Galois-Erweiterungen und Hauptsatz der Galois-Theorie

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1 Galois-Erweiterungen und Hauptsatz der Galois-Theorie Stephanie Zube Andy Schärer 8. April 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Erinnerungen 2 2 Galois-Erweiterungen 3 3 Der Hauptsatz der Galois-Theorie 5 A Literaturverzeichnis 8 1

2 1 Erinnerungen Definition 1.1 Sei K k Körpererweiterung. Dann ist Aut(K;k) := {ϕ Aut(K) ϕ k = id k } < Aut(K) Untergruppe und heisst Gruppe der relativen Automorphismen von K k. Definition 1.2 Sei K k Zerfällungskörper von f k[x]. Dann heisst Gal(f;k) := Aut(K;k) die Galoisgruppe von f über k. Definition 1.3 Sei G < Aut(K) Untergruppe. Dann heisst Fix(K;G) := {x K ϕ(x) = x ϕ G} K der Fixkörper von G in K. Lemma 1.4 Seien K Körper, G < Aut(K) endliche Untergruppe, k = Fix(K;G), x K und G(x) = {x=x 1, x 2,..., x n } K die Bahn von x unter G mit paarweise verschiedenen x i K, also n ord(g). x algebraisch/k (also K algebraisch/k) und f := (X - x 1 )... (X-x n ) k[x] das Minimalpolynom von x über k. Insbesondere gilt: [k(x):k] teilt ord(g). Satz 1.5 (Endlichkeits-Satz) Seien K Körper, G < Aut(K) endliche Untergruppe. [K:Fix(K;G)] = ord(g). Korollar 1.6 Sei K k endliche Körpererweiterung. ord Aut(K;k) teilt [K:k]. Bemerkung 1.7 (Charakterisierung von Zerfällungskörpern) Sei L k endliche Körpererweiterung, folgende Bedingungen sind äquivalent: i) L ist Zerfällungskörper eines Polynoms f k[x]. ii) Ist K L eine Körpererweiterung und ϕ : L K Monomorphismus mit ϕ k = id k. ϕ(l) L. iii) Ist g k[x] irreduzibel und hat g eine Nullstelle y L, so zerfällt g in L[X] in Linearfaktoren. Korollar 1.8 Sei K L k Zwischenkörper und [K:k] <, dann gilt: aus [K:L] = [K:k] folgt k = L. 2

3 2 Galois-Erweiterungen Theorem 2.1 (Theorem zur Charakterisierung von Galois-Erweiterungen) Sei K k endliche Körpererweiterung mit char(k) = 0. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent: i) ord Aut(K;k) = [K:k]. ii) K ist Zerfällungskörper eines Polynoms f k[x]. iii) endliche Untergruppe G < Aut(K) so, dass k = Fix(K;G). Definition 2.2 Eine endliche Körpererweiterung K k mit char(k) = 0 heisst Galois-Erweiterung (oder galoissch) genau dann, wenn eine der Bedingungen des obigen Theorems erfüllt ist. Beweis von Theorem 2.1: i) iii): Setze G := Aut(K;k) k Fix(K;G) K, ausserdem G < Aut(K) Untergruppe. ord(g) = [K:k] = dim k K <. (da K k endliche Körpererweiterung) G < Aut(K) endliche Untergruppe. [K:Fix(K;G)] = ord(g) = ord Aut(K;k) = [K:k]. (Endlichkeits-Satz 1.5) k = Fix(K;G). (Korollar 1.8) iii) ii): Seien G < Aut(K) endliche Untergruppe mit k = Fix(K;G) und x K primitives Element, also K = k(x). Sei G(x) = {x=x 1, x 2,..., x n } K die Bahn von x unter G mit paarweise verschiedenen x i K, also n ord(g). x algebraisch/k, f x := (X - x 1 )... (X-x n ) k[x] das Minimalpolynom von x über k (Lemma 1.4) und K = k(x 1, x 2,..., x n ) ist Zerfällungskörper von f x über k. ii) i): Sei K k Zerfällungskörper eines Polynoms aus k[x], sei x K primitives Element, also K = k(x), sei f k[x] das Minimalpolynom von x über k und n := deg(f). [K:k] = [k(x):k] = deg(f) = n. (Satz, Fischer S.247; Bemerkung 1.7) ord Aut(K;k) teilt [K:k]. (Korollar 1.6) ord Aut(K;k) [K:k] = n. f ist separabel, da char(k) = 0. (Korollar, Fischer S.278) f hat nur einfache Nullstellen. f hat n verschiedene Nullstellen x 1,...,x n K. (Bemerkung 1.7 i {1,...,n} ϕ Aut(K;k) mit ϕ(x 1 ) = x i. ord Aut(K;k) n. ord Aut(K;k) = n. (weil ord Aut(K;k) n und ord Aut(K;k) n) 3

4 Korollar 2.3 a) Sei L k endliche Körpererweiterung mit char(k) = 0. Erweiterung K L k, so dass K k galoissch. b) Sei K L k Zwischenkörper und K k galoissch. K L galoissch. Beweis: a) Sei L = k(x 1,..., x n ) und f i k[x] das Minimalpolynom von x i, definiere f := f 1... f n k[x] und sei K k ein Zerfällungskörper von f über k. K k galoissch. (Theorem 2.1 ii) ) b) K galoissch K ist Zerfällungskörper eines f k[x] L[X] über k. K ist Zerfällungskörper von f über L. K L galoissch. (Theorem 2.1 ii) ) Vorsicht! L k muss nicht galoissch sein! Bemerkung 2.4 Die Eigenschaft von Körpererweiterungen, galoissch zu sein, ist nicht transitiv. Siehe dazu folgendes Beispiel: Beispiel 2.5 Betrachte die Körpererweiterungen: Q( 4 2) Q( 2) Q wobei 4 2 R + gewählt ist. Q( 2) Q ist Zerfällungskörper von X 2-2 Q[X] und Q( 4 2) Q( 2) ist Zerfällungskörper von X 2-2 Q( 2)[X]. Q( 2) Q und Q( 4 2) Q( 2) sind galoissch. (Theorem 2.1 ii) ) Beh: Q( 4 2) Q ist nicht galoissch. Bew: X 4-2 Q[X] ist irreduzibel und X 4-2 hat in Q( 4 2) die reellen Nullstellen ± 4 2, aber die komplexen Nullstellen ± i 4 2 von X 4-2 sind nicht in Q( 4 2) enthalten. Dies widerspricht der Eigenschaft von Zerfällungskörpern. (Bemerkung 1.7) Q( 4 2) Q ist kein Zerfällungskörper. Q( 4 2) Q ist nicht galoissch. (Theorem 2.1 ii) ) 4

5 3 Der Hauptsatz der Galois-Theorie Hilfssatz 3.1 Seien k L K Zwischenkörper, ϕ Aut(K;k). Aut(K;ϕ(L)) = ϕ Aut(K;L) ϕ 1. Beweis: Für ϕ Aut(K;k) gilt: ψ Aut(K;ϕ(L)) ψ(ϕ(x)) = ϕ(x) x L ϕ 1 ψ ϕ Aut(K;L) ψ ϕ Aut(K;L) ϕ 1. Theorem 3.2 (Hauptsatz) Sei char(k) = 0, K k Galois-Erweiterung (d.h. ord Aut[K;k] = [K:k] < ). L := {L K L k Zwischenkörper} G := {G G < Aut(K;k) Untergruppe} dann gilt: 1) Die Abbildungen l: L G, L Aut(K;L) und g: G L, G Fix(K;G) sind bijektiv und zueinander invers. 2) L L Zwischenkörper gilt: a) K L ist Galois-Erweiterung (damit: [K:L] = ord Aut(K;L)) und [L:k] = ind(aut(k;k) : Aut(K;L)). b) L k Galois-Erweiterung Aut(K;L) Aut(K;k) Normalteiler. 3) Sei L k Galois-Erweiterung, dann gilt: a) surjektiver Homomorphismus Φ : Aut(K;k) Aut(L;k), ϕ ϕ L mit ker(φ) = Aut(K;L). b) Isomorphismus Aut(L;k) Aut(K;k)/Aut(K;L). Bemerkung: Wenn man den Begriff der Galois-Erweiterung geeignet definiert, kann man auch char > 0 annehmen! Beweis Hauptsatz: 1) zu zeigen: a) L = (g l)(l) = Fix(K;Aut(K;L)) L L b) G = (l g)(g) = Aut(K;Fix(K;G)) G G a) Sei L L beliebig, setze G := l(l) = Aut(K;L). k L Fix(K;G) K. K L galoissch. (Korollar 2.3) [K:L] = ord Aut(K;L) = ord(g). (Theorem 2.1) [K:Fix(K;G)] = ord(g). (Endlichkeits-Satz 1.5) L = Fix(K;G). (L Fix(K;G), Korollar 1.8) 5

6 b) Sei G G beliebig, setze L := g(g) = Fix(K;G). G < Aut(K;L) endliche Untergruppe. und ord Aut(K;L) = [K:L]. (weil K L galoissch nach Korollar 2.3) ord G = [K:Fix(K;G)] = [K:L] = ord Aut(K;L). (Endlichkeits-Satz 1.5)) G = Aut(K;L). (G Aut(K;L), Korollar 1.8) 2) a) K L ist Galois-Erweiterung nach Korollar 2.3. [K:L] = ord Aut(K;L). (Theorem 2.1) ord Aut(K;k) = ord(aut(k;l)) ind(aut(k;k) : Aut(K;L)). (Satz von Lagrange) [K:k] = [K:L] ind(aut(k;k) : Aut(K;L)). (K L galoissch) [L:k] = ind(aut(k;k) : Aut(K;L)). (Gradformel) b) Sei L k Galois-Erweiterung. L ist Zerfällungskörper eines f k[x] über k und [L:k] <. (Theorem 2.1) ausserdem: ϕ L : L K ist Monomorphismus und ϕ k = id k ϕ Aut(K;k). ϕ(l) L ϕ Aut(K;k). (Bemerkung 1.7) ϕ(l) = L ϕ Aut(K;k). (da ϕ Automorphismus) Aut(K;L) = Aut(K;ϕ(L)) = ϕ Aut(K;L) ϕ 1 ϕ Aut(K;k). (Hilfssatz 3.1) Aut(K;L) Aut(K;k) Normalteiler. Sei Aut(K;L) Aut(K;k) Normalteiler. ϕ Aut(K;L) ϕ 1 = Aut(K;L) = Aut(K;ϕ(L)) ϕ Aut(K;k). (Hilfssatz 3.1) l(l) = Aut(K;L) = Aut(K;ϕ(L)) = l(ϕ(l)) ϕ Aut(K;k). (Hauptsatz 1) L = ϕ(l) ϕ Aut(K;k). (da l bijektiv) L ist stabil unter allen ϕ in Aut(K;k). Homomorphismus χ : Aut(K;k) Aut(L;k), ϕ ϕ L. Wegen der Stabilität von L ist χ wohldefiniert und offensichtlich ist ker(χ) = Aut(K;L). Isomorphismus Aut(K;k)/Aut(K;L) im(χ) Aut(L;k) (Homomorphiesatz) ord Aut(L;k) ord im(χ) = ord(aut(k;k)/aut(k;l)) = [L:K] (Hauptsatz 2a) ) aber es gilt auch ord Aut(L;k) [L:k] (Korollar 1.6) ord Aut(L;k) = [L:k] und Aut(L;K) Aut(K;k)/Aut(K;L) L k Galois-Erweiterung (Theorem 2.1) 3) Wurde schon in 2b) bewiesen. 6

7 Beispiel 3.3 Für das Standardbeispiel f = X 3-2 Q[X] wollen wird die Aussage des Hauptsatzes der Galois-Theorie explizit ausführen: x 1 := b x 2 := ξb x 3 := ξ 2 b sind Nullstellen von f, wobei b = 3 2 R + und ζ = exp( 2πi 3 ). Betrachte den Isomorphismus S 3 Aut(Q(x1, x 2, x 3 ); Q) = Gal(X 3-2;Q), der die Nullstellen x i permutiert. Also: σ S 3! ψ Aut(Q(x 1, x 2, x 3 ); Q) mit ψ(x i ) = x σ(i). Die Korrespondenz zwischen Untergruppen und Zwischenkörpern kann man an folgendem Diagramm ablesen: Da es keine anderen Untergruppen von S 3 gibt, sind das in dem unteren Diagramm alle möglichen Zwischenkörper. 7

8 A Literaturverzeichnis [1] G. Fischer: Lehrbuch der Algebra, vieweg Verlag (2008) 8