Geometrie kubischer Kurven

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1 Geometrie kubischer Kurven Werner Hoffmann Wir wollen die Theorie nur soweit entwickeln, wie es zum Verständnis der Gruppenoperation auf einer irreduziblen kubischen Kurve nötig ist. Satz 1 In der affinen Ebene seien Geraden p 1, p 2, p 3, q 1, q 2 q 3 gegeben, wobei sich p i und q j in einem Punkt A ij schneiden, so dass all diese Punkte verschieden sind. Liegen acht von diesen neun Punkten auf einer kubischen Kurve, so liegt auch der neunte darauf. Beweis. Wir bezeichnen eine affine Funktion, deren Nullstellenmenge die Gerade p i ist, ebenfalls mit p i, und analog für q j. Dann ist p 1 p 2 p 3 = 0 die Gleichung der Vereinigung von p 1, p 2 und p 3, und analog für q 1 q 2 q 3 = 0. Sind α und β Zahlen, so liegen sämtliche Punkte A ij auf der durch αp 1 p 2 p 3 + βq 1 q 2 q 3 = 0 definierten kubischen Kurve. Wir werden beweisen, dass jede kubische Kurve, die durch acht der neun Punkte geht, durch eine Gleichung dieser Form gegeben ist. Daraus folgt natürlich die Behauptung. Es sei also P irgendeine kubische polynomiale Funktion auf der Ebene, deren Nullstellenmenge alle A ij außer möglicherweise A 33 enthält. Wir wählen die Geraden p 1 und q 1 als Koordinatenachsen, so dass p 1 (x,y) = y und q 1 (x,y) = x. Die Polynome P(0,y) und p 1 (0,y)p 2 (0,y)p 3 (0,y) verschwinden an den drei Punkten A 11, A 21 und A 31, und das erstere hat höchstens den Grad 3, also gibt es ein α mit P(0,y) = αp 1 (0,y)p 2 (0,y)p 3 (0,y). Analog findet man ein β mit P(x, 0) = βq 1 (x, 0)q 2 (x, 0)q 3 (x, 0). Nun setzen wir Q = P αp 1 p 2 p 3 βq 1 q 2 q 3. Nach Konstruktion ist Q(0,y) = 0 für alle y, also ist Q(x,y) durch x teilbar. Analog folgt, dass Q(x,y) durch y teilbar ist, d. h. Q(x,y) = xyq 1 (x,y) mit einem Polynom Q 1 vom Grad höchstens 1. Außerdem verschwindet Q 1

2 in allen Punkten A ij. Da x und y in den Punkten A 22, A 23 und A 32 nicht verschwinden, muss Q 1 dort verschwinden. Wäre Q 1 nicht identisch gleich Null, so wäre seine Nullstellenmenge eine Gerade, was unmöglich ist, denn die drei genannten Punkte sind nicht kollinear. Damit sich zwei gegebene Geraden immer schneiden, fügen wir unendlich ferne Punkte zur affinen Ebene hinzu, und zwar einen für jede Schar paralleler Geraden. Technich gesehen betten wir die affine Ebene in einen dreidimensionalen Vektorraum ein, so dass sie nicht durch den Nullpunkt geht, und identifizieren jeden Punkt der Ebene mit dem durch ihn verlaufenden eindimensionalen Unterraum. Die Menge aller eindimensionalen Unterräume ist dann die Projektive Ebene, und eine projektive Gerade besteht aus allen eindimensionalen Unterräumen in einem gegebenen zweidimensionalen Unterraum. Insbesondere bilden die unendlich fernen Punkte eine projektive Gerade, die aber in der projektiven Ebene keine Sonderrolle mehr spielt. Wir wählen eine dritte Koordinate z, so dass die ursprüngliche affine Ebene durch die Gleichung z = 1 gegeben ist. Die Koordinaten (x,y,z) eines Punktes der projektiven Ebene sind dann nur bis auf Multiplikation (λx, λy, λz) mit einer Konstanten λ 0 bestimmt (homogene Koordinaten), und eine Äquivalenzklasse solcher Tripel wird als fortlaufende Proportion (x : y : z) geschrieben. Ist P(x,y) = i,j a i,j x i y j ein Polynom vom Grad n, so erhalten wir ein homogenes Polynom F(x,y,z) = i,j a i,j x i y j z n i j, dessen Nullstellenmenge in der projektiven Ebene wohldefiniert ist und, geschnitten mit der affinen Ebene z = 1, genau die Nullstellenmenge von P ergibt. Auf diese Weise lässt sich eine affine Kurve zu einer projektiven Kurve abschließen. Insbesondere ist jede projektive Gerade als Nullstellenmenge einer (homogenen) linearen Funktion gegeben. Satz 1 überträgt sich samt Beweis auf den Fall projektiver Kurven. Lemma 1 Eine Gerade in der projektiven Ebene schneidet eine Kurve vom Grad n, in der sie nicht enthalten ist 1, in höchstens n Punkten. Über einem 1 Genauer soll die definierende Gleichung der Kurve durch die der Geraden teilbar sein, was über endlichen Grundkörpern etwas mehr verlangt. 2

3 algebraisch abgeschlossenen Grundkörper gibt es unter Berücksichtigung der Vielfachheit genau n Schnittpunkte, über dem Körper der reellen Zahlen ist die Anzahl der Schnittpunkte kongruent zu n modulo 2. Beweis. Bei geeigneter Wahl der Koordinaten hat die Gerade die Gleichung y = 0, und die anderen homogenen Koordinaten der Schnittpunkte sind die Lösung einer homogenen Gleichung n Q(x,z) := b p x p z n p = 0, p=0 die sich aus der definierenden Gleichung der Kurve durch Einsetzen von y = 0 ergibt. Da die Gerade nicht in der Kurve enthalten ist, verschwinden nicht alle Koeffizienten. Ist d die grösste Zahl mit b d 0, so hat das Polynom Q(x, 1) höchstens d Nullstellen t 1,..., t e, und setzen wir x/z statt x ein, so erhalten wir Q(x,z) = z n d (x t 1 z)...(x t e z)q 1 (x,z), und wir haben die Schnittpunkte (1 : 0 : 0) (mit Vielfachheit n d) und (t 1 : 0 : 1),..., (t e : 0 : 1). Ist der Grundkörper algebraisch abgeschlossen, so hat Q(x, 1) genau d Nullstellen. Über dem Körper der reellen Zahlen hat das nullstellenfreie Polynom Q 1 (x, 1) geraden Grad. Eine Gerade heißt Tangente an eine Kurve mit der homogenen Gleichung F = 0 im Punkt A, wenn die Einschränkung von F auf die Gerade an der Stelle A eine mehrfache Nullstelle hat. Für jeden Vektor V können wir schreiben F(A + V ) = F(A) + F 1 (A,V ) + F 2 (A,V ) +..., wobei F i (A + tv ) = t i F(A,V ) als Poloynom in t ist. (Über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist F 1 (A,V ) die Richtungsableitung von F bezüglich V an der Stelle A, und die gesamte Formel ist die Taylorentwicklung von F an der Stelle A.) Die Gerade durch A mit der Richtung V ist genau dann eine Tangente, wenn F 1 (A,V ) = 0 ist. Der Punkt A heißt singulärer Punkt der Kurve, wenn F 1 (A,V ) als lineare Funktion von V identisch gleich Null ist. In einem nichtsingulären Punkt A der Kurve gibt es also genau eine Tangente, bestehend aus den Lösungen X der Gleichung F 1 (A,X A) = 0. Da F in unserem Fall homogen ist, also F(A + ta) = 0, folgt F i (A,A) = 0, und die Tangentengleichung wird zu F 1 (A,X) = 0. 3

4 Satz 1 hat folgende Verallgemeinerung auf den Fall, wenn einige der Punkte zusammenfallen. Satz 2 In der projektiven Ebene seien Geraden p 1, p 2, p 3, q 1, q 2 q 3 gegeben, wobei sich p i und q j in einem Punkt A ij schneiden. Die Einschränkung eines kubischen homogenen Polynoms auf jede der Geraden p i habe die Punkte A i1, A i2 und A i3 (eventuell mit Ausnahme von A 33 ) als Nullstellen unter Berücksichtigung der Vielfachheit, und das Analoge gelte für die Geraden q j. Dann folgt dieselbe Aussage unter Einbeziehung von A 33. Der Beweis ist analog zu dem von Satz 1, wobei jetzt die Vielfachheit der Punkte auf einer Geraden als Nullstellen des definierenden Polynoms zu beachten ist. Satz 3 Gegeben seien eine nichtsinguläre irreduzible kubische Kurve in der projektiven Ebene über einem beliebigen Körper und ein Punkt E der Kurve. Dann gibt es zu Punkten A und B der Kurve genau einen Punkt X, der mit A und B auf einer Geraden liegt, so dass die Einschränkung der definierenden Gleichung der Kurve auf diese Gerade die Punkte A, B und X unter Berücksichtigung der Vielfachheit als Nullstellen hat. Bezeichnen wir X mit A B, so wird durch A+B = (A B) E eine kommutative Gruppenoperation auf der Kurve mit trivialem Element E definiert. Beweis. Nach dem Lemma gibt es zu gegebenen Punkten A und B immer einen Punkt X mit der geforderten Eigenschaft. Dabei benutzen wir die durch A und B verlaufende Sekante bzw. Tangente, die wegen der Nichtsingularität der Kurve eindeutig ist. Die Kommutativität der Operation + ist offensichtlich, ebenso wie die Eigenschaft von E, triviales Element zu sein. Man prüft leicht nach, dass A (E E) das entgegengesetzte Element zu A bezüglich + ist. Zum Beweis der Assoziativität seien drei Punkte A, B und C gegeben. Dann bilden die bei der Konstruktion von A + B und B + C auftretenden Geraden folgendes Schema: 4

5 C A+B E B+C A B Nach Satz 2 schneiden sich die Geraden durch A + B und C bzw. durch A und B + C in einem Punkt der Kurve, dessen entgegengesetztes Element sowohl (A + B) + C als auch A + (B + C) ist. Satz 2 ist natürlich nicht anwendbar, wenn gewisse Geraden zusammenfallen, z. B. wenn A, B und C kollinear sind oder wenn A, B und B + C kollinear sind. Diese entarteten Fälle, in denen weniger Geraden eine Rolle spielen, können direkt mit Hilfe der Definition erledigt werden. B A E A+B 5

6 Zerfällt die kubische Kurve in eine Gerade und eine irreduzible Kurve zweiten Grades, so erhält man durch dieselbe Konstruktion eine Gruppenoperation auf der letzteren Komponente, falls dort ein triviales Element E vorgegeben ist. Im Falle eines Kreises in einer reellen affinen Ebene und der unendlich fernen Geraden ist dies genau die Gruppe der Drehungen des Kreises. Literatur: V. Prasolov, Y. Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1997 (Chapter 1) 6