Tutorium: Diskrete Mathematik. Ebenen

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Nelly Brandt
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1 Tutorium: Diskrete Mathematik Ebenen

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

3 Definition Die Ebene ist ein Grundbegri der Geometrie. Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes, aches, zweidimensionales Objekt. ² Hierbei bedeutet unbegrenzt ausgedehnt und ach, dass zu je zwei Punkten auch eine durch diese Punkte verlaufende Gerade vollstäandig in der Ebene liegt. ² Zweidimensional bedeutet, dass { abgesehen von enthaltenen Geraden { kein echter Teilraum ebenfalls diese Eigenschaft hat. 3

4 Darstellungsformen Analog zur Geraden kann auch eine Ebene auf mehrere Arten dargestellt werden: ² die Koordinatenform; ² die Parameterform; ² die Normalenform. Diese sind im Wesentlichen analog zu den bereits bekannten Darstellungsformen von Geraden. 4

5 Koordinatenform I De nition Jede Ebene im R 3 läasst sich durch eine Koordinatengleichung ax 1 + bx 2 + cx 3 + d =0 beschreiben, bei der mindestens einer der drei Koe±zienten a, b und c ungleich Null ist. 5

6 Koordinatenform II Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Koordinatenform kann wieder ÄuberprÄuft werden, ob der Punkt P in der Ebene liegt oder nicht (Punktprobe). Beispiel Der Punkt P =(1; 2; 3) liegt nicht in der Ebene, die durch 3x 1 x 2 + x 3 7=0 gegeben ist, denn: Setzt man P in diese Gleichung ein, ergibt sich = 3 6= 0: 6

7 Koordinatenform III Die Koordinatenform einer Ebene kann { analog zur Koordinatenform von Geraden { wie folgt bestimmt werden: ² mit dem Gau¼-(Jordan-)Verfahren; ² Äuber die Parameter- oder Normalenform. 7

8 Parameterform I Eine andere, sehr komfortable MÄoglichkeit, eine Ebene darzustellen, ist die Parameterform. Die Ebene wird dabei in der folgenden Form dargestellt: x = p + s u + t v (s; t 2 R): Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt: ² p ist der StÄutzvektor; ² u und v sind zwei Spannvektoren; ² s; t 2 R sind beliebige Skalare. Diese Darstellung einer Ebene wird auch Vektorielle Punkt- Richtungsform genannt. 8

9 Parameterform II Bildlich veranschaulicht bedeutet dies, dass die Ebene durch einen Punkt in der Ebene (der StÄutzvektor p) sowie2vektoren(die Spannvektoren u und v) beschrieben wird. Die Abbildung wurde dem Gramlich entnommen. 9

10 Parameterform III Wir fäuhren an einem Beispiel exemplarisch vor, wie die Parameterform erstellt werden kann. Aufgabe Gesucht ist die Parameterform der Ebene, die die folgenden Punkte enthäalt: A =(1; 1; 3); B =(2; 4; 0) und C =(5; 0; 1): 10

11 Parameterform IV Eine mäogliche Darstellung mittels StÄutz- und Spannvektoren fäur beliebige Punkte A, B und C kann man wie folgt erhalten: v =! 0A + s!! AB + t AC 0 a a 2 A + b a 1 b 2 a 2 A + c 1 1 a 1 c 2 a 2 A a 3 b 3 a 3 c 3 a 3 (s; t 2 R): 11

12 Parameterform V FÄur unser Beispiel ergibt sich 0 v A A A A A + 4 1A (s; t 2 R): Eine mäogliche Parameterform fäur die gesuchte Ebene lautet also v 1A + 3 A + 1A (s; t 2 R):

13 Normalenform I Die letzte hier behandelte Art, eine Ebene darzustellen, ist die Normalenform. Dabei wird die Ebene unter Zuhilfenahme einer Normalen { eines zur Ebene senkrechten Vektors { dargestellt. Es gilt (analog zu Geraden): ³ x p n =0 oder n x + d =0: Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt: ² n ist eine Normale der Ebene; ² x ist ein (vermeintlicher) Punkt in der Ebene; ² p ist ein beliebiger Punkt der Ebene; ² d ist ein konstanter Wert, der fäur alle Punkte der Ebene gilt. Wichtig: Die Normalenform einer Ebene existiert nur im R 3. 13

14 Normalenform II Bildlich kann man sich die Normalenform einer Ebene wie folgt vorstellen. Die Abbildung wurde dem Gramlich entnommen. 14

15 Normalenform III Besitzt man die Parameterform der Ebene, läasst sich eine Normale sehr einfach berechnen. Sie ist nichts Anderes als das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren. 15

16 Aufgaben Aufgabe 1 Bestimme die Parameter- und Normalenform der Ebene, die durch die Punkte A =(3; 4; 5), B =(0; 1; 2) und C =(1; 0; 2) beschrieben wird. 16

17 Umrechnung zwischen den Darstellungen I Parameterform! Koordinatenform Die Umrechnung der Parameterform in die Koordinatenform ist relativ einfach. Man betrachtet die Parameterform in der folgenden Weise: 0 x x x 2 A p p 2 A + u u 2 A + v 1 1 v 2 A x 3 p 3 u 3 v p 1 + su 1 + tv 1 p 2 + su 2 + tv 2 A (s; t 2 R): p 3 + su 3 + tv 3 17

18 Umrechnung zwischen den Darstellungen II Hieraus bekommt man sofort das folgende Gleichungssystem: x 1 = p 1 + su 1 + tv 1 x 2 = p 2 + su 2 + tv 2 x 3 = p 3 + su 3 + tv 3 Stellt man zwei der Gleichungen nach den Parametern s und t um und setzt diese in die verbleibende Gleichung ein, erhäalt man die Koordinatenform. 18

19 Umrechnung zwischen den Darstellungen III Aufgabe Stelle die in Parameterform gegebene Ebene in Koordinatenform dar. 0 x A A A (s; t 2 R) Hieraus ergeben sich die folgenden Gleichungen: x 1 =1+t x 2 =2+s +2t x 3 =3 s + t 19

20 Umrechnung zwischen den Darstellungen IV Umstellen der ersten Gleichung nach t ergibt t = x 1 1: Umstellen der zweiten Gleichung nach s und Einsetzen von t ergibt s = x 2 2 2t = x 2 2 2(x 1 1) = x 2 2x 1 : 20

21 Umrechnung zwischen den Darstellungen V Einsetzen von s und t in die dritte Gleichung ergibt x 3 =3 (x 2 2x 1 )+(x 1 1) =2 x 2 +3x 1 : Die gesuchte Koordinatenform lautet also 3x 1 + x 2 + x 3 2=0: 21

22 Umrechnung zwischen den Darstellungen VI Koordinatenform! Parameterform Die Umrechnung der Koordinatenform in die Parameterform kann folgenderma¼en erledigt werden: Durch Einsetzen von beliebigen Werten x 1, x 2 und Berechnen des Wertes x 3 kann man leicht 3 Punkte der Ebene bestimmen, aus denen man dann einfach die Parameterform der Ebene bestimmen kann. 22

23 Umrechnung zwischen den Darstellungen VII Normalenform! Koordinatenform Zur Umrechnung der Normalenform in die Koordinatenform kann man einen einfachen Trick verwenden. Die Werte des Normalenvektors sind die Koe±zienten von x 1, x 2 und x 3.Aus n x 1 1 A + d =0 n 2 n 3 x 2 x 3 wird also n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + d =0: 23

24 Umrechnung zwischen den Darstellungen VIII Koordinatenform! Normalenform Diese Umrechnung funktioniert analog zur Umrechnung der Normalenform in die Koordinatenform. Die Koe±zienten von x 1, x 2 und x 3 sind die EintrÄage des Normalenvektors. Aus n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + d =0 wird also n 1 n 2 n 3 1 A x 1 x 2 x 3 1 A + d =0: 24

25 Umrechnung zwischen den Darstellungen IX Parameterform! Normalenform Diese Umrechnung erfordert etwas mehr Rechenaufwand, ist aber nicht sonderlich schwer. ZunÄachst wird aus der Parameterform die Koordinatenform erstellt. Aus dieser kann man die Normalenform dann unmittelbar ablesen. Alternativ kann der Normalenvektor auch als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnet werden. Als xer Punkt der Ebene kann der StÄutzvektor verwendet werden. 25

26 Umrechnung zwischen den Darstellungen X Normalenform! Parameterform Diese Umrechnung erfolgt analog zur Umrechnung der Parameterform in die Normalenform. ZunÄachst wird aus der Normalenform die Koordinatenform erstellt. Aus dieser kann man dann die Parameterform erstellen. 26

27 Aufgaben Aufgabe 2 Stelle die folgende Ebene in Parameter- und Normalenform dar: 2x 1 + x 2 x 3 +4=0: Aufgabe 3 Gib die folgende Ebene in Parameterdarstellung an: x 1 x 2 1AA =0: 0 3 x 3 27

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