Algebraische Varietäten, diskrete Bewertungsringe und algebraische Kurven Vortragsausarbeitung

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1 Elliptic curves and the Weil conjectures (Seminar SS2016) Algebraische Varietäten, diskrete Bewertungsringe und algebraische Kurven Vortragsausarbeitung Kerstin Blomenhofer 6. Juni 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Algebraische Varietäten Affine Varietäten Projektive Varietäten Abbildungen zwischen projektiven Varietäten 8 3 Diskrete Bewertungsringe 9 4 Kurven 10 5 Abbildungen zwischen Kurven 11 6 Der Frobenius-Morphismus 13 1 Algebraische Varietäten Es sei K ein perfekter Körper, K der algebraische Abschluss von K. Dann ist K/K eine Galoiserweiterung und wir bezeichnen mit die zugehörige Galoisgruppe. Außerdem seien m, n N >0. 1

2 1.1 Affine Varietäten Definition 1. Wir definieren den n-dimensionalen (affinen) Raum als A n := A n (K) := } (x 1,..., x n ) x i K Die Menge der K-rationalen Punkte von A n ist definiert als A n (K) := (x 1,..., x n ) x i K} A n Es sei K[X] := K[X 1,..., X n ], I K[X] ein Ideal. Dann definieren wir die zu I assoziierte (affine) algebraische Menge als V I := V (I) := P A n f(p ) = 0 f I} Ist V eine affine algebraische Menge, so ist das (erzeugende) Ideal von V definiert als I(V ) := } f K[X] f(p ) = 0 P V Wir sagen V ist definiert über K, geschrieben V/K, falls I(V ) = (f i ) i I mit f i K[X] für alle i I und Indexmenge I. Nach dem Hilbertschen Basissatz sind K[X] und K[X] noethersch und alle Ideale in dem jeweiligen Polynomring endlich erzeugt. Damit kann die Indexmenge I endlich gewählt werden. Mit V (K) := V A n (K) bezeichnen wir die Menge der K-rationalen Punkte von V. Wir definieren zu einer beliebigen affinen algebraischen Menge V folgendes Ideal in K[X] I(V/K) := f K[X] f(p ) = 0 P V } = I(V ) K[X] V ist genau dann definiert über K, falls I(V/K) = I(V/K) K[X]. Sei V/K und I(V/K) = f 1,..., f m K[X]. Dann gilt V (K) = (x 1,..., x n ) A n (K) f i (x) = 0 i 0,..., m}} Mithilfe folgender Gruppenoperation der Galoisgruppe auf dem affinen Raum A n A n (σ, P ) P σ := (x σ 1,..., x σ n) lassen sich A n (K) und V (K) folgendermaßen umformulieren: A n (K) = P } A n P σ = P σ } V (K) = P V P σ = P σ. 2

3 Beispiel 2. Sei V A 2 Nullstellenmenge von X 2 Y 2 = 1 und char(k) 2. Dann ist V definiert über jedem Körper K und es gibt eine Abbildung A 1 (K) \ 0} V (K) ( t 2 ) + 1 t, t2 1 2t 2t Beispiel 3. Sei V die Nullstellenmenge von X n + Y n = 1, dann ist V definiert über Q und für n 3 gilt V (Q) = (1, 0), (0, 1)} n ungerade (±1, 0), (0, ±1)} n gerade Definition Eine affine algebraische Menge V heißt affine Varietät, falls I(V ) ein Primideal in K[X] ist. 2. Für eine affine Varietät V/K ist der affine Koordinatenring definiert als der Quotient K[V ] := K[X]/I(V/K) K(V ) := Quot(K[V ]) heißt Funktionenkörper von V/K. Bemerkung 5. Es ist K[X] K[X] ( n n ) (σ, f = a i X i ) f σ σ n = a i X i = σ(a i )X i i=0 i=0 i=0 eine Gruppenoperation. Falls V über K definiert ist, ist I(V ) I(V ) n (σ, f = a i X i ) f σ i=0 wohldefiniert, da alle f I(V ) Koeffizienten in K haben und diese unter allen σ invariant sind. Daraus erhalten wir wohldefinierte Gruppenoperationen der Galoisgruppe von K/K auf dem affinen Koordinatenring K[V ] und auf dem Funktionenkörper K(V ) von V : K[V ] K[V ] K(V ) K(V ). Es sind K[V ] beziehungsweise K(V ) die Teilmengen von K[V ] beziehungsweise K(V ) der Invarianten unter. 3

4 Definition 6. Sei V eine Varietät. Wir definieren die Dimension von V als dim V := trdeg K K(V ) Beispiel Es gilt dim A n = n, da K(A n ) = K[X]/I(A n ) I(An )=0 = K[X] = K[X 1,..., X n ] 2. Für eine Varietät erzeugt von f(x 1,..., X n ) = 0, f nicht konstantes Polynom, gilt dim V = n 1. Definition 8. Sei V eine affine Varietät, P V und I(V ) = f 1,..., f m. Dann heißt V glatt/nicht-singulär in P, falls ( ) fi (P ) X j 1 i m 1 j n als Matrix den Rang n dim V hat. V heißt nicht-singulär oder glatt, falls V in allen Punkten P V glatt ist. Beispiel 9. Sei V die affine Varietät zu f(x 1,..., X n ) = 0, wobei f K[X] ein nicht konstantes Polynom ist. Da gilt dim V = n 1, ist P V genau dann singulär, wenn f X 1 (P ) =... = f X n (P ) = 0 = f(p ) Dies sind n + 1 Gleichungen in n Variablen, das heißt für ein beliebig genug gewähltes f K[X] wird die zugehörige Kurve glatt sein. Beispiel Sei V 1 die affine Varietät gegeben durch V 1 : Y 2 = X 3 + X. Dann ist f = X 3 + X Y 2 und f X = 3X2 + 1 = 0 X = ±i 1 3 f = 2Y = 0 Y Y = 0 Aber f(±i 1 3, 0) 0). Also gilt f(x, y) 0 für beliebige x und y, und V 1 ist damit nicht-singulär. 2. Sei die Varietät V 2 gegeben durch V 2 : Y 2 = X 3 + X 2. Dann ist f = X 3 + X 2 Y 2 und f X = 3X2 + 2X = 0 X 0, 2 3 } f = 2Y = 0 Y Y = 0 Außerdem gilt f(0, 0) = 0 und f( 2 3, 0) 0. Also ist (0, 0) ein singulärer Punkt von V 2 und V 2 damit nicht glatt. 4

5 Im Folgenden eine alternative Definition zur Beschreibung von Glattheit einer Varietät V an einem Punkt P V. Definition 11. Sei V eine Varietät, P V ein Punkt. Es ist } M P := f K[V ] f(p ) = 0 K[V ] ein Ideal in K[V ]. Da K[V ]/M P isomorph zu K ist via f f(p ), ist M P maximal und M P /MP 2 ist mit Hilfe der kommutativen Algebra ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Proposition 12. Sei V eine Varietät. Dann ist P V genau dann nicht-singulär, wenn gilt dim K (M P /M 2 P ) = dim V. Beispiel Sei V 1 die Varietät aus obigem Beispiel, wir betrachten den Punkt P = (0, 0). Dann gilt M P = (X, Y ) und MP 2 = (X2, XY, Y 2 ) = (X 2, XY, X 3 + X). Dann gilt in M P /MP 2 die Beziehung X = Y 2 X 3 0 und damit folgt M P /MP 2 = (Y ). Da dim V 1 = 1 gilt, folgt, dass V 1 im Punkt P glatt ist. 2. Analoges gilt für die Varietät V 2 und deren M P und MP 2, aber M P /MP 2 = (X, Y ). Somit ist V 2 in P nicht glatt und P ein singulärer Punkt von V 2. Definition 14. Wir bezeichnen mit ( ) K[V ] P := K[V ] F = f } g K(V ) f, g K[V ], g(p ) 0 M P = den lokalen Ring von V in P. Die Auswertung eines F K[V ] P am Punkt P ist wohldefiniert, da für F (P ) = f(p ) g(p ) g(p ) 0. Ein solches F heißt außerdem regulär oder definiert in P. 1.2 Projektive Varietäten Definition 15. Wir definieren den n-dimensionalen projektiven Raum als } P n := P n (K) := (x 0,..., x n ) A n+1 i n: xi 0 / wobei gilt Die Menge der K-rationalen Punkte ist x y : λ K : i n: x i = λy i P n := P n (K) := [x 0,..., x n ] P n x i K i n} Für P = [x 0,..., x n ] ist der kleinste Körper, in dem P definiert ist für ein x i 0. K(P ) := K( x o x i,..., x n x i ) 5

6 Dann erhalten wir eine Gruppenoperation P n P n (σ, P ) P σ für die gilt P n (K) = P } P n P σ = P σ = (P n ) und K(P ) ist die } Menge der Invarianten aus K unter σ P σ = P. Definition 16. Wir nennen f K[X] homogen vom Grad d, falls λ K gilt f(λx 0,..., λx n ) = λ n f(x 0,..., X n ). Ein Ideal I K[X] ist homogen, falls es von homogenen Elementen f K[X 0..., X n ] erzeugt wird. Dann heißt V I := V (I) := P P n f(p ) = 0 f I mit f homogen} (projektive) algebraische Menge. Für eine projektive algebraische Menge V ist } I(V ) := f K[X] f homogen und f(p ) = 0 P V das (homogene) Ideal von V. Eine projektive algebraische Menge V ist definiert über K (schreibe V/K), falls I(V ) von homogenen Elementen aus K[X] erzeugt werden kann. V (K) := V P n (K) ist die Menge der K-rationalen Punkte von V. Beispiel Sei V erzeugt von ax + by + cz = 0 mit a, b, c 0. Dann ist V eine Gerade und definiert über K, falls a c, b c K. 2. Eine Hyperebene in P n ist eine projektive Varietät erzeugt von n i=0 a i X i = 0, wobei nicht alle a i = Sei V erzeugt von X 2 + Y 2 = Z 2 und char(k) 2. Dann ist V (K) isomorph zu P 1 (K). Bemerkung 18. Sei P P n (Q) mit P = [x 0,..., x n ] und x i Z mit gcd(x i } i=1,...,n ) = 1. Falls V/Q und I(V/Q) erzeugt ist von homogenen f i Q[X], gilt V (Q) = Lösungen in Z zu f 1 = = f m = 0} Beispiel 19. Es sei V die Varietät erzeugt von X 2 +Y 2 = 3Z 2, V/Q. Es gilt V (Q) =, denn angenommen, dass [x, y, z] V (Q) mit x, y, z Z und gcd(x, y, z) = 1. Es gilt x 2 + y 2 0 mod 3, und da 1mod3 kein Quadrat ist, folgt x y 0. Also gelten 3 x, 3 yund3 (x 2 + y 2 ) und damit folgt im Widerspruch zur Annahme gcd(x, y, z) 3 z. Also V (Q) =. 6

7 Definition 20. Sei V eine projektive algebraische Menge. V heißt projektive Varietät, falls sein homogenes Ideal I(V ) in K[X] ein Primideal ist. Bemerkung 21. Für i 1,..., n} ist die Abbildung φ i : A n P n = A n+1 / (y 1,..., y n ) [y 1,..., y i, 1, y i+1,..., y n ] ein Isomorphismus von A n auf das Komplement U i := P n \ H i zur Hyperebene H i := P P n X i = 0} gegeben durch X i = 0 mit Umkehrabbildung φ 1 : U i A n ( X0 [x 0,..., x n ],..., X i 1, X i+1,..., X ) n X i X i X i X i Für ein fixes i identifizieren wir im Folgenden U i mit A n. Daraus folgt: 1. Sei V projektive algebraische Menge, I(V ) K[X] homogen. Für festes i ist V A n = φ 1 (V U i ). 2. (U i ) i n ist eine Überdeckung von P n. Damit ist (V U i ) i n eine Überdeckung von V für jede projektive Varietät V. Wir nennen für f I(V ) die Darstellung f(y 1, Y i 1..., 1, Y i+1,..., Y n ) die Dehomogenisierung von f bezüglich X i. Entsprechend heißt für f(y ) K[Y ] f (X 0,..., X n ) = X d i f ( X0 X i,..., X i 1 X i, X i+1 X i,..., X ) n X i die Homogenisierung von f, wobei d die minimale Ganzzahl ist, sodass f (X 0,..., X n ) ein Polynom wird. Definition 22. Sei V A n eine affine algebraische Menge. Betrachte V als Teilmenge von P n über die Identifikation von V mit φ i. Der projektive Abschluss von V, geschrieben V, ist die projektive algebraische Menge V, für die gilt. I(V ) = f (X) f I(V )} Proposition Sei V eine affine Varietät. Dann ist V eine projektive Varietät und V = V A n. 2. Sei V projektive Varietät. Dann ist V A n affine Varietät mit entweder V A n = oder V = V A n. 7

8 3. Sei V/K affine Varietät. Dann ist V definiert über K. Genauso ist für eine projektive Varietät V/K auch V A n definiert über K. Definition 24. Sei V/K eine projektive Varietät. Wähle ein A n P n, so dass V A n. Dann definieren wir 1. die Dimension von V dim V := dim(v A n ) 2. K(V ) := K(V A n ) ist der Funktionenkörper von V. Definition 25. Sei V projektive Varietät, P V und A n P n, so dass P A n. 1. Wir sagen, V ist nicht-singulär oder glatt in P, wenn es für V A n gilt. 2. K[V ] P, der lokale Ring von V in P, ist der lokale Ring von V A n in P. 3. F K(V ) heißt regulär oder definiert in P, wenn es für K[V ] P gilt. Bemerkung 26 (Andere Beschreibung des Funktionenkörpers von P n ). Der Funktionenkörper von P n kann auch beschrieben werden als der Unterkörper von K(X 0,..., X n ) bestehend aus Elementen der Form F = f g, für die f, g K[X 0,..., X n ] homogen vom selben Grad sind mit g(p ) 0. Der Funktionenkörper einer projektiven Varietät V ist F = f } ( ) g f, g homogen vom selben Grad, g I(V ) Q K[X]/I(V ) Hier gilt dann f 1 g 1 = f 2 g 2 f 1 g 2 f 2 g 1 I(V ). 2 Abbildungen zwischen projektiven Varietäten Definition 27. Seien V 1, V 2 P n projektive Varietäten. Dann ist eine rationale Abbildung V 1 V 2 φ: V 1 V 2 φ = [f 0,..., f n ] wobei f i K(V 1 ) und die Auswertung von φ an jedem Punkt P, an dem alle f i definiert sind, folgendermaßen erfolgt: φ(p ) = [f 0 (P ),..., f n (P )] V 2. φ heißt definiert über K, falls es eine Einheit λ K gibt, sodass für alle i 0,..., n} gilt λf i K(V 1 ). Eine rationale Abbildung φ = [f 0,..., f n ]: V 1 V 2 heißt regulär oder definiert in P V 1, falls es ein g K(V 1 ) gibt, so dass jedes Produkt g f i regulär in P ist und für mindestens ein i 0,..., n} gilt (g f i )(P ) 0. Dann definieren wir φ(p ) := [(gf 0 )(P ),..., (gf n )(P )]. Eine rationale Abbildung, die an jedem Punkt P V 1 regulär ist, nennen wir Morphismus. 8

9 Falls V 1 und V 2 über K definiert sind, haben wir eine Gruppenoperation map(v 1, V 2 ) map(v 1, V 2 ) (σ, φ) φ σ = [f σ 0,..., f σ n ] der Galoisgruppe von K/K auf den rationalen Abbildungen V 1 V 2. Bemerkung 28 (Alternative Definition von rationalen Abbildungen). Seien V 1, V 2 projektive Varietäten. Durch Multiplikation einer Abbildung der Form φ = [f 0,..., f n ], f i K(V 1 ), mit einem homogenen Polynom, das alle Nenner der f i MISSING, erhalten wir eine rationale Abbildung so dass φ = [φ 0,..., φ n ]: V 1 V 2 1. die φ i K[X] homogen vom selben Grad und nicht alle in I(V 1 ) sind 2. f I(V 2 ): f(φ 0 (X),..., φ n (X)) I(V 1 ) Dann nennen wir eine rationale Abbildung regulär oder definiert in P V 1, falls es homogene Polynome ψ 0,..., ψ n K[X] vom selben Grad gibt, so dass für i, j 0,..., n}: φ i ψ j φ j ψ i modi(v 1 ) und für mindestens ein i 0,..., n} ψ i (P ) 0. Dann setzen wir zur Auswertung von φ am Punkt P V 1 φ(p ) := [ψ 0 (P ),..., ψ n (P )]. Sei φ = [φ 0,..., φ n ]: P m P n eine solche rationale Abbildung. Da K[X] ein Hauptidealring ist, ist eine Darstellung von φ möglich, in der die einzelnen φ i keine gemeinsamen Faktoren haben. Daher gilt die Äquivalenz φ ist regulär in P i 0,..., n}: φ i (0) 0. Definition 29. Zwei projektive Varietäten V 1, V 2 heißen isomorph, schreibe V 1 = V2, falls es Morphismen φ: V 1 V 2, ψ : V 2 V 1 gibt, so dass die Identitäten ψ φ = id V1 und φ ψ = id V2 gelten. Zwei über K definierte Varietäten V 1 /K, V 2 /K heißen isomorph über K, falls φ und ψ über K definiert werden können. 3 Diskrete Bewertungsringe Definition 30. Eine diskrete Bewertung auf K ist eine Abbildung ν : K Z so dass ν ein Homomorphismus ist und ν(x + y) min(ν(x), ν(y)). Dann ist R := x K ν(x) 0} 0} ein Ring, genannt der Bewertungsring von ν. Wir setzen ν(0) :=. 9

10 1. Sei K = Q, p eine Primzahl. Für jedes x Q gibt es eine Fakto- Beispiel 31. risierung x = p a y mit a Z, y Q, sodass a maximal gewählt wurde. Dann definiere ν p (x) := a. Der Bewertungsring von ν p ist die Lokalisierung Z (p). 2. Sei K = k(x), f k[x] irreduzibel. Mit der selben Faktorisierung wie eben gilt ν f (h) := a und der Bewertungsring von ν f ist der lokale Ring k[x] (f). Definition 32. Ein Integritätsring A heißt diskreter Bewertungsring, falls es auf Quot(A) eine diskrete Bewertung ν gibt, sodass A der Bewertungsring von ν ist. Da A ein Integritätsring ist, ist A lokal mit dem Maximalideal m = x K ν(x) > 0}. Sei a 0 ein Ideal. Für ein minimales k N gilt dann a = y A ν(y) k} =: m k. Also hat jedes Ideal a 0 die Form m k für ein k N. Diese Ideale bilden eine aufsteigende Kette m m 2 m 3..., die stationär wird, demnach ist A noethersch. Da die diskrete Bewertung ν : K Z normiert werden kann, ist ν ohne Einschränkung surjektiv. Dann gibt es ein x m, so dass ν(x) = 1. Dann gilt m = (x) und m k = (x k ). Also ist m das einzige Nichtnullideal, das prim ist in A und damit A noethersch, lokal und von Dimension 1. Proposition 33. Sei A ein noetherscher, lokaler Ring der Dimension 1, m sein Maximalideal. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. A ist diskreter Bewertungsring 2. A ist Integritätsring 3. m ist ein Hauptideal. 4 Kurven Im Folgenden bezeichnen wir eine glatten projektive Varietät der Dimension 1 als Kurve. Wir wollen nun die lokalen Ringe in den Punkten einer Kurve genauer beschreiben. Proposition 34. Sei C eine Kurve, P C ein glatter Punkt der Kurve. Dann ist K[C] P ein diskreter Bewertungsring. Definition 35. Sei C eine Kurve, P C ein glatter Punkt der Kurve. Die (normalisierte) Bewertung auf K[C] P ist gegeben durch ord P : K[C] P N 0 } f sup d Z f (M P ) d} 10

11 Eine Erweiterung der Bewertung auf K(C) wird durch ord P ( f g ) := ord(f) ord(g) erreicht. Ein uniformisierendes Element von C in P ist t K(C), so dass ord P (t) = 1. Sei nun f K(C). ord P (f) heißt die Ordnung von f in P. Wir definieren: 1. f ist regulär oder definiert in P, falls ord P (f) 0. Dann kann man f(p ) auswerten. 2. f hat eine Nullstelle in P, falls ord P (f) > 0 3. f hat eine Polstelle in P, falls ord P (f) < 0. Dann setzen wir f(p ) :=. Proposition 36. Sei C eine glatte Kurve, f K(C), f 0. Dann gibt es nur endlich viele Punkte P C, an denen f eine Pol- oder Nullstelle hat. Falls f keine Polstellen hat, folgt f K. Proposition 37. Sei C/K eine Kurve, t K(C) ein uniformisierendes Element in einem glatten Punkt P C(K). Dann ist K(C)/K(t) eine endliche, separable Körpererweiterung. 5 Abbildungen zwischen Kurven Proposition 38. Sei C eine Kurve, V P N eine Varietät, P C ein glatter Punkt auf C und φ: C V eine rationale Abbildung. Dann ist φ regulär in P. Demnach ist, falls C glatt ist, φ ein Morphismus. Beweis. Schreibe die rationale Abbildung φ: C V als φ = [f,..., f n ] mit f i K(C). Wähle dann ein uniformisierendes ELement t K(C) für C in P. Definiere n := min ord P (f i ). Dann gilt i 0,..., N}: ord P (t n f i ) 0 und ord P (t n f j ) 0 0 i N für ein j 0,..., N}. Deshalb sind alle t n f i regulär in P und da für obiges j gilt (t n f j )(P ) > 0, folgt die Regularität von φ in P. Beispiel Sei C/K eine glatte, über K definierte Kurve und f K(C) eine Funktion. Daraus erhalten wir ein Abbildung f : C P 1 [f(p ), 1] f regulär in P P [1, 0] f hat eine Polstelle in P. f ist ein Morphismus, da C glatt und φ eine rationale Abbildung ist. 2. Sei φ = [f, g]: C P 1 eine rationale, über K definierte Abbildung. Dann ist entweder g 0, und damit φ = [1, 0], oder g 0, und dann ist φ die Abbildung, die zu f g K(C) korrespondiert via obiger Konstruktion. Also sind diese Konstruktionen invers zueinander und induzieren eine 1:1-Korrespondenz. 11

12 Theorem 40. Sei φ: C 1 C 2 ein Morphismus von Kurven. Dann ist φ entweder konstant oder surjektiv. Bemerkung 41. Seien C 1 /K, C 2 /K zwei über K definierte Kurven, und φ: C 1 C 2 eine nicht-konstante, über K definierte, rationale Abbildung. Dann definieren wir φ : K(C 2 ) K(C 2 ) f φ (f) := f φ. φ ist injektive Abbildung zwischen Funktionenkörpern, wobei gilt φ (K) = K. Theorem 42. Seien C 1 /K und C 2 /K zwei über K definierte Kurven. 1. Sei φ: C 1 C 2 eine nicht-konstante, über K definierte Abbildung. Dann ist K(C 1 )/φ (K(C 2 )) eine endliche Körpererweiterung. 2. Sei ι: K(C 2 ) K(C 1 ) Körperinjektion, so dass ι(k) = K. Dann gibt es eine eindeutige, nicht-konstante, über K definierte Abbildung φ: C 1 C 2 so dass gilt φ = ι. 3. Sei K K(C 1 ) Teilkörper von endlichem Erweiterungsgrad, so dass K K. Dann existiert eine glatte, bis auf K-Isomorphismus eindeutige Kurve C und eine nichtkonstante, über K definierte Abbildung φ: C 1 C, so dass gilt φ (K(C )) = K. zu 2. Sei C P N und seien g i K(C 2 ) die Funktionen auf C 2, die zu den X i X 0 korrespondieren. Dann definieren wir φ folgendermaßen: φ = [1, ι(g 1 ),..., ι(g N )]: C 1 C 2, und dann gilt φ = ι, dies zeigt die Existenz. Zur Eindeutigkeit: Wäre ψ = [f 0,..., f N ] = [1, f 1 f 0,..., f N f0 ] eine weitere Abbildung mit ψ = ι, dann gälte für alle i 0,..., N}: f i f 0 = ψ g i = φ g i = ι(g i ). Dann korrespondierten die g i zu den f i f 0, woraus φ = ψ folgt. Definition 43. Sei φ: C 1 C 2 eine Abbildung von über K definierten Kurven. Falls φ konstant ist, definieren wir deg φ := 0. Sonst nennen wir φ eine endliche Abbildung und definieren den Grad von φ als deg φ := [K(C 1 ): φ (K(C 2 ))]. Außerdem nennen wir φ separabel/inseparabel/rein inseparabel, falls die jeweilige Körpererweiterung die entsprechende Eigenschaft hat. Korrolar 44. Seien C 1, C 2 glatte Kurven und φ: C 1 C 2 eine Abbildung vom Grad 1. Dann ist φ ein Isomorphismus. Beweis. deg φ = 1 [K(C 1 ): φ (K(C 2 ))] = 1 K(C 1 ) = φ (K(C 2 )) φ ist Isomorphismus. 12

13 Bemerkung 45. Dieser Zusammenhang zwischen (glatten) Kurven und ihren Funktionenkörpern ist eine Kategorienäquivalenz: Zuordnung der Objekte: glatte, über K definierte Kurven C/K werden endlich erzeugten Körpererweiterungen K/K mit Transzendenzgrad 1 und K K = K, bezeichnet durch K(C). Zuordnung der Morphismen: eine nichtkonstante, über K definierte, rationale Abbildung φ: C 1 C 2 (also äquivalent ein surjektiver Morphismus) korrespondiert zu der Körperinjektion φ : K(C 2 ) K(C 1 ), unter der K invariant bleibt. 6 Der Frobenius-Morphismus Sei K ein Körper mit char(k) = p > 0, q := p r. Sei f K[X]. Dann erhalten wir ein Polynom f (q), indem wir jeden Koeffizienten von f mit q potenzieren. Damit erhalten wir aus einer über K definierten Kurve C/K eine Kurve C (q) /K, für die gilt Definition 46. Die Abbildung heißt Frobenius-Morphismus. I(C (q) ) = } f (q) f I(C). φ: C C (q) [x 0,..., x n ] [x q 0,..., xq n] Proposition 47. Sei K ein Körper mit char(k) = p > 0, q = p r. Sei C/K eine Kurve und φ: C C (q) der q-potenzierende Frobenius-Morphismus. Dann 1. φ (K(C (q) )) = K(C) q = f q f K(C)} 2. φ ist rein inseparabel 3. deg φ = q. Korrolar 48. Jede Abbildung ψ : C 1 C 2 zwischen glatten, über K mit char(k) = p > 0 definierten Kurven faktorisiert folgendermaßen: C 1 wobei q = deg insep ψ und λ separabel ist. φ C (q) λ 1 C 2 13