Kegelschnitte. Mathematik I ITB. Kegelschnitte. Prof. Dr. Karin Melzer

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1 Kegelschnitte

2 Kegelschnitte: Einführung Wir betrachten,,,. Literatur: Brücken zur Mathematik, Band 1 Grundlagen, Analytische Geometrie

3 Kreis Denition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem Punkt M (Mittelpunkt) den selben Abstand r haben, heiÿt Kreis. r heiÿt Radius des s. Gleichung in Mittelpunktsform: Aus dem Satz des Pythagoras folgt: Kreis um Nullpunkt mit Radius r: x 2 + y 2 = r 2 Kreis mit Mittelpunkt M(x 0 /y 0 ) und Radius r: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 Aus dieser Form lässt sich der Mittelpunkt direkt ablesen.

4 Beispiel: Mittelpunktsform Gesucht: Kreis um O, der durch den Punkt P 0 ( 2 3 2) geht. Koordinaten müssen x 2 + y 2 = r 2 erfüllen (Punktprobe): = r 2 r 2 = 25 4, also x 2 + y 2 = 25 4 Gegeben: Kreis K mit x 2 + y 2 = 169 Welche der Punkte liegen auf/innerhalb/auÿerhalb von K? Punkt liegt A(11 7) B(5 12) C( 8 10) D( 13 0) Lösung: Punktprobe

5 Kreis Allgemeine Kreisgleichung: Denition: Jede Gleichung der Form Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 mit A 0 stellt einen Kreis dar. (Evtl. ist der Kreis ausgeartet mit r = 0 oder r 2 < 0). Ineinander Umwandeln der Kreisgleichungen: Mittelpunktsform Ausmultiplizieren quadrat. Ergänzung Allg. Kreisgleichung

6 Denition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort aller Punkte, für die die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten F 1 und F 2 konstant ist, heiÿt Ellipse. Bezeichnungen: M F 1, F 2 S 1, S 2 S 3, S 4 a = MS 1 = MS 2 b = MS 3 = MS 4 e = MF 1 = MF 2 Mittelpunkt Brennpunkte Hauptscheitel Nebenscheitel groÿe Halbachse kleine Halbachse Brennweite

7 Eigenschaften: Die Ellipse ist eine geschlossene Kurve, symmetrisch zur Hauptachse (F 1 F 2 ) und symmetrisch zur Nebenachse (Mittelsenkrechte von (F 2 F 2 ))

8 Gleichung in Mittelpunktsform Die Ellipse mit Mittelpunkt O, Brennpunkten F 1 (e 0), F 2 ( e 0) und konstanter Abstandssumme r 1 + r 2 = 2a (Bezeichnungen s. Graphik) hat die Gleichung: x 2 + y 2 a 2 b 2 = 1, e 2 = a 2 b 2 (da z. B. F 1 S 3 = a) Die Ellipse mit Mittelpunkt M(x 0 y 0 ), Halbachsen a, b und Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen hat die Gleichung: (x x0) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1

9 Allgemeiner Verschiebungssatz Übergang von einer Ellipse mit Mittelpunkt O zu Mittelpunkt M(x 0 y 0 ) erhält man mit dem allgemeinen Verschiebungssatz: Ersetzt man in einer Kurvengleichung x durch (x x 0 ) und y durch (y y 0 ) so wird die Kurve um x 0 in x-richtung und um y 0 in y-richtung verschoben.

10 : Bemerkungen Für a = b = r ergibt sich jeweils eine Kreisgleichung Der Flächeninhalt einer Ellipse ist A = πab Übergang von einem Kreis zur Ellipse: entstehen durch Dehnung bzw. Stauchung eines s. Z. B. Streckung des Einheitskreises in x- und y-richtung: Einheitskreis: x 2 + y 2 = 1 Strecken in x-richtung mit Faktor a ersetze x durch 1 a x Strecken in y-richtung mit Faktor b ersetze y durch 1 b x x 2 + y 2 = 1 wird zu x2 + y 2 a 2 b 2 = 1

11 Denition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort aller Punkte, für die die Dierenz der Entfernungen von zwei festen Punkten F 1 und F 2 konstant ist, heiÿt Hyperbel. Bezeichnungen: (vgl. Ellipse) M Mittelpunkt F 1, F 2 Brennpunkte S 1, S 2 Scheitel a = MS 1 = MS 2 groÿe Halbachse e = MF 1 = MF 2 Brennweite b = e 2 a 2 kleine Halbachse Konstante Dierenz der Entfernungen: r 2 r 1 = 2a Symmetrische Kurve aus zwei Ästen. Symmetrieachsen: Hauptachse (= (S 1, S 2 )) und Nebenachse (= Mittelsenkrechte von (S 1, S 2 ))

12 Gleichungen in Mittelpunktsform: Hyperbel mit Mittelpunkt O, Brennpunkten F 1 (e 0), F 2 ( e 0) und konstanter Abstandsdierenz 2a hat die Gleichung x 2 y 2 a 2 = 1 mit b 2 e 2 = a 2 + b 2 Für groÿe x und y nähert sich die Hyperbel den Asymptoten mit der Gleichung y = ± b x. a Hyperbel mit Mittelpunkt M(x 0 y 0 ), Halbachsen a, b und Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen hat die Gleichung (x x 0) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1

13 : Bemerkung Die Hyperbel mit der Gleichung x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 heiÿt konjugiert zur Hyperbel x 2 a 2 y 2 2 = 1. Ihre Hauptachse b ist die y-achse, sie ist in Richtung der y-achse geönet. Für groÿe x und y nähert sich die Hyperbel den Asymptoten mit der Gleichung y = ± b x. Daraus folgt: für a a = b ergeben sich die Winkelhalbierende y = ±x als Asymptoten. mit senkrechten Asymptoten heiÿen rechtwinklige oder gleichseitige.

14 : Beispiel Beispiel 1: Wie lautet die Gleichung der Hyperbel mit M(3 4), a = 6, b = 5, die in Richtung der y-achse geönet ist? (x 3)2 (y + 4)2 Lösung: = 1 Beispiel 2: Wie lautet die Gleichung der Hyperbel durch P(4 2) mit den Asymptoten y = ± 2 3 x? Lösung: Asymptotenschnittpunkt M = O, also wähle Ansatz } x y 2 Punktprobe: 4 = 1 = 1 a 2 b 2 a 2 b 2 Asymptotensteigung: b = 2 a 3 b = 2 3 a = a 2 = 7, b 2 = 28 x2 und damit + 9y 2 =

15 : Allgemeine Hyperbelgleichung Mittelpunktsform ausmultiplizieren, nach den Variablen x und y sortieren und die Koezienten umbenennen.

16 Denition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstände von einer festen Geraden l und einem festen Punkt F gleich sind, heiÿt Parabel. Bezeichnungen: l Leitlinie F Brennpunkt S Scheitel = Berührpunkt der Tangente parallel zu l p Halbparameter = Abstand Fl Die Parabel ist eine symmetrische Kurve; Symmetrieachse ist die Parabelachse (SF ).

17 Gleichung in Scheitelform Die Parabel mit Scheitel O und Brennpunkt ( p F 0) hat die 2 Gleichung: y 2 = 2px, (p > 0) Weitere Lagen der Parabel mit S = O: y 2 = 2px nach links geönet x 2 = ±2py nach oben/unten geönet Die Parabel mit Scheitel S(x 0, y 0 ) und Parameter 2p nach rechts bzw. nach links geönet hat die Gleichung: (y y 0 ) 2 = ±2p(x x 0 ), (p > 0)

18 : Bemerkungen Die Gleichung (x x 0 ) 2 = ±2p(y y 0 ) für nach oben (nach unten) geönete löst man üblicherweise nach y auf und schreibt sie in der Form y y 0 = a(x x 0 ) 2 { a > 0 : nach oben geönet a < 0 : nach unten geönet Zwischen a und p besteht die Beziehung p = 1 2a. y y 0 = a(x x 0 ) 2 lässt sich umformen in a 2 = a y = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 mit a 1 = 2ax 0 a 0 = ax0 2 + y 0 sind also Bilder von Polynomen vom Grad 2.

19 Allgemeine Parabelgleichung: (Achsen parallel zu Koordinatenachsen) } By 2 + Cx + Dy + E = 0 Parabel mit Achse zur x-achse B 0, C 0 } Ax 2 + Cx + Dy + E = 0 Parabel mit Achse zur y-achse A 0, D 0 Ineinander Umwandeln der Parabelgleichungen: Scheitelform Ausmultiplizieren quadrat. Ergänzung Allg. Parabelgleichung

20 Kegelschnitte: Zusammenfassung Allgemeine Gleichung 2. Grades ohne xy-glied: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 (A, B, C, D, E IR, A 0, B 0) Fälle: 1. A = B Kreis 2. A B > 0, A B Ellipse 3. A B < 0 Hyperbel 4. A = 0; B, C 0 Parabel mit Achse zur x-achse 5. B = 0; A, D 0 Parabel mit Achse zur y-achse