Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen

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1 Tutorium: Diskrete Mathematik Matrizen

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de

3 Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter Weise rechnen kann. Matrizen sind ein SchlÄusselkonzept der linearen Algebra und tauchen in vielen Gebieten der Mathematik auf. Matrizen stellen ZusammenhÄange, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, Äubersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und GedankenvorgÄange. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben.

4 Definition II Matrizen werden dargestellt durch eine tabellarische Au istung der Werte, die durch ein gro¼es Klammerpaar umgeben ist. Die Form der Klammern ist dabei nicht fest vorgegeben, typisch sind aber runde oder eckige Klammern. 0 1 a 11 ::: a 1m B A = (a ij ) C. A a n1 ::: a nm a 11 ::: a 1m 6 A = [a ij ] = a n1 ::: a nm 4

5 Addition von Matrizen Ebenso wie Vektoren werden Matrizen elementweise addiert und subtrahiert. A + B = 4 a 11 a 1 a 1 a 1 a a b 11 b 1 b 1 b 1 b b 5 a 1 a a b 1 b b a 11 + b 11 a 1 + b 1 a 1 + b 1 = 4a 1 + b 1 a + b a + b 5 a 1 + b 1 a + b a + b 5

6 Subtraktion von Matrizen Ebenso wie Vektoren werden Matrizen elementweise addiert und subtrahiert. A B = 4 a 11 a 1 a 1 a 1 a a 5 4 b 11 b 1 b 1 b 1 b b 5 a 1 a a b 1 b b = 4 a 11 b 11 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a b a b 5 a 1 b 1 a b a b 6

7 Skalare Multiplikation Eine Matrix kann mit einen konstanten Faktor R multipliziert werden. Den Wert nennt man ein Skalar. a 11 a 1 a 1 a 11 a 1 a 1 A = 4a 1 a a 5 = 4 a 1 a a 5 a 1 a a a 1 a a 7

8 Multiplikation von Matrizen I Neben der skalaren Multiplikation gibt es noch eine weitere Multiplikation fäur Matrizen. Dabei werden Matrizen miteinander mutlipliziert. Die folgende Formel zeigt dies exemplarisch fäur zwei -Matrizen: A B = a 11 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a b 11 b 1 b 1 b 1 b b b 1 b b = a 11 b 11 + a 1 b 1 + a 1 b 1 a 11 b 1 + a 1 b + a 1 b a 11 b 1 + a 1 b + a 1 b a 1 b 11 + a b 1 + a b 1 a 1 b 1 + a b + a b a 1 b 1 + a b + a b a 1 b 11 + a b 1 + a b 1 a 1 b 1 + a b + a b a 1 b 1 + a b + a b 8

9 Multiplikation von Matrizen II Die EintrÄage der Ergebnismatrix C sind o enbar die Skalarprodukte der Zeilenvektoren der Matrix A mit den Spaltenvektoren der Matrix B. Daraus läasst sich leicht eine Aussage Äuber eine essentielle Voraussetzung der Matrizenmultiplikation tre en. Damit man zwei Matrizen multiplizieren kann, mäussen die Anzahl der Spalten der ersten Matrix und die Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix Äubereinstimmen. 9

10 Multiplikation von Matrizen III Gegeben seien sei Matrizen A R m n und B = R n p. Das Produkt C der beiden Matrizen A und B ist dann eine m p -Matrix und läasst sich allgemein durch die folgende Formel darstellen: C = A B = a ij bij = c ij mit cij = nx a ik b kj k=1 10

11 Multiplikation von Matrizen IV Aufgabe Es seien A = 1 4 und B = Berechne A + B, A B und A B. gegeben. 11

12 Multiplikation von Matrizen V LÄosung Es ergeben sich die folgenden Matrizen: 0 7 A + B = 7 A B = A B = 7 1

13 Falksches Schema I Das Falksche Schema (1951 von Sigurd Falk vorgeschlagen) ist eine einfache Methode, Matrizenmultiplikation Äubersichtlicher darzustellen. Dazu werden die Matrizen A und B sowie deren Produkt C in eine bestimmte tabellarische Form gebracht, die vor allem eine optische Hilfe bietet. 1

14 Falksches Schema II Gegeben seien die Matrizen A R und B R. Darstellung der Matrizenmultiplikation mit dem Falkschen Schema: b 11 b 1 b 1 4b 1 b b 5 (= B) b 1 b b a 11 a 1 a 1 (A =) 4a 1 a a 5 a 1 a a c 11 c 1 c 1 4c 1 c c 5 (= C) c 1 c c Die Werte fäur c ij berechnen sich wie zuvor durch c ij = P k=1 a ik b kj. 14

15 Aufgaben Aufgabe 1 Gegeben seien die Matrizen A = ;B= ;C= 1 ;D= : Entscheide, ob die folgenden Produkte de niert sind und berechnen diese, falls sie existieren: AB, BA, AC, AD, AA, BB, CD, DC. 15

16 Aufgaben Aufgabe Gegeben seien die Matrizen A = und B = : Berechne das Element, das in AB in der dritten Zeile und zweiten Spalte steht. Berechne au¼erdem die vierte Spalte von AB. 16

17 Aufgaben Aufgabe Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind. BegrÄunde deine Meinung! a) Die Addition von Matrizen ist nicht assoziativ. b) Die Multiplikation von Matrizen ist fäur alle Matrizen kommutativ. c) Die Multiplikation von Matrizen ist niemals kommutativ. d) FÄur - Matrizen gilt das Distributivgesetz (A + B) C = AC + BC: 17

18 Elementare Zeilenumformungen Man darf Matrizen durch elementare Zeilenumformungen in eine andere Matrix ÄuberfÄuhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Zeilen; ² Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Diese Operationen däurfen beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden. 18

19 Elementare Spaltenumformungen I Ebenso wie durch elementare Zeilenumformungen darf man eine Matrix durch elementare Spaltenumformungen in eine andere Matrix ÄuberfÄuhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Spalten; ² Multiplikation einer Spalte mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte. Diese Operationen däurfen ebenfalls beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden. 19

20 Elementare Spaltenumformungen II Generell sollten elementare Zeilen- und Spaltenumformungen nicht vermischt werden, da dies meist mehr Chaos als Nutzen bringt. Wir werden uns im Folgenden ausschlie¼lich mit elementaren Zeilenumformungen beschäaftigen. Sollten einmal Umformungen der Spalten notwendig sein, werden wir die zugehäorige Matrix zunäachst transponieren und anschlie¼end die Zeilen der transponierten Matrix umformen. 0

21 Zeilenstufenform I Durch elementare Zeilenumformungen kann man jede Matrix in die sogenannte Zeilenstufenform bringen. Diese erfäullt die folgenden Eigenschaften (vgl. Gramlich): ² Alle Zeilen, die nur Nullen enthalten, stehen in der Matrix ganz unten. ² Wenn eine Zeile nicht nur aus Nullen besteht, so ist die erste von Null verschiedene Zahl eine Eins. Sie wird als fäuhrende Eins bezeichnet. ² In zwei aufeinanderfolgenden Zeilen, die von Null verschiedene Elemente besitzen, steht die fäuhrende Eins in der unteren Zeile stets weiter rechts als in der oberen Zeile. 1

22 Zeilenstufenform II Besitzt die Matrix Zeilenstufenform und gilt zusäatzlich noch ² Eine Spalte, die eine fäuhrende Eins enthäalt, hat keine weiteren von Null verschiedenen EintrÄage, dann liegt die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform vor.

23 Zeilenstufenform III Beispiel Es sei A = 8. 5 Bringe die Matrix A in Zeilenstufenform!

24 Zeilenstufenform IV ZunÄachst wird die 1. Zeile mit 1 multipliziert: 1 4 : 5 Anschlie¼end wird das ( )-fache der 1. Zeile zur. Zeile addiert: 1 4 : 0 7 Abschlie¼endwirddie.Zeilemit 1 7 multipliziert: 1 4 : 0 1 4

25 Zeilenstufenform V Aufgabe 4 ÄUberfÄuhre die folgende Matrix in Zeilenstufenform!

26 Einheitsmatrizen I Als Einheitsmatrix wird die spezielle quadratische Matrix E n R n n bezeichnet, deren Hauptdiagonalenelemente 1 sind; alle anderen EintrÄage sind ::: ::: 0 0 E n = ::: ::: 0 1 6

27 Einheitsmatrizen II Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element bezäuglich der Matrizenmultiplikation, d.h., fäur alle Matrizen A (passende Dimensionen vorausgesetzt) gilt A E = E A = A: 7

28 Diagonalmatrizen Diagonalmatrizen sind spezielle quadratische Matrizen, die lediglich auf der Hauptdiagonalen von 0 verschiedene Elemente besitzen: d 1 0 ::: d ::: 0 0 D = : ::: d n ::: 0 d n Die Einheitsmatrizen E n sind spezielle Diagonalmatrizen. 8

29 Skalarmatrizen I Skalarmatrizen sind spezielle Diagonalmatrizen, besitzen also ebenfalls nur auf der Hauptdiagonalen von 0 verschiedene Elemente; zusäatzlich haben alle Hauptdiagonalenelemente denselben Wert: 0 ::: ::: 0 0 S = : ::: ::: 0 9

30 Skalarmatrizen II Wie man leicht sieht, ist die Skalarmatrix lediglich ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix: 0 ::: ::: 0 0 S = = E 7 n : 40 0 ::: ::: 0 0

31 Dreiecksmatrizen I Dreiecksmatrizen sind eine weitere spezielle Art von Matrizen. Sie werden unterschieden in obere und untere Dreiecksmatrizen. unter- Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie Äuber- bzw. halb der Hauptdiagonalen nur Nullen besitzen. 1

32 Dreiecksmatrizen II O = a 1? :::?? 0 a :::?? ::: a n 1? ::: 0 a n U = a 1 0 ::: 0 0? a ::: ?? ::: a n 1 0 5?? :::? a n

33 Transponierte Matrix I Aus einer Matrix A erhäalt man die transponierte Matrix A T dadurch, dass man die Zeilen der Matrix A mit den Spalten der Matrix A vertauscht. Mit anderen Worten: Die Matrix A wird an der Hauptdiagonalen " gespiegelt\. Gegentlich wird die transponierte Matrix auch gestäurzte Matrix genannt.

34 Transponierte Matrix II Es sei A R n m gegeben durch: a 11 ::: a 1m 6 A = : a n1 ::: a nm Durch Vertauschen der Zeilen und Spalten erhäalt man die transponierte Matrix A T R m n : a 11 ::: a n1 A T 6 = : a 1m ::: a nm 4

35 Symmetrische Matrizen Eine quadratische Matrix A R n n hei¼t symmetrisch, wenn fäur alle i; j N (1 i n und 1 j n) Folgendes gilt: a ij = a ji : FÄur symmetrische Matrizen gilt au¼erdem A = A T : 5

36 Inverse Matrix I Eine quadratische Matrix A hei¼t invertierbar, fallseseinematrix A 1 gibt, fäur die gilt: A A 1 = A 1 A = E: Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar. Falls eine Matrix invertierbar ist, so ist ihr Inverses allerdings eindeutig bestimmt. 6

37 Inverse Matrix II Frage: Woher wei¼ man, ob eine quadratische Matrix invertierbar ist oder nicht? Wenn man wei¼, dass eine Matrix invertierbar ist, wie kann man die inverse Matrix bestimmen? 7

38 Inverse Matrix III Antwort: Man wendet den Gau¼-Jordan-Algorithmus an. ² Ist die Matrix invertierbar, liefert dieser garantiert die inverse Matrix. ² Ist die Matrix nicht invertierbar, wird dies durch das Verfahren zweifelsfrei festgestellt. 8

39 Gauß-Jordan-Algorithmus I Der Gau¼-Jordan-Algorithmus besteht aus den folgenden einfachen Schritten, mit deren Hilfe man die inverse Matrix bestimmen kann, falls sie existiert. Vorbereitung Man erstellt die folgende Blockmatrix: h A i E : A ist die zu invertierende Matrix, E ist eine entsprechend dimensionierte Einheitsmatrix. 9

40 Gauß-Jordan-Algorithmus II 1. Schritt Man wäahlt die erste Spalte, die noch nicht in der richtigen Form vorliegt (1 auf der Hauptdiagonalen, sonst nur Nullen).. Schritt Ist das Hauptdiagonalenelement der Spalte eine Null, so vertauscht man die Zeilen der Matrix auf geeignete Art, um ein von Null verschiedenes Element in die Hauptdiagonale zu bekommen.. Schritt Durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor macht man das Hauptdiagonalenelement der Spalte zu einer 1. 40

41 Gauß-Jordan-Algorithmus III 4. Schritt Durch Addition geeigneter Vielfacher der gerade multiplizierten Zeile bringt man alle anderen Elemente in der aktuellen Spalte auf Null. 5. Schritt Man wiederholt dieses Vorgehen, bis alle Spalten der Matrix A die richtige Form haben oder bis ein weiteres Umformen nicht mehr mäoglich ist. 41

42 Gauß-Jordan-Algorithmus IV Beispiel Gesucht ist das Inverse der Matrix A = LÄosung ZunÄachst stellen wir die entsprechende Blockmatrix auf

43 Gauß-Jordan-Algorithmus V Zuerst bringen wir das Hauptdiagonalenelement der ersten Spalte in die richtige Form, indem wir die erste Zeile mit 1 multiplizieren Um den Rest der ersten Spalte in die richtige Form zu bringen, addieren wir das ( 4)-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile

44 Gauß-Jordan-Algorithmus VI Weiter mit Spalte. dritte Zeile. 4 ZunÄachst vertauschen wir die zweite und Durch Multiplikation mit 1 bringen wir das Hauptdiagonalenelement von Zeile in die richtige Form

45 Gauß-Jordan-Algorithmus VII Durch Addition des doppelten der zweiten Zeile zur ersten Zeile bringen wir die zweite Spalte in die richtige Form Weiter mit Spalte. Multiplikation der dritten Zeile mit 1 ergibt:

46 Gauß-Jordan-Algorithmus VII Addition geeigneter Vielfacher zu den ersten beiden Zeilen bringt schlie¼lich die dritte Spalte in die richtige Form Wir haben also die inverse Matrix zu A gefunden A 1 =

47 Gauß-Jordan-Algorithmus VIII Ist die Matrix A nicht invertierbar, so läasst sie sich mit dem Gau¼-Jordan-Algorithmus nicht zur Einheitsmatrix E umformen. Im Gegenzug kann die Matrix A immer genau dann zur Einheitsmatrix E umgeformt werden, wenn sie invertierbar ist. 47

48 Aufgaben Aufgabe 5 a) Es sei A R gegeben durch A = Berechne A 1 mit Hilfe des Gau¼-Jordan-Algorithmus. ÄUberprÄufe dein Ergebnis auf Richtigkeit! b) Zeige, dass die folgende Matrix B R nicht invertierbar ist: 1 B = :

49 Aufgaben Aufgabe 6 Zeige anhand der Matrix A = Eigenschaft gilt: A T 1 = A 1 T : 1, dass die folgende 7 49

50 Anwendungen für Matrizen Matrizen haben eine Vielzahl von Anwendungsgebieten: ² Wachstumsmatrizen ² Populationsmatrizen ² Kosten-Preis-Kalkulationen ² LÄosenvonlinearenGleichungssystemen ² Darstellung von linearen Abbildungen ² Anwendungen in der Computergra k (Rotation, Translation, etc.) 50