Teil 1: Hyperbeln in erster Hauptlage

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1 Übungsaufgaben (für SÜen, HÜen sowie zum eigenständigen Üben für die Schularbeit) zur analytischen Geometrie der Hyperbel 7A(G), 2011/12 (Dr. R. RESEL) Teil 1: Hyperbeln in erster Hauptlage 1) Von einer Hyperbel hyp in erster Hauptlage kennt man die Asymptote g 1 [g 1 : y = 3 4 x] und den Punkt R( ). a) Stelle eine Gleichung von hyp auf b) Berechne die Koordinaten der Brennpunkte F 1 und F 2 von hyp! c) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S (y S <0) und T (y T >0) von hyp mit der Gerade g [g: 4x y = 176]! d) Kontrolliere, dass auch T F T 2a gilt (Ebenso in Eigenregie zu Hause! für R und S!). F1 2 = e) Stelle in T eine Gleichung der Tangente t T an die Hyperbel auf (Ebenso in Eigenregie zu Hause! für R und S!). f) Kontrolliere, dass t T die Winkelsymmetrale der Brennstrahlen TF 1 und TF 2 ist (Zum Üben für die Schularbeit in Eigenregie zu Hause! für T, ZUR ÜBUNG FÜR R ODER S)! 2) Eine Hyperbel in erster Hauptlage wird von der Gerade g [g: 3x + 5y = 125] im Punkt P(x P 16) rechtwinklig geschnitten. a) Stelle eine Gleichung von hyp sowie der Tangente t an hyp in P auf! b) g, t und die Nebenachse von hyp begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck, von welchem zu zeigen ist, dass sein Umkreis durch die Hyperbelbrennpunkte verläuft! 3) eine von drei (nebst einem Beweis) Aufgabenstellungen einer früheren Schularbeit: 4) Für jede Hyperbel hyp gilt nebenstehend illustrierter SATZ. Jede Hyperbeltangente t begrenzt mit den Hyperbelasymptoten ein Dreieck MVU von konstantem Flächeninhalt. a) Wie groß muss (wenn man über die Konstanz Bescheid weiss Beweis 1 ist dies dennoch keiner!) dieser Flächeninhalt dann sein? b) Verifiziere diesen Satz anhand jener Hyperbel hyp in erster Hauptlage, welche von der Gerade t [ t: 15x 8y = 54] in T(x T 12) berührt wird, und zwar für eben gerade diesen Punkt T! 1 : Herausforderung [nicht nur unter DRUCK(s), sondern auch für die BREITE(!) Allgemeinheit! ]

2 5) Nebenstehend illustrierte "Stechzirkelkonstruktion" (SZK) ist für das praktische Konstruieren von Hyperbeln weitaus brauchbarer als die aus der planimetrischen Definition folgende (die Brennpunkte benötigende) Konstruktionsvorschrift, überdies sind dazu lediglich die Hyperbelachsen und asymptoten notwendig. Entnimm der Abbildung das Wirkungsprinzip der SZK und verifiziere sie anhand der Hyperbel mit der Gleichung 4x2 9y2 = 5184 für die Werte 39, 60 sowie 111 von xp. 6) Schularbeitsbeispiel der 7C(Rg) vom Dezember 2007: 7) 8)

3 9) Zusätzliche Übungsaufgaben (für besonders Fleißige, welche dann u.a. im Internet recherchieren, worum es bei den Sätzen von BRIANCHON und PASCAL geht): 10) Die Punkte A(24 0), B(30 y B <0), C(51 y C <0), D(74 y D >0), E(40 y E >0) und F(26 10) liegen auf einer Hyperbel hyp in erster Hauptlage und bilden somit ein hyp einbeschriebenes Sechseck. Verifiziere an diesem konkreten Beispiel den Satz von PASCAL! 11) Zeige, dass das Sechseck ABCDEF[A( ), B( ), C(360 72), D( ), E( ), F( )] Tangentensechseck einer Hyperbel in erster Hauptlage ist und verifiziere anhand dieses Sechsecks den Satz von BRIANCHON! Teil 2: Die gleichseitige Hyperbel in "gedrehter" Lage 12) Für jede gleichseitige Hyperbel hyp mit dem Mittelpunkt M (Schnittpunkt der Asymptoten) gilt folgender SATZ. Der Umkreis des Mittendreiecks jedes Sehnendreiecks von hyp geht auch durch M. Verifiziere diesen Lehrsatz anhand jener gleichseitigen Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten, welche von der Gerade g [g: 128x+y=512] im Punkt T(x T 256) berührt wird, und zwar für das Sehnendreieck ABC[A(x A 64), B(32 y B ), C(128 y C )]! 13) Die Eckpunkte des Dreiecks ABC[A(12 y A ), B( 15 9), C(x C >0 16)] liegen auf einer gleichseitigen Hyperbel hyp in erster Hauptlage. a) Stelle eine Gleichung von hyp auf und berechne x C! b) Berechne die Koordinaten des Höhenschnittpunkts des Dreiecks ABC und verifiziere am konkreten Beispiel die folgenden beiden miteinander zusammenhängenden allgemeingültigen Lehrsätze: SATZ 1. Liegen die Eckpunkte eines Dreiecks auf einer gleichseitigen Hyperbel hyp mit dem Mittelpunkt M, dann liegt auch der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks auf hyp. SATZ 2. Spiegelt man H an M, so liegt der gespiegelte Punkt H auf dem Umkreis des Dreiecks.

4 14) 15) Ein dem Unterricht der 7B(G) von 2007/08 aus Aufgabe 14) entwachsenes Übungsbeispiel: 16) Schularbeitsbeispiel der 7B(G) vom Jänner 2008:

5 17) 18) In der linken Figur ist die Hyperbel hyp [hyp: xy=8] zusammen mit ihrer Tangente t und ihrer Normalen n im Hyperbelpunkt T(x T 4) abgebildet. a) Berechne die Koordinaten des eingezeichneten Schnittpunkts P! b) Berechne die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke TP und verifiziere am konkreten Beispiel den allgemeingültigen Satz, dass für jedes Tangenten/Normalenpaar der Mittelpunkt M auf der Sixtix mit der Gleichung c (x 2 y 2 ) 2 +4x 3 y 3 =0 liegt, wobei von der Hyperbel hyp [hyp: xy=c] ausgegangen wird. Aufgaben 19 und 20: In einem Punkt T(x T y T ) einer gleichseitigen Hyperbel hyp mit den Koordinatenachsen als Asymptoten [ergo: hyp: xy=a] wird das Winkelsymmetralenpaar der Tangente t T sowie der Normalen n T gelegt, welches hyp nebst T noch in den Punkten U und V schneidet. 19) Zeige am Beispiel des Punkts T(6 3) die Gültigkeit der Darstellungen + xt x T U xt und xt xt + V xt + x xt! T xt + xt 20) Verifiziere für den Punkt T(10 15), dass für den Flächeninhalt A des Dreiecks OUV [mit O(0 0)] die Formel A= 4a y T T T gilt. 2 2 ( y x ) 2 T + x T y

6 21) In nebenstehender Abbildung ist folgender Lehrsatz der Elementargeometrie illustriert: Satz: Ist t die Tangente an eine gleichseitige Hyperbel hyp im Punkt T sowie X bzw. Y der Schnittpunkt von t mit den Hyperbelasymptoten, so wird X bzw. Y bei einer Vierteldrehung von t um T auf je einen Punkt der Haupt- bzw. Nebenachse von hyp abgebildet. Verifiziere diesen Satz für einen selbst gewählten Punkt T! 22) Legt durch zwei Punkte A und B einer gleichseitigen Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten die entsprechende Sehne, so verläuft die Tangente in jenem Hyperbelpunkt, der sich jeweils aus dem geometrischen Mittel der entsprechenden Koordinaten von A und von B ergibt, zu dieser Sehne parallel. Überprüfe diesen allgemeingültigen Satz am Beispiel der Punkte A(4 y A ) und B(16 9)! 23) Ist F der im ersten Quadranten liegende Brennpunkt einer gleichseitigen Hyperbel hyp mit den Koordinatenachsen als Asymptoten, T ein Punkt von hyp, t die Tangente an hyp in T sowie X bzw. Y der Schnittpunkt von t mit der x- bzw. y-achse, so sind die beiden Dreiecke YTF und TXF flächeninhaltsgleich und dieser gemeinsame Flächeninhalt A beträgt A = ½ x F (x T +y T 2x F ). Verifiziere diesen Satz für T(9 2)! 24) Für die Hyperbel hyp [hyp: xy=½ a 2 ] ist das Produkt der Normalabstände jeder Hyperbeltangente zu den beiden Hyperbelbrennpunkten konstant gleich a 2. Verifiziere diesen allgemeingültigen Satz für den Punkt T(8 1)! 25) Legt man in zwei Punkten A und B einer gleichseitigen Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten die Tangenten, so ergeben sich die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Tangenten jeweils aus dem harmonischen Mittel der entsprechenden Koordinaten von A und von B. Überprüfe diesen allgemeingültigen Satz am Beispiel der Punkte A(5 y A ) und B(20 45)! 26) Schneidet man die Streckensymmetrale m AB einer zwei Hyperbelpunkte A und B verbindenden Strecke (wobei die Hyperbel hyp gleichseitig ist und die Koordinatenachsen als Asymptoten besitzt) mit der Hauptachse a von hyp, so besteht zwischen dem Mittelpunkt M AB (t u) und dem Schnittpunkt S(v w) von m AB mit a die Beziehung v=w=t+u. Verifiziere diesen Satz anhand eines selbst gewählten Beispiels! 27) Auf der Hyperbel hyp [hyp.: xy=24] liegen die Punkte A(x A 12) und B(6 y B ). a) Berechne x A und y B und stelle in A und B jeweils sowohl eine Gleichung der Tangente t A und t B als auch eine Gleichung der Normalen n A und n B auf! b) Berechne die Koordinaten von {N}=n A n B und {T}=t A t B und verifiziere am vorliegenden Beispiel die allgemeingültige Formel y N = 2 2 x T y T + y 2y T A + y B!

7 28) Eine gleichseitige Hyperbel hyp mit den Koordinatenachsen als Asymptoten geht durch den Punkt A( 30/ 30). a) Stelle eine Gleichung von hyp auf! b) Berechne die fehlende Koordinate des Hyperbelpunkts D(5/y D ) sowie die Koordinaten der Schnittpunkte B und C von hyp mit der durch die Punkte ( 5/ 30) und (15/30) verlaufende Gerade g! c) Betrachte das Viereck ABCD und berechne die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte {E}=g AD g BC, {F}=g AB g CD und {G}=g AC g BD. Das Dreieck EFG heißt dann das Nebendreieck des Vierecks ABCD. d)zeige am konkreten Beispiel den allgemeingültigen Satz, dass die sechs möglichen Schnittpunkte der vier Tangenten eines einem Kegelschnitt einbeschriebenen Vierecks stets auf den Seiten seines Nebendreiecks liegen. 29) Eine gleichseitige Hyperbel hyp mit den Koordinatenachsen als Asymptoten geht durch den Punkt A( 9/ 4). a) Stelle eine Gleichung von hyp auf! b) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte B und C von hyp mit der durch die Punkte (9/5) und (15/3) verlaufende Gerade g! c) Die Tangenten an hyp in A, B und C bilden via t A t B ={C }, t B t C ={A } sowie t A t C ={B } ein Tangentendreieck A B C. Zeige, dass die Geraden g AA, g BB und g CC einander im sogenannten NAGELschen Punkt schneiden (Gib dessen Koordinaten als Bruch-, und nicht als Dezimalzahlen an!). 30) 31) 32)

8 Zusätzliche Übungsaufgaben (für besonders Fleißige, welche dann u.a. im Internet recherchieren, worum es bei den Sätzen von BRIANCHON und PASCAL geht): 33) Legt man in den Punkten T 1 (x 1 2), T 2 ( 18 4), T 3 ( 2 y 3 ), T 4 (x 4 18), T 5 (8 y 5 ) und T 6 (x 6 3) einer gleichseitigen Hyperbel hyp mit den Koordinatenachsen als Asymptoten die Tangenten an hyp, so bilden diese ein Tangentensechseck von hyp. Verifiziere an diesem konkreten Beispiel den Satz von BRIANCHON! 34) Die Punkte A( 10 6), B(x B 12), C(15 y C ), D(3 y D ), E(x E 30) und F(x F 1) liegen auf einer gleichseitigen Hyperbel hyp, deren Asymptoten die Koordinatenachsen sind Verifiziere an diesem konkreten Beispiel den Satz von PASCAL! Gutes Gelingen beim Lösen dieser schönen Aufgaben! Wien, im Juli Dr. Robert Resel, e. h.