19 Körperhomomorphismen

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1 19 Körperhomomorphismen Definition und Bemerkung (i) Seien K, L Körper. Ein Ringhomomorphismus σ : K L heißt Körperhomomorphismus. Die Menge der Körperhomomorphismen K L bezeichnen wir mit Hom(K, L). (ii) σ (wie oben) ist immer injektiv und Bild(σ) = σ(k) ist Unterkörper von L. (iii) Ein bijektiver Körperhomomorphismus heißt Körperisomorphismus. Zwei Körper K und L heißen isomorph, in Zeichen K = L, falls es einen Körperisomorphismus σ : K L gibt. (iv) Seien L/K, M/K Körpererweiterungen. σ Hom(L, M) nennt man Körperhomomorphismus über K falls σ K = id K. Die Menge der Körperhomomorphismen L M über K bezeichnen wir mit Hom K (L, M). Entsprechend definiert man Körperisomorphismus über K, und L und M isomorph über K, in Zeichen L = K M. (v) Seien L/K, L /K Körpererweiterungen, σ Hom(K, K ). Man nennt τ Hom(L, L ) eine Erweiterung von σ falls τ K = σ. Es gilt dann (a) [L : K] = [τ(l) : σ(k)] und falls σ(k) = K (also σ ein Isomorphismus) weiterhin [L : K] [L : K ]. (b) Falls σ(k) = K so gilt: [L : K ] endlich = [L : K] endlich, und in dieser Situation ist τ ein Isomorphismus genau dann wenn [L : K] = [L : K ]. (c) Falls K = K und σ = id K, d.h. τ Hom K (L, L ), dann ist τ K-linear. (vi) Für einen Körper K definieren wir seine Automorphismengruppe als Aut(K) = {σ Hom(K, K) σ bijektiv}. Für eine Körpererweiterung L/K definieren wir Gal(L/K) := Aut K (L) = {σ Hom K (L, L) σ bijektiv}, die Galoisgruppe von L über K. Aut(K) und Gal(L/K) sind in der Tat Gruppen unter der Verknüpfung von Abbildungen, und es gilt Gal(L/K) Aut(L). Bemerkung (i) Sei K ein Körper mit Primkörper P (also P = F P = Z/pZ oder P = Q). Dann gilt: σ Aut(K) = σ P = id P, also Aut(K) = Gal(K/P). Insbesondere Aut(F p ) = {id Fp }, Aut(Q) = {id Q }. (ii) Sei L/K eine Körpererweiterung, M ein Körper, α i L, i I. Seien σ, τ Hom(K(α i, i I), M). Dann gilt: σ = τ σ K = τ K und σ(α i ) = τ(α i ) i I. Falls M/K auch eine Erweiterung und σ, τ Hom K (K(α i, i I), M), dann gilt entsprechend: σ = τ σ(α i ) = τ(α i ) i I. 1

2 Beispiel. Berechnung von Aut(R): Sei σ Aut(R), a R. Dann gilt zunächst: a > 0 = α R mit α 2 = a = 0 σ(a) = σ(α 2 ) = σ(α) 2 und damit auch σ(a) > 0. Ferner gilt σ(a) = a falls a Q wegen Angenommen b R mit σ(b) b. Falls σ(b) > b, so existiert q Q mit σ(b) > q > b. Dann gilt aber q b > 0 und daher 0 < σ(q b) = σ(q) σ(b) = q σ(b), aber q σ(b) < 0, Widerspruch. Analog erhält man einen Widerspruch falls σ(b) < b. Damit muss gelten: σ(b) = b für alle b R, d.h. σ = id und somit Aut(R) = {id}. Aber man kann zeigen: Aut(C) =. Aut(C) ist sogar überabzählbar! Lemma 19.. Seien K, L, M Körper. Sei σ Hom(L, M). Definiere σ : L[X] M[X] : a 0 +a 1 X a n X n σ(a 0 )+σ(a 1 )X σ(a n )X n Dies ist ein Ringhomomorphismus. Wir bezeichnen oft σ(f) mit f. Es gilt: Ist α L Nullstelle von f L[X], so ist σ(α) M Nullstelle von f M[X]. Insbesondere gilt dann Folgendes. Sind L/K und M/K Körpererweiterungen, f K[X] und σ Hom K (L, M), so gilt f = f, und falls dann α L Nullstelle von f ist, so ist auch σ(α) M Nullstelle von f. Satz Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung, σ Hom K (L, L). Dann ist σ bijektiv, also σ Gal(L/K). Insbesondere: L/K algebraisch = Hom K (L, L) = Gal(L/K). Satz Sei K ein Körper, f K[X], Grad(f) 1. Dann existiert eine endliche algebraische Erweiterung L/K mit einem α L mit f(α) = 0. Daraus folgt mittels transfiniter Induktion bzw. Zorn s Lemma (Reduktion auf den Fall einer endlich erzeugten Erweiterung) und dann mittels normaler Induktion (Reduktion auf den Fall einer einfachen Erweiterung): Korollar Sei K ein Körper, f i K[X], Grad(f i ) 1, i I (I eine beliebige Indexmenge). Dann existiert eine algebraische Erweiterung L/K sodass jedes f i in L eine Nullstelle hat. Definition und Satz Ein Körper L heißt algebraisch abgeschlossen falls jedes f L[X], Grad(f) 1, in L eine Nullstelle hat, d.h. α L mit f(α) = 0. (i) L ist algebraisch abgeschlossen genau dann wenn jedes f L[X], Grad(f) 1, über L in Linearfaktoren zerfällt. 2

3 (ii) Sei K ein Körper. Dann existiert eine algebraische Erweiterung L/K mit L algebraisch abgeschlossen. (iii) Falls L/K, L /K algebraische Erweiterungen sind mit L, L algebraisch abgeschlossen, so gilt L = K L. Aus (ii) und (iii) folgt: es gibt eine bis auf Isomorphie über K eindeutig bestimmte algebraische Erweiterung L/K mit L algebraisch abgeschlossen. Man nennt so ein L einen algebraischen Abschluss von K, in Zeichen K alg oder K. Beweis. (ii) (Skizze) Konstruiere einen Körperturm K = K 0 K 1 K 2... mit K 0 := K und die K i per Induktion wie folgt: falls K i schon konstruiert ist, konstruiere man K i+1 mittels 19.6 so, dass K i+1 /K i algebraisch und jedes f K i [X], Grad(f) 1, eine Nullstelle in K i+1 hat. Nun setze man L := i=0 K i und zeige: L ist ein Körper; L/K ist algebraisch; jedes f L[X] hat in L eine Nullstelle. (iii) folgt aus 19. und 19.9 unten. Satz 19.8 (Erweiterung von Körperisomorphismen). Seien L/K und L /K Körpererweiterungen und σ : K K ein Körperisomorphismus, σ : K[X] K [X] : f f wie in 19.. (i) f K[X] irreduzibel f K [X] irreduzibel. (ii) Seien α L, β L mit α algebraisch/k und f = Min K,α (X) K[X]. Angenommen f(β) = 0. Dann gilt f = Min K,β(X) und es exisitiert ein eindeutig bestimmter Körperhomomorphismus τ : K(α) K (β) mit τ K = σ und τ(α) = β, und dieses τ ist ein Isomorphismus. (iii) (Notationen wie in (ii).) Die Abbildung {τ Hom(K(α), L ) τ K = σ} {β L f(β) = 0} τ τ(α) ist eine Bijektion. Insbesondere gilt: {τ Hom(K(α), L ) τ K = σ} = Anzahl der verschiedenen Nullstellen von f in L

4 Korollar Seien K, K Körper, sei L/K algebraisch, M/K mit M algebraisch abgeschlossen, und sei σ Hom(K, K ). Dann existiert τ Hom(L, M) mit τ K = σ. Beispiel. (i) Fundamentalsatz der Algebra: C ist algebraisch abgeschlossen (d Alembert 1746 mit lückenhaftem Beweis, Gauß 1799, auch unter Verwendung einiger Sätze aus der Analysis, die Gauß ohne Beweis voraussetzte). C = R alg. (ii) C ist kein algebraischer Abschluss von Q da C/Q nicht algebraisch. Aber mittels 19.8 kann man ein einen algebraischen Abschluss von Q konstruieren, der in C liegt: Q Q alg C. Man kann zeigen: Q alg ist abzählbar unendlich, wohingegen C bekanntlich überabzählbar unendlich ist. Aus 19. und 19.8 folgt nun leicht: Satz Sei L/K eine Körpererweiterung, α L algebraisch über K, und sei f = Min K,α K[X]. Seien α = α 1, α 2,..., α n alle verschiedenen Nullstellen von f in L. (i) σ Hom K (K(α), L) = σ(α) {α 1, α 2,..., α n }. (ii) Falls σ, τ Hom K (K(α), L) so gilt: σ = τ σ(α) = σ(τ). (iii) Zu jedem α i existiert ein σ Hom K (K(α), L) mit σ(α) = α i. Insbesondere gilt nach (i) (iii): es gibt eine Abbildung Hom K (K(α), L) {α 1, α 2,..., α n } : σ σ(α) und diese ist bijektiv. Insbesondere gilt: Gal(K(α)/K) ist gleich der Anzahl der verschiedenen Nullstellen von Min K,α (X) in K(α). Beispiel. (i) Q( 2)/Q: Min Q ( 2) = X 2 2 Q[X], beide Nullstellen ± 2 sind in Q( 2). Also gilt Gal(Q( 2)/Q) = 2, also Gal(Q( 2)/Q) = {id, σ} = C 2 mit σ( 2) = 2. Allgemein gilt also: Sei x Q( 2). Dann existieren eindeutig bestimmte a, b Q mit x = a+b 2 (Q( 2) hat Q-Basis 1, 2), und es gilt σ(x) = σ(a+b 2) = σ(a) + σ(b)σ( 2) = a b 2. (ii) Q( 2)/Q: [Q( 2) : Q] = Grad Min Q ( 2) = Grad(X 2) =, und X 2 hat Nullstellen (in C) 2, j 2, j 2 2 mit j = e 2πi/ = 1 2 ( 1 + i ) und j 2 = e 4πi/ = 1 2 ( 1 i ). Nun gilt Q( 2) R aber j 2, j 2 2 R. Also hat X 2 nur eine Nullstelle in Q( 2), nämlich 2. Somit Gal(Q( 2)/Q) = 1, d.h. Gal(Q( 2)/Q) = {id}. 4

5 (iii) K = Q( 2, )/Q: Man rechnet leicht nach, dass Q( 2), somit [Q( 2)( ) : Q( 2)] = [K : Q( 2)] > 1, aber X 2 hat als Nullstelle, somit muss gelten X 2 = Min Q( 2), (X), damit [K : Q( 2)] = 2 und [K : Q] = [K : Q( 2)][Q( 2) : Q] = 4, und mit 18.4 hat man, dass 1, 2,, 2 = 6 eine Q-Basis von K ist. Sei ϕ Gal(Q( 2)/Q). Nach 19. und 19.8 läßt sich ϕ auf genau zwei Weisen fortsetzen zu einem Isomorphismus ψ : K K sodass ψ Q( 2 = ϕ und ψ( ) = bzw.,,die Nullstellen von X 2 = Min Q( 2), (X) in K. Man beachte auch dass K = Q( 2)( ) = Q( 2)( ). Z.B. kann id Q( 2) Gal(Q( 2)/Q) zu einem σ 0 fortgesetzt werden, sodass σ 0 ( ) =, somit wäre σ 0 = id K, oder zu einem σ 1 mit σ 1 ( ) =. Damit erhält man vier Automorphismen id, σ i, 1 i in Gal(K/Q), die auf 2 bzw. wie folgt operieren: ψ Gal(K/Q) id σ 1 σ 2 σ ψ( 2) ψ( ) Diese vier Automorphismen sind offenbar alle untereinander verschieden. Mehr kann es auch nicht geben, da für jedes ψ Gal(K/Q) sicher gelten muss, dass ψ( 2) {± 2} und ψ( ) {± }, denn die Nullstellen von X 2 2 bzw. X 2 müssen wieder auf Nullstellen dieser Polynome abgebildet werden, und da ψ durch die Bilder der Erzeugenden 2, ja eindeutig bestimmt ist. Somit also Gal(K/Q) = {id, σ 1, σ 2, σ }, und man rechnet leicht nach dass σ 2 i = id, also Gal(K/Q) = C 2 C 2. Von früher wissen wir auch: Q( 2, ) = Q(α) mit α = 2 + und f = Min Q,α (X) = X 4 10X + 1. Dann ist σ i (α) wieder eine Wurzel von f in Q( 2, ) = Q(α), und man erhält so die 4 Wurzeln ±( 2 ± ) und σ i ist damit auch eindeutig dadurch bestimmt, welche dieser Wurzeln gleich σ i (α) ist. (iv) K = F 2 (T ) (rationaler Funktionenkörper in der Variablen T über F 2 ). Man sieht leicht: X 2 T K[X] ist irreduzibel. Sei α K alg mit α 2 = T. Dann gilt in K(α): X 2 T = (X α) 2, also nur eine (doppelte) Nullstelle. Damit: Gal(K(α)/K) = 1. 5