1. Aufgabenblatt zur Algebra II

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1 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Geben Sie ein Ideal I an, das zwei windschiefe Geraden im C 3 bestimmt. Geben Sie ein geometrisches Argument dafür an, dass I kein Polynom vom Grad enthält. 3 3 Aufgabe : Zeigen Sie, dass das kartesische Blatt, x + y 3xy = 0, eine rationale Parametrisierung besitzt. Aufgabe 3: Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen algebraische Varietäten sind: (i) Die spezielle lineare Gruppe SL ( ) n C = { A Mat ( n n, C ) deta = } (ii) Der komplexe Torus n n {( α,..., αn ) α... αn 0} T = C Sind die folgenden Mengen algebraische Varietäten? (i) M : = {( cos t,sin t) t R} R (ii) M : = {( t,cos t) t R} R

2 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Zeigen Sie, dass das Radikal eines Ideals wieder ein Ideal ist. Aufgabe : Zeigen Sie, dass es keine minimalen Ideale im Ring C [ X,..., Xn ] gibt, wohl aber minimale Primideale und charakterisieren Sie diese geometrisch. Aufgabe 3: Sei ( ) 3 V = V I C definiert durch das Ideal ( I = x yz, xz x). V kann als Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten V = V V V3 dargestellt werden. Bestimmen Sie die V i und I( V i ) und zeigen Sie deren Irreduzibilität. Aufgabe 4: Der Ring der trigonometrischen Polynome ist die Menge der Funktion, die n m sich als C -Linearkombinationen von Funktionen cos φsin φ schreiben lassen. Zeigen Sie, dass der Körper der trigonometrischen Funktionen, p Ktrig : = { q 0, p trigonometrisches Polynom q }, d.h. der Körper der rationalen Funktionen in sinφ und cosφ, isomorph zum Körper C ( t ) der rationalen Funktionen ist.

3 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Beweisen Sie die folgenden Aussagen. Dabei sind RS, Ringe, I ein Ideal in R und π : S R ein surjektiver Ringhomomorphismus. (i) Jedes Primideal ist ein Radikalideal. (ii) I ist Radikalideal in R genau dann, wenn R I ein reduzierter Ring ist. (iii) I ist Radikalideal in R genau dann, wenn das Urbild π ( I ) ein Radikalideal in S ist. m Aufgabe : Es sei X = { P,..., P n } C eine Menge mit n verschiedenen Punkten. Bestimmen Sie den Koordinatenring C [ X ]. Aufgabe 3: Es seien fg, : Z W polynomiale Abbildungen zwischen zwei affinen Varietäten. Zeigen Sie, dass Diag ( fg, ): = { z Z f( z) = g( z) } eine abgeschlossene Teilmenge von Z ist. Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass das Bild einer polynomialen Abbildung C C nicht in jedem Fall eine algebraische Menge ist. Was vermuten Sie für polynomiale Abbildungen C n C?

4 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Es sei V C die durch x + y = gegebene Quadrik auf f K( V ) die rationale Funktion, welche durch x y bestimmt ist. Geben Sie den Definitionsbereich von f an und entscheiden Sie, ob f K[ V ] gilt. Aufgabe : Beweisen Sie, dass die Hyperbel C = {( x, y) C xy = } nicht isomorph zu C ist. Aufgabe 3: Gegeben sei eine rationale Funktion ( f K C ) mit einem Definitionsbereich, der C \{( 0,0) } enthält. Zeigen Sie, dass dann [ f K C ] gilt. Nutzen Sie die Tatsache, dass [ K C ] ein faktorieller Ring ist. C C C Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass die Zariski-Topologie auf A = A A nicht die Produkttopologie der Zariski-Topologie auf den beiden Faktoren ist.

5 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Sei X das Achsenkreuz in C, x = {( x, y) xy = 0}. Zeigen Sie, dass der lokale Ring von X in einem Punkt ( 0,u ), u 0, isomorph zu C [ t ] ( t ) ist, also zum lokalen Ring einer Geraden. (D.h. der lokale Ring in ( 0,u ) ist unempfindlich gegen die Existenz der Komponente y = 0.) 3 Aufgabe : Sei X = {( x, y) y x x = 0} eine Kubik mit Doppelpunkt. Zeigen Sie, dass der lokale Ring von X im Nullpunkt ein Integritätsring ist. (D.h. der lokale Ring eignet sich zum Nachweis der Irreduzibilität von X.) Aufgabe 3: Zeigen Sie, dass die quasiaffine Varietät X = A C \{( 0,0) } zu keiner affinen Varietät isomorph ist. Sie können mit dem Hilbertschen Nullstellensatz argumentieren. Aufgabe 4: Betrachten Sie die folgenden reellen Quadriken Q i und den jeweils zugehörigen projektiven Abschluss Q i : { Q = x + y = } (Kreis), { Q = x y = } (Hyperbel), { Q3 = x y = 0 } (Parabel). Skizzieren Sie die Q i, bestimmen Sie die Schnittmenge der Q i mit der Geraden im Unendlichen, und zeigen Sie, dass die Q i durch projektive Koordinatentransformationen ineinander übergeführt werden können.

6 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Sei X die durch xx = x in P definierte Varietät. Bestimmen Sie 0 0 dom( f ) für die rationale Funktion f =. x x Aufgabe : Beweisen Sie für einen graduierten Ring S : (i) Ein Ideal I ist homogen genau dann, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird. (ii) Ein homogenes Ideal I ist genau dann ein Primideal, falls für je zwei homogene Elemente fg, I gilt: Ist fg I, so ist f I oder g I. (iii) Summe, Produkte, Durchschnitte und Radikale von homogenen Idealen sind wieder homogene Ideale. Aufgabe 3: Gegeben sei die Abbildung φ : P P, ( ) ( x0 : x x0 : x0x : x ). Zeigen Sie: (i) φ ist wohl definiert, (ii) das Bild Y von φ ist eine projektive Varietät, (iii) die homogenen Koordinatenringe von P und Y sind nicht isomorph. (Die letzte Aussage verwundert vielleicht, da φ ein Isomorphismus ist.) Aufgabe 4: Gegeben seien Punkte P,..., Pn P. Geben Sie eine Zahl d ( ) 0 = d0 n mit folgender Eigenschaft an: Für alle d d0 gibt es eine projektive Varietät C P beschrieben durch ein homogenes Polynom vom Grad d, welche die Punkte P,..., P n enthält.

7 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Zeigen Sie, dass jeder Morphismus f : X Y einer projektiven Varietät in eine affine Varietät konstant ist, d.h. X auf einen Punkt abbildet. Aufgabe : Es seien f k bzw. fk teilerfremde homogene Polynome vom Grad k bzw. k in n Variablen. Zeigen Sie, dass die Varietät n X x :... : x f x,..., x x f x,..., x 0 eine rationale Varietät ist. = {( 0 n ) k( n ) + 0 k ( n ) = } P C Aufgabe 3: Gegeben seien die folgenden singulären ebenen Kurven in A C : (i) x + y n = 0, n, 3 4 (ii) x + y = 0, 3 5 (iii) x + y = 0. Bestimmen Sie das Urbild dieser Kurven unter der Aufblasung π : A A. C C Aufgabe 4: Bestimmen Sie die singulären Punkte der Steinerschen Fläche { } 3 xy + xz + yz xyzw= 0 P.

8 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Aufgabe : Bestimmen Sie die a C, für welche die Kurve x 3 + y 3 + z 3 + a( x + y + z) 3 = 0 im P singuläre Punkte besitzt. Geben Sie die singulären Punkte an. Ist die Kurve reduzibel? Zeigen Sie, dass eine ebene Kurve mit drei singulären Punkten in drei Geraden zerfällt. Aufgabe 3: Widerlegen Sie die folgenden Aussagen für Varietäten XY, durch Gegenbeispiele: (i) Sind X und Y nicht singulär, so auch X Y. (ii) Sind X und Y singulär, so auch X Y. (iii) Sind X und Y nicht singulär, so auch X Y. Aufgabe 4: Gegeben sei der Morphismus φ : C 3 C, t ( 3 4 t : t 5 : t ). Zeigen Sie, dass X = φ( C ) eine algebraische Kurve ist und berechnen Sie den Tangentialraum TX 0 von X im Nullpunkt. Schließen Sie damit, dass X nicht zu einer Kurve in C isomorph ist.

9 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Beweisen Sie, dass jede irreduzible ebene Kubik einen Wendepunkt besitzt. Aufgabe : Berechnen Sie die Schnittmultiplizitäten der folgenden Paare von Parabeln im Unendlichen: (i) y = x und y = x +, (ii) y = x und y = ( x + ). Aufgabe 3: Gegeben sei die ebene Kurve { 3 } C = x x x = P. Bestimmen Sie die 0 0 Schnittmultiplizität mit den Kurven D, D im Punkt ( 0:0: ). (i) { 3 D = x0 x0x + xx = 0}, (ii) { 3 D = x + x x + x x = } Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass es zu 9 Punkten P,..., P P stets eine Kubik C gibt, die 9 9 P,..., P enthält. Ist C eindeutig bestimmt?

10 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Gegeben seien die folgenden ebenen komplexen Kubiken: Bestimmen Sie jeweils eine Weierstraß-Form und berechnen Sie die J -Invariante. Aufgabe : Berechnen Sie für eine glatte Kubik in Legendre-Form y = x( x )( x λ ) die J -Invariante. Ist C eine ebene glatte Kubik in Weierstraß-Form, so ist der Punkt O = ( 0:0:) ein Wendepunkt und C trägt die in der Vorlesung beschriebene Gruppenstruktur mit O als neutralem Element. Ein n -Torsionspunkt auf C ist dann definiert als ein Punkt P mit np = P P = O. n -mal Aufgabe 3: Bestimmen Sie die -Torsionspunkte für eine glatte Kubik in Weierstraß- Form. Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass für die Punkte P auf einer glatten Kubik C in Weierstraß- Form gilt: P ist 4-Torsionspunkt genau dann, wenn die Tangente an C in P einen -Torsionspunkt von C enthält.

11 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe 3: Finden Sie die Gleichung für 7 Geraden auf der Fermatkubik x + x + x + x. Zeigen Sie, dass alle Geraden auf der Kubik S reell sind, falls gilt { S = x ( ) x + x + x3 = x0 + x + x + x3 }. (Eine Gerade im komplex projektiven Raum heißt reell, wenn ihre Gleichungen nur reelle Koeffizienten besitzt.) Bestimmen Sie den singulären Ort der Cayley Kubik xxx + xxx + xxx + xxx P. { } 3 Aufgabe 4: Sei S eine irreduzible kubische Fläche in P 3. Zeigen Sie, dass S rational ist, falls S singulär ist und höchstens endlich viele Geraden enthält.

12 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Bestimmen Sie den Grad der Abbildung C P, die durch die Projektion vom Punkt P = ( 0::0) induziert wird, für die Kurven C, die durch folgende Gleichungen gegeben sind: (i) zx y = 0, 3 (ii) zy x z x = 0, (iii) zg ( x, y, z ) + xh ( x, y, z ) = 0, wobei gh, homogen vom Grad d sind. Aufgabe : Es sei O Wendepunkt auf einer glatten elliptischen Kurve C und πo : C P die Projektion von C vom Punkt O auf P. (i) Bestimmen Sie den Grad d von π O. (ii) Bestimmen Sie alle Punkte Q in P, für die { # π ( ) O O } d ist. Aufgabe 3: Aufgabe 4: Definieren Sie Divisoren und Hauptdivisoren auch für quasiprojektive Kurven und zeigen Sie, dass auf A C jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Beweisen Sie, dass es eine glatte affine Kurve C und einen Divisor D auf C gibt, der nicht Hauptdivisor ist.

13 Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo in der Vorlesung Aufgabe : Es bezeichne C die durch yz x 3 + xz = 0 gegebene glatte Kurve in P, P,..., P r seinen Punkte auf C. Zeigen Sie, dass es eine rationale Funktion f auf C gibt, die in P,..., P r Pole besitzt und sonst regulär ist. Aufgabe : Gegeben sei die projektive Varietät { } 3 C= x0 xx 0 xx 3 = xx xx 0 3 xx 3 = 0 P. Zeigen Sie mit Hilfe der Projektion vom Punkt ( 0:0:0: ) auf die Ebene { x 3 = 0}, dass C isomorph zu einer glatten ebenen Kubik ist. 3 Aufgabe 3: Es sei C P eine glatte, irreduzible Kurve vom Grad 3, die nicht in einer Hyperebene enthalten ist (d.h. jede Hyperebene schneidet C in einem Divisor vom Grad 3). Zeigen Sie, dass C rational ist. Aufgabe 4: Es sei C P eine irreduzible Kurve vom Grad 4. Zeigen Sie, (i) dass C höchstens drei Singularitäten hat. (Betrachten Sie dazu Kegelschnitte durch die Singularitäten.) (ii) dass höchstens zwei der Singularitäten von C auf einer Geraden liegen.