Papierfalten und Algebra

Transkript

1 Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra en Robert Geretschläger Graz, Österreich 009

2 Blatt 1 Lösen quadratischer Gleichungen mit Zirkel und Lineal AUFGABE 1 Zeige, dass die x-koordinaten der Schnittpunkte R und S des abgebildeten Kreises mit der x-achse genau die en der quadratischen Gleichung x + px + q = 0 sind. Wie vorausgesetzt, haben U und X die Koordinaten U(0, 1) bzw. X( p, q). M ist der Mittelpunkt der Strecke XU und somit des Kreises, und R und S sind die Schnittpunkte des Kreises mit der x-achse. Da P und Q auf der x-achse liegen, sind ihre y-koordinaten gleich 0. Um ihre x-koordinaten zu berechnen, stellen wir zunächst einmal fest, dass M gleich weit entfernt ist von R, S und U. Da M der Mittelpunkt von XU ist, hat er die Koordinaten M ( p, q + 1 Nehmen wir nun an, dass die x-koordinaten von R und S durch die Variable x o dargestellt sind, folgt aus MR = MS = MU sofort ( x o + p ) ( ) q = oder d.h. ). (p x o + px o + p 4 + q + q + 1 = p 4 4 x o + px o + q = 0. ) ( ) 1 q + 1 q + q +, 4 Wir sehen also, dass die x-koordinaten von R und S genau die en der gegebenen Gleichung sind. Der Kreis mit Durchmesser XU schneidet die x-achse genau dann, wenn die Gleichung reelle en besitzt. Robert Geretschläger, 009

3 Blatt Falten von Parabeltangenten AUFGABE Zeige, dass jede Faltkante, die durch das Falten von F auf einen Punkt von l entsteht, eine Tangente der Parabel mit Brennpunkt F und Leitlinie l ist. Zunächst kann festgestellt werden, dass die Faltkante im rechten Winkel zur Verbindungsstrecke von F und F steht, und diese halbiert. Die Faltkante ist also die Streckensymmetrale der Strecke FF, und besteht somit aus allen Punkten, die von F und F gleich weit entfernt sind. Der Punkt X, der auf der Faltkante und der Normalen zu l durch F liegt, ist nach der Definition des Abstands eines Punkts von einer Geraden von l gleich weit entfernt wie von F. Dieser Punkt hat somit, da er als Punkt der Streckensymmetrale von FF denselben Abstand von F und F hat, auch denselben Abstand von F und l, und ist somit ein Punkt der Parabel. Nun müssen wir noch zeigen, dass es auf der Faltkante keinen weiteren Punkt der Parabel gibt. Nehmen wir an, es gäbe einen zweiten solchen Punkt Y. Als Punkt der Streckensymmetrale von FF ist dieser Punkt von F und F gleich weit entfernt. Nun wird aber der Abstand von Y zu l auf der Normalen zu l gemessen. Dieser ist also gleich dem Abstand von Y zum Lotfußpunkt (F). Da das Dreieck Y F (F) rechtwinkelig ist, ist die Hypotenuse Y F sicher länger als die Kathete Y (F). Der Abstand von Y zu l ist somit sicher kleiner als der Abstand von Y zu F, und Y ist daher sicher kein Punkt der Parabel. Dieses Argument gilt für alle Punkte der Faltkante, die auf derselben Seite von l wie F und X liegen. Da sicher kein Punkt auf der anderen Seite von l denselben Abstand von F und l haben kann, gibt es auf l genau einen Punkt der Parabel, und da die Faltkante sicher nicht normal zu l liegt ist die Faltkante, wie behauptet, eine Tangente der Parabel. Robert Geretschläger, 009

4 Blatt 3 Lösen quadratischer Gleichungen mit Faltmethoden AUFGABE 3.1 Zeige, dass die Steigungen der Tangenten der Parabel p durch den Punkt P die en einer quadratischen Gleichung mit von u, v und w abhängigen Koeffizienten sind und bestimme diese Gleichung. Die Gerade mit der Steigung s, die durch den Punkt P(v, w) geht, hat die Gleichung y = s(x v) + w. Wenn eine solche Gerade Tangente der Parabel p sein soll, muss die Diskriminante der Gleichung gleich 0 sein. Daher gilt x = u(s(x v) + w) x usx + uvs uw = 0 u s uvs + uw = 0 s v u s + w u = 0, und wir sehen, dass die Steigungen der Tangenten von p durch P die en der Gleichung x + px + q = 0 Robert Geretschläger, 009 1/

5 mit p = v u and q = w u sind. AUFGABE 3. Wie müssen die Werte von u, v und w in der Angabe zu Aufgabe 3.1.gewählt werden, damit die Steigungen der Parabeltangenten durch P en der Gleichung x + px + q = 0 bei vorgegebenen Werten p und q sind? Wo liegt der Brennpunkt und wo die Leitlinie der Parabel? (d.h.: Welchen Punkt muss man auf Punkte welcher Geraden falten, sodass die entstehenden Faltkanten durch den Punkt P gehen und ihre Steigungen die gegebene quadratische Gleichung lösen?) Wollen wir eine vorgegebene Gleichung x + px + q = 0 lösen, können wir u =, v = p und w = q wählen, und erhalten somit die en als Steigungen der Tangenten der Parabel p : x = 4y durch den Punkt P( p, q). Robert Geretschläger, 009 /

6 Blatt 4 Gemeinsame Tangenten zweier Parabeln: Eine kubische Aufgabe AUFGABE 4 Bestimme die Steigung der gemeinsamen Tangente der beiden Parabeln p 1 und p in Abhängigkeit von a und b. Wir nehmen an, dass die Gleichung der gesuchten gemeinsamen Tangente t : y = cx + d ist. Ferner nehmen wir an, dass T 1 (x 1, y 1 ) der Berührpunkt von t mit p 1 ist. Die Gleichung von t kann dann auch geschrieben werden als Somit gilt yy 1 = ax + ax 1 y = a y 1 x + ax 1 y 1. c = a y 1 und d = ax 1 y 1 = cx 1 y 1 = a und c a c = a d c a = cd. x 1 = d c Ferner nehmen wir an, dass T (x, y ) der Berührpunkt von t mit p ist. Die Gleichung von t kann dann auch geschrieben werden als Robert Geretschläger, 009 1/

7 Somit gilt auch und wir erhalten xx = by + by y = x b x y. c = x und d = y b x = bc und y = d b c = bd d = bc, a = cd und a = bc 3 d = bc c = 3 a b. Robert Geretschläger, 009 /

8 Blatt 5 Das Delische Problem AUFGABE 5 Zeige, dass a : b = 3 : 1 gilt. Aufgrund der Angabe gilt AE = EG = GB = DF = FH = HC. Verwenden wir die Punktbezeichnungen aus der Figur, gilt nun und und da BPC rechtwinkelig ist, folgt oder und somit haben wir PC = PC, PC = (a + b) c, b + c = (a + b c) 0 = a + ab c(a + b), c = a + ab (a + b). Die Dreiecke BPC und ECH sind ähnlich, da und CBP = HEC = 90 o Robert Geretschläger, 009 1/

9 CPB = 180 o CBP BCP = 90 o BCP = 90 o (180 o ECH HCP) = ECH gilt. In ECH haben wir und und wegen folgt CH = a + b 3 EC = a a + b 3 CH EC = PC BP = a b, 3 a+b 3 a b 3 = a + b a +ab (a+b) a +ab (a+b) a + b a b = a + ab + b a + ab a 3 + a b + a b + ab = a 3 4a b + 4ab a b ab b 3 a 3 = b 3. Ziehen wir daraus die dritte Wurzel, erhalten wir und die Behauptung ist gezeigt. a = 3 b, Robert Geretschläger, 009 /

10 Blatt 6 Dritte Wurzeln falten AUFGABE 6.1 Gib eine Möglichkeit für Punkte und Geraden an, die so gewählt wurden, dass das gleichzeitige Falten der beiden Punkte auf die jeweils zugehörige Gerade eine Faltkante mit der Steigung 3 ergibt. AUFGABE 6. Gib eine Möglichkeit für Punkte und Geraden an, die bei vorgegebener natürlicher Zahl n > so gewählt wurden, dass das gleichzeitige Falten der beiden Punkte auf die jeweils zugehörige Gerade eine Faltkante mit der Steigung 3 n ergibt. Aus der zu Aufgabe 4 wissen wir, dass die gemeinsame Tangente der Parabeln mit den Gleichungen p 1 : y = ax und p : x = by die Steigung 3 a hat. Wollen wir also, dass b die Steigung 3 n sein soll, können wir z.b. a = n und b = 1 oder auch a = n und b = wählen. Letzteres ist vielleicht etwas einfacher zu handhaben, da wir ja wissen, dass etwa der Brennpunkt einer Parabel mit der Gleichung y = px die Koordinaten ( p, 0) hat. Für a = n und b = hat also die Parabel p 1 den Brennpunkt (n, 0) und die Leitlinie mit der Gleichung x = n und die Parabel p den Brennpunkt (0, 1) und die Leitlinie mit der Gleichung y = 1. (Im Sonderfall n = haben wir natürlich den Brennpunkt (, 0) und die Leitlinie mit der Gleichung x =.) Falten wir also jeweils die Brennpunkte gleichzeitig auf die zugehörigen Leitlinien, bekommen wir die gemeinsame Tangente der beiden Parabeln als Faltkante, und diese hat die gewünschte Steigung. Robert Geretschläger, 009

11 Blatt 7 Papierfalten und Algebra Lösen kubischer Gleichungen durch Falten AUFGABE 7.1 Bestimme eine Gleichung, deren Koeffizienten von den Werten a, b, m und n abhängen, deren en die Steigungen der gemeinsamen Tangenten von p 1 und p sind. AUFGABE 7. Bestimme die Koordinaten von Punkten P 1 und P und die Gleichungen von Geraden l 1 und l so, dass die Steigungen der Faltkanten, die sich bei gleichzeitigem Falten von P 1 auf l 1 und P auf l ergeben, die Gleichung x 3 + px + qx + r = 0 lösen. Wie in der von Aufgabe 4 nehmen wir an, dass die Gleichung einer gemeinsamen Tangente von p 1 und p (die in diesem Fall nicht notwendigerweise eindeutig ist), durch die Gleichung t : y = cx + d gegeben ist. Wieder kann eine derartige Tangente zu keiner Koordinatenachse parallel sein. Wir nehmen wieder an, dass T 1 (x 1, y 1 ) der Berührpunkt von t mit p 1 ist. t hat dann auch die Gleichung Es folgt somit (y n)(y 1 n) = a(x m) + a(x 1 m) y = a y 1 n x + n + ax 1 am y 1 n. c = a y 1 n und d = n + ax 1 am y 1 n y 1 = a + nc c and x 1 = d n c + m, Robert Geretschläger, 009 1/

12 und (y 1 n) = a(x 1 m) ( ) a d n c = a + m c a = c(d n + cm). Nehmen wir wieder an, dass T (x, y ) der Berührpunkt von t mit p ist, hat t auch die Gleichung woraus folgt. Setzen wir für d ein, erhalten wir a = c y = x b x y, d = bc ) ( bc n + cm bc 3 mc + nc + a = 0 c 3 m b c + n b c + a b = 0. Die Steigung der gemeinsamen Tangente ist also eine der Gleichung c 3 m b c + n b c + a b = 0. Wir stellen fest, dass diese Gleichung eine reelle und ein Paar konjugiert komplexer en haben kann, oder aber drei reelle (von denen eventuell zwei oder alle drei gleich sein können). Diese Fälle entsprechen den Umständen, dass sich die Parabeln schneiden, oder eben nicht. Für eine gegebene kubische Gleichung kann man daher auf folgende Art die en bestimmen. Nehmen wir an, die gegebene Gleichung wäre x 3 + px + qx + r = 0. Nehmen wir als Parameter b von p die Einheit 1, gilt p = m, q = n und r = a oder m = p, n = q und a = r. Wir müssen also nur den Punkt mit den Koordinaten ( F 1 p + r, q ) und die Gerade l 1 mit der Gleichung x = p r bestimmen. Diese sind dann Brennpunkt und Leitlinie der Parabel p 1. Der Brennpunkt F von p ist ( 0, 1 ), und ihre Leitlinie l ist durch die Gleichung y = 1 gegeben. Falten wir F 1 auf l 1 und gleichzeitig F auf l, erhalten wir eine gemeinsame Tangente von p 1 and p, deren Steigung die gegebene Gleichung löst. Robert Geretschläger, 009 /

13 Blatt 8 Winkeldreiteilung nach Abe AUFGABE 8 Beweise, dass A AB = θ 3 gilt. Zunächst stellen wir fest, dass die Faltkante XY sicher zu keiner Seite des Ausgangsquadrats parallel liegt. (X und Y sind wie in der Abbildung rechts ersichtlich definiert.) Ist Z der Schnittpunkt der Faltkante mit GG, sehen wir, dass Z der Höhenschnittpunkt der Dreiecks AA X ist, da die Gerade A G = GG normal zu AX ist, und AA normal zur Faltkante XY. Da GA beim Falten in G A übergeht (und XA in XA ), ist AG die dritte Höhe in AA X, und geht somit durch Z. Bezeichnen wir den Winkel AXY = A XY = α, erkennen wir, dass AG normal zu A X ist und AB zu AX. Es folgt somit G AB = A XA = α. Bezeichnen wir den Lotfußpunkt von A auf AB mit A, sehen wir, dass die Dreiecke AA A und AA G kongruent sind, da beide rechtwinkelig sind, AA als gemeinsame Hypotenuse haben, und sowohl A A als auch A G gleich lang wie GA sind. Es folgt somit G AA = A AA = α. Auf ähnliche Art sieht man, dass auch die Dreiecke AA G und AF G kongruent sind. Beide sind rechtwinkelig mit der gemeinsamen Kathete AG, und es gilt Es folgt somit auch F G = FG = GA = G A. F AG = G AA = A AA = α, und die Geraden AG und AA dritteln somit wie behauptet den Winkel EAB. Robert Geretschläger, 009

14 Blatt 9 Winkeldreiteilung durch einer kubischen Cosinusgleichung AUFGABE 9 Bestimme eine Formel für cos 3x und leite daraus eine Methode zum Dritteln eines Winkels mit Papierfaltmethoden ab. Eine Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen ist die folgende. Es gilt cos 3α = cos (α + α) = cosαcos α sin α sin α = cosα( cos α 1) sin α cosα = cos 3 α cosα (1 cos α) cosα = 4 cos 3 α 3 cosα. Kennen wir also bereits eine Strecke der Länge cos 3α, können wir cos α bestimmen, indem wir die Gleichung x x 1 cos 3α = 0 4 lösen. Wie wir bereits aus Aufgabe 7 wissen, können wir dies mit Hilfe der Parabeln p 1 mit Brennpunkt ( F 1 1 ) 8 cos 3α, 3 8 und Leitlinie l 1 : x = 1 cos 3α 8 (da( a negativ ist, ist die Parabel in diesem Fall nach links offen), und p mit Brennpunkt F 0, 1 ) und Leitlinie l : y = 1 bewerkstelligen. Die Steigung einer gemeinsamen Tangente dieser Parabeln liefert uns den Wert von cosα, und somit den Winkel α selbst. Robert Geretschläger, 009