Algebraische Kurven. Holger Grzeschik

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1 Algebraische Kurven Holger Grzeschik

2 Inhaltsübersicht 1.Einführung in die Theorie algebraischer Kurven 2.Mathematische Wiederholung Gruppen, Ringe, Körper 3.Allgemeine affine Kurven 4.Singuläre Punkte 5.Schlussfolgerungen 6.Probleme

3 Theorie algebraischer Kurven vorher: Sweep-Algorithmus mit Liniensegmenten jetzt: allgemeine Kurven statt Liniensegmenten?

4 Theorie algebraischer Kurven Ereignispunkte Anfangspunkte Endpunkte Schnittpunkte Ereignispunkte Punkte mit vertikaler Tangente singuläre Punkte Schnittpunkte

5 Parametrisierte und implizite Kurven Parametrische Darstellung: { x t, y t t [ 0,1 } dynamische Struktur: Länge des Tangentenvektors Geschwindigkeit v Beispiel - Gerade: Implizite Darstellung: x ' t, y ' t x=t, y=t v= 2 x=2 t, y=2t v=2 2 Menge { x, y f x, y =0} mit f x, y Q[ x, y ] Beispiel - Einheitskreis: f x, y =x 2 y 2 1 aber keine dynamische Struktur!

6 Implizite Kurven Polynom: f x, y = i, j a ij x i y j mit a ij Q Grad eines Polynoms: maximaler Wert für i + j mit a ij 0. Nullmenge eines Polynoms: V f = { x, y R 2 f x, y =0 } Unterscheide Nullmenge und Polynom! { x, y R 2 x 2 y 2 1=0 }= { x, y R 2 x 2 y 2 2=0 } Def.: Eine rationale algebraische Kurve ist ein rationales Polynom f 0, bis auf Multiplikation mit einem Skalar ( 0). Grad einer Kurve entspricht Grad des Polynoms: Linie (d = 1), Conic (Kegelschnitt) (d = 2), Cubic (d = 3)...

7 Implizite Kurven Kurve als Äquivalenzklasse eines Polynoms Zwei Polynome f, g sind äquivalent ( f ~ g ) falls ein Skalar λ 0 existiert mit g = λf. Die Relation ~ erfüllt die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation: 1.) Reflexivität 2.) Symmetrie 3.) Transitivität f ~ f f ~g g~ f f ~g g~h g~ f

8 Implizite Kurve Beispiel I Zwei Geraden a 1 x b 1 y c 1, a 2 x b 2 y c 2 in Q[ x, y ] Schnittpunkte der zwei Geraden: a 1 x b 1 y c 1 =0, a 2 x b 2 y c 2 =0 a 1 b 1 a 2 b 2 x y = c 1 c 2 Determinante: =a 1 b 2 a 2 b 1 1.) 0 genau eine Lösung 2.) =0 a 1 = a 2, b 1 = b 2,c 1 = c 2 Überlappung 3.) sonst keine Lösung, d.h. parallele Linien Lösung (x,y) nur linear von a 1,2, b 1,2, c 1,2 abhängig, also in! kein Problem für Sweep-Algorithmus Q 2

9 Implizite Kurve Beispiel II Kegelschnitte (Conics, Grad d=2): Kreis um a, b mit Radius r: x a 2 y b 2 =r 2 Ellipse: Parabel: x 2 a y 2 2 b =1 2 y 2 = x Hyperbel: yx=1 Schnittpunkte nicht notwendig in trotz Koeffizienten aus Q! Q 2 evtl. Problem für Sweep-Algorithmus

10 Parametrisierte Kurve Beispiel III Gegeben: Parabel y 2 =4 ax, a 0, Punkt P = parametrisierte Darstellung: x=a t 2, y=2 at, 0 fixiere p 0 = x t 0, y t 0 Tangentenvektor an p 0 ist x ' t 0, y ' t 0 = 2 at 0, 2 a Tangente durch x t : x t 0 y a t 2 0, y t 0 0 =0 Normale durch P: t 0 x y t 0 =0 P(t 0 ) = Schnittpunkt von Tangente und Normale x= a t 2 Pedalkurve: 1 t 2 Menge der Punkte P(t) y= t at 2 1 t 2 =0 hier Grad d=3 0 P(t 0 ) p 0 =(x(t 0 ),y(t 0 )) 0

11 Kurven über beliebigen Körpern Wie oft schneidet der Einheitkreis die Linie y=c für x, y, c R? f x, y =x 2 y 2 1 Schnittpunkte durch Gleichung x 2 =1 c 2 bestimmt. 1. Fall: 1 c 1 zwei verschiedene reelle Lösungen 2. Fall: c=±1 eine einzige reelle Lösung 3. Fall: c 1 keine reelle Lösung Aber: Betrachte x, y C 2 Dann gibt es immer zwei Lösungen (bei c=±1doppelte Nullstelle). geeignete Wahl des Körpers

12 Mathematische Wiederholung Gruppe Def.: Eine Menge X zusammen mit einer Operation heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind: G1 Abgeschlossenheit: binäre Operation, G2 Assoziativität: G3 Neutrales Element: G4 Inverses Element: x, y, z X x y z = x y z x, y X x y X e X : x X : e x=x e=x x X : x 1 X : x x 1 =x 1 x=e Falls auf X kommutativ ist (d.h. x y= y x mit x, y X ), so nennt man X abelsche Gruppe. * * * Beispiele: Z,Q,R,C mit + oder Q,R,C mit

13 Mathematische Wiederholung Ringe, Körper Def.: Ein kommutativer Ring ist eine Menge R mit verschiedenen Elementen 0, 1 und kommutativen Operationen + (Addition) und (Multiplikation) die die folgenen drei Axiome erfüllt: R1 R ist eine Gruppe (abelsch) unter + mit Identität 0. R2 Multiplikation ist assoziativ mit Identität 1. R3 Es gilt das Distributivgesetz Def.: Ein Körper ist ein kommutativer Ring bei dem jedes Element ungleich Null ein multiplikatives Inverses besitzt. Beispiele für Körper: Q,R,C, Z/ p Z mit p prim

14 Ebene Def.: Betrachte eine Menge X, deren Elemente wir Punkte nennen, zusammen mit nichtleeren Teilmengen von X bezeichnet als Linien. Ein Punkt p liegt auf einer Linie l, oder l geht durch p wenn p ein Element von l ist. X ist eine Ebene, wenn Punkte und Linien folgende Axiome erfüllen E1 Es gibt mindestens drei Punkte die nicht auf ein und derselben Linie liegen. E2 Durch je zwei Punkt p, q geht genau eine Linie

15 Affine Ebene Sei eine Ebene X, eine Linie l in X und einen Punkt p in X gegeben. Zwei Linien sind parallel, wenn sie disjunkte Teilmengen von X sind. Dies führt auf drei Möglichkeiten: (1) Es gibt keine Linie durch p parallel zu l. (2) Es gibt genau eine Linie durch p parallel zu l. (3) Es gibt mehr als eine Linie durch p parallel zu l. Def.: Affine Ebene: (2) gilt für alle p, l bei denen p nicht auf l liegt (intuitive Vorstellung) (2) gilt nicht immer: z.b. gilt für projektive Ebenen (1)

16 Kurven in affinen Ebenen Eine algebraische Kurve (oder kurz Kurve) über dem Körper K ist ein Polynom f x, y = a ij x i y j 0, a ij K i, j über K bis auf Multiplikation mit einem Skalar ungleich Null. Der Grad der Kurve ist durch den Grad des Polynoms gegeben. Dabei nennt man Kurven von Grad 1, 2, 3, 4,... Linien, Conics, Cubics, Quartics,... Nullmenge einer algebraischen Kurve: V f = { x, y K 2 f x, y =0 }

17 affine Kurven - Nullmenge Lemma: Die Nullmenge jeder Kurve f mit Grad d > 0 in d Beweis: Sei f x, y = a i y x i i=0 Fall 1: f x, y =a 0 y variiere x ist unendlich. Fall 2: a i y 0, 1 i d z.z.: unendlich viele Linien y = const, die mindestens einen Schnittpunkt mit f haben. d fixiere y=c f x, c = a i c x i =: x i=0 nur endlich viele c mit 0=a 1 c = =a d c für alle anderen c C gilt deg x 1 aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt direkt die Existenz mindestens einer Nullstelle von x. C 2

18 Singuläre Punkte Singulärer Punkt entspricht anschaulich einem Punkt ohne Tangente. Tangenten an parametrisierte Kurve einfach (Ableitung) Wie findet man die Tangente zu einer impliziten Kurve f?

19 Singuläre Punkte Def.: Sei k N, a, b V f und L eine Linie durch a, b. Dann trifft L die Kurve f mit Multiplizität k in a, b wenn L wie * parametrisiert werden kann, so dass t=0 eine Lösung von Multiplizität k von g t = f x t, y t = f a ct, b dt =0 ist. * x t =a ct y t =b dt c d Richtungsvektor L ist Tangente an f in a, b wenn t = 0 Lösung mit Multiplizität 2 ist. Dann ist auch g ' 0 =0. g ' t = x f a ct, b dt c y f a ct, b dt d g ' 0 = x f, y f a, b c d = f a, b c d =0

20 Singulärer Punkt & Tangente g ' t = x f a ct, b dt c y f a ct, b dt d g ' 0 = x f, y f a, b c d = f a, b c d =0 Gradienten Vektor: f = f x, f y steht senkrecht auf Tangente Sei f ein Polynom über K und a, b V f. (1) Falls f a, b 0,0 dann gibt es genau eine Linie, die Tangente, die f mit Multiplizität 2 trifft. Man sagt a, b ist nichtsingulärer Punkt von f. (2) Falls f a, b = 0,0 dann trifft jede Linie durch a, b die Kurve f mit Multiplizität 2. In diesem Fall heißt a, b singulärer Punkt von f.

21 Theorie algebraischer Kurven Ereignispunkte Anfangspunkte Endpunkte Schnittpunkte Objektanalyse Objektinteraktion Ereignispunkte Punkte mit vertikaler Tangente f = f y =0 singuläre Punkte f = f y = f x =0 Schnittpunkte Alle Ereignispunkte können als Schnittpunkte zwischen Kurvenpaaren aufgefasst werden (hier f, f y, bzw. f, g ).

22 Probleme y-koordinate des Schnittpunkts Aktualisierung der Y-Struktur bei Schnittpunkten Berechnung und Sortieren der X-Struktur