Inhalt der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS2017

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1 Inhalt der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS2017 Kapitel II. Moduln 1 Moduln Sei R ein Ring (stets kommutativ und mit 1). 1.1 Definition. 1. Ein R-(links-)Modul ist eine abelsche Gruppe (M, +) zusammen mit einer Verknüpfung ( Skalarmultiplikation ) R M M, (r, x) rx, für die gilt (r, s R, x, y M): (i) 1x = x (ii) (rs)x = r(sx) (iii) (r + s)x = rx + sx (iv) r(x + y) = rx + ry 2. Ein Untermodul eines R-Moduls M ist eine Untergruppe N M mit RN N. 1.2 Beispiel. a) R = K ist ein Körper: K-Modul = K-Vektorraum, Untermodul = Untervektorraum b) R = Z: Z-Modul = abelsche Gruppe, Untermodul = Untergruppe c) M = R ist R-Modul, Untermodul = Ideal von R d) M = R n ist R-Modul: freier R-Modul vom Rang n e) M = Z/2Z ist Z-Modul, aber nicht von der Form Z n! f) Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und ϕ End K (V ), so wird V zu einem K[t]-Modul durch t x := ϕ(x) für x V. 1.3 Definition. Es seien M, N R-Moduln. 1. Ein R-Modul-Homomorphismus ist ein Gruppenhomomorphismus f : M N, der f(rx) = rf(x) (r R, x M) erfüllt. 2. Hom R (M, N) = {f : M N f ist R-Modul-Homomorphismus} 3. Ist N ein Untermodul von M, so ist M/N zusammen mit R M/N M/N, (r, x + N) rx + N, der Faktormodul. 1.4 Lemma. Seien M, N, V R-Moduln. a) f Hom R (M, N), g Hom R (N, V ) g f Hom R (M, V ) b) f Hom R (M, N) ker(f) ist Untermodul von M, Im(f) ist Untermodul von N c) Ist f Hom R (M, N) bijektiv, so ist f 1 Hom R (N, M), also ist f ein R-Modul- Isomorphismus. 1

2 d) Ist N Untermodul von M, so ist M/N ein R-Modul und π : M M/N, x x + N, ist ein R-Modul-Epimorphismus, der eine Bijetkion induziert zwischen den Untermoduln von M, die N enthalten, und den Untermoduln von M/N. 1.5 Satz (Homomorphiesatz für Moduln). Es seien M, N R-Moduln. Ist f Hom R (M, N) und U M ein Untermodul mit U ker(f), so existiert ein eindeutig bestimmtes f Hom R (M/U, N) mit f = f π. Insbesondere ist M/ker(f) = Im(f) (als R-Moduln). 1.6 Definition. 1. Die Summe einer Familie (M i ) von Untermoduln eines R-Moduls M ist { } M i := x i : x i M i, fast alle x i = 0 M. 2. Der von A M erzeugte Untermodul von M ist a A Ra, wobei Ra := {ra : r R} M. 1.7 Lemma. Für A M ist a A Ra der kleinste Untermodul von M, der A enthält. 1.8 Definition. 1. Die (externe) direkte Summe einer Familie (M i ) von R-Moduln ist der R-Modul { M i := (x i ) } M i : x i = 0 für fast alle i mit r (x i ) := (rx i ) (r R, x i M i ). 2. M I := M 3. Ein R-Modul M ist (interne) direkte Summe einer Familie (M i ) von Untermoduln (in Zeichen M = M i), wenn M i M, (x i ) x i ein R-Modul-Isomorphismus ist. 4. Sei M ein R-Modul und N M ein Untermodul. Existiert ein Untermodul K M mit M = N K, so heißt N ein direkter Summand von M und K ein Komplement zu N. 1.9 Lemma. Sei M ein R-Modul und N, K M Untermoduln. Es sind äquivalent: (1) M = N K (2) M = N + K und N K = {0} (3) Jedes x M lässt sich eindeutig schreiben als x = y + z mit y N, z K Bemerkung. Ist M ein R-Modul und X M, so ist R X M, (a x ) x X x X a xx ein R-Modul-Homomorphismus Definition. Sei M ein R-Modul und X M. 1. M ist frei : M = R I für ein I 2. X ist (R-)Basis von M : R X M, (a x ) x X x X a xx ist ein R-Modul- Isomorphismus. 3. X ist (R-)linear unabhängig, wenn aus r 1 x r n x n = 0 schon r 1 = = r n = 0 folgt (x 1,..., x n X, r 1,..., r n R) Lemma. Sei M ein R-Modul und X M. Es sind äquivalent: (1) M ist frei mit Basis X. 2

3 (2) X ist linear unabhängig und M ist von X erzeugt. (3) M = x X Rx 1.13 Beispiel. Ist R = K ein Körper, so ist jeder R-Modul frei. Für R = Z sind Z/2Z und Q R-Moduln, die nicht frei sind. 2 Endlich erzeugte Moduln Sei M ein R-Modul. 2.1 Definition. M ist endlich erzeugt es existiert A M endlich mit M = a A Ra. 2.2 Lemma. Sei M ein R-Modul und N M ein Untermodul. (a) Ist M endlich erzeugt, so ist auch M/N endlich erzeugt. (b) Sind N und M/N endlich erzeugt, so ist auch M endlich erzeugt. 2.3 Satz. Sei M ein R-Modul. Genau dann ist M endlich erzeugt, wenn M = R n /N für ein n N und einen Untermodul N R n. 2.4 Lemma. Jede Basis (x i ) eines endlich erzeugten freien R-Moduls M ist endlich. 2.5 Lemma. Ist M ein R-Modul und a R, so ist am ein Untermodul von M und M/aM ist ein R/(a)-Modul. 2.6 Definition. Die Determinante einer Matrix A = (a ij ) i,j Mat n n (R) ist gegeben durch det(a) = σ S n sign(σ) n i=1 a i,σ(i). Ist M ein endlich erzeugter freier R-Modul mit Basis x 1,..., x n, so hat ϕ End R (M) eine darstellende Matrix A = (a ij ) i,j gegeben durch ϕ(x j ) = n i=1 a ijx i. Das charakteristische Polynom von ϕ ist χ ϕ (t) = χ A (t) = det(t 1 n A) R[t]. 2.7 Lemma. Für A Mat n n (R) ist A A = AA = det(a) 1 n, wobei A die zu A adjungierte Matrix bezeichnet. 2.8 Korollar. Genau dann ist A Mat n n (R) invertierbar, wenn det(a) R. 2.9 Satz (Cayley-Hamilton). Ist M ein endlich erzeugter freier R-Modul und ϕ End R (M) mit darstellender Matrix A, so ist χ ϕ (ϕ) = Korollar. Ist M ein endlich erzeugter R-Modul und ϕ End R (M), so gibt es n N und a 0,..., a n 1 R mit ϕ n + a n 1 ϕ n a 0 = 0. 3 Moduln über Hauptidealringen Sei R ein Hauptidealring und M ein R-Modul. 3.1 Lemma. Sind (x i ), (y j ) j J Basen eines freien R-Moduls M, so ist I = J. 3.2 Definition. Die Dimension eines freien R-Moduls M ist dim R (M) = I, wobei (x i ) eine Basis von M ist. 3

4 3.3 Satz. Ist M ein endlich erzeugter freier R-Modul und N M ein Untermodul, so ist N frei und dim R (N) dim R (M). Beweis. Induktion nach der Länge einer Basis x 1,..., x n von M: Wende Induktionshypothese auf M 0 = n 1 i=1 Rx i und den Untermodul N 0 = N M 0 an. Betrachte das Ideal {a R : ex. y M 0 mit y + ax n N} und benutze die Voraussetzung, dass R ein Hauptidealring ist. 3.4 Korollar. Ist M endlich erzeugt und N M ein Untermodul, so ist N endlich erzeugt. 3.5 Definition. a) x M ist Torsionselement : es existiert 0 r R mit rx = 0 b) M tor := {x M : x ist Torsionselement}, der Torsionsmodul von M c) M ist torsionsfrei : M tor = Bemerkung. M tor ist stets ein Untermodul von M. Ist M frei, so ist M torsionsfrei. Im Fall R = Z sind die Torsionselemente genau die Elemente endlicher Ordnung. 3.7 Satz. Ist M endlich erzeugt und torsionsfrei, so ist M frei. Beweis. Seien y 1,..., y m M maximal linear unabhängig und N = m j=1 Ry i. Da M endlich erzeugt ist existiert r R mit rm N. Da M torsionsfrei ist, ist der Homomorphismus M N, x rx injektiv. Die Behauptung folgt dann aus Satz. Ist M endlich erzeugt, so ist M = M tor N, wobei N M ein freier Untermodul ist. Die Dimension dim R (N) ist unabhängig von der Wahl von N. Beweis. Nach 2.7 ist M/M tor frei. Sind x 1,..., x n M so dass die Restklassen von x 1,..., x n eine Basis von M/M tor bilden, so leistet N = n i=1 Rx i das Gewünschte. 3.9 Definition. Man nennt dim R (N) in 2.8 den (freien) Rang von M Theorem (Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen, ohne Beweis). Ist R ein Hauptidealring und M ein endlich erzeugter R-Modul, so ist M = R d s i=1 t i j=1 R/(p v ij i ) mit eindeutig bestimmten d Z 0, s Z 0, paarweise verschiedenen Primidealen (p 1 ),..., (p s ) R, t s N und 0 < ν i,1 ν i,ti. 4 Noethersche Ringe und Moduln Sei R ein Ring und M ein R-Modul. 4.1 Definition. a) M ist noethersch : Jeder Untermodul von M ist endlich erzeugt. b) R ist noethersch : R ist noethersch als R-Modul. 4.2 Bemerkung. Genau dann ist R noethersch, wenn jedes Ideal von R endlich erzeugt ist. Ist R ein Hauptidealring, so sind die noetherschen R-Moduln genau die endlich erzeugten R-Moduln nach

5 4.3 Satz. Es sind äquivalent: (1) M ist noethersch. (2) Jede aufsteigende Kette N 1 N 2... von Untermoduln von M wird stationär, d.h. es existiert ein i mit N i = N i+1 =... ( aufsteigende Kettenbedingung ). (3) Jede Menge U von Untermoduln von M besitzt ein inklusionsmaximales Element. 4.4 Lemma. Sei N M ein Untermodul. Genau dann ist M noethersch, wenn sowohl N also auch M/N noethersch sind. 4.5 Lemma. Sind M 1, M 2 noethersche R-Moduln, so ist auch M 1 M 2 noethersch. 4.6 Satz. Ist R noethersch und M endlich erzeugter R-Modul, so ist M noethersch. Beweis. Dies folgt aus 2.1 und Theorem (Hilbertscher Basissatz, 1890). Ist R ein noetherscher Ring, so auch der Polynomring R[X]. Beweis. Sei I R[X]. Da R noethersch ist ist das Ideal der Leitkoeffizienten von Elementen aus I endlich erzeugt, etwa von den Leitkoeffizienten von f 1,..., f n I. Sei d = max i deg(f i ). Da R noethersch ist ist der endlich erzeugte Modul M = d 1 i=0 RXi noethersch (3.6), der Untermodul I M also endlich erzeugt, etwa von g 1,..., g m. Man zeigt nun per Induktion, dass I = (f 1,..., f n, g 1,..., g m ). 5