten. Zum Beispiel gilt für eine invertierbare 2 2Matrix A a b c d 1 = 1 det A Beispiel: = d b = c a ad bc = d b c a Die Cramersche Regel ist jedoch vom Rechenaufwand her nur für kleine n = 2 oder 3 sinnvoll einsetzbar. Zudem löst sie das LGS Ax = b nur in solchen Fallen, wo A eine invertierbare quadratische Matrix ist. matrizen13b.pdf, Seite 41