Das Jacobsen Radikal

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1 Universität Paderborn Institut für Mathematik Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Das Jacobsen Radikal Christian Heinemann und Wolfgang Palzer chris 8. Dezember 2007

2 2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Radikal und Sockel eines Moduls 3 2 Das (Jacobson-) Radikal einer Algebra 8 3 Nakayama-Lemma 11 4 Struktur endlich dimensionaler Algebren 12 5 Lokale Algebren 13 6 Fittings Lemma 14 7 Satz von Krull-Remak-Schmidt 15

3 3 1 Radikal und Sockel eines Moduls Bemerkung. In diesem Kapitel befassen wir uns generell mit LinksModuln. Die Theorie zu den Rechtsmoduln verläuft analog. Wir werden später erkennen, dass gilt Rad(A A ) = Rad( A A) für eine Algebra A, daher der Unterschied zwischen Betrachtung der Links moduln oder die der Rechtsmoduln noch ein wenig mehr sinkt. 1.1 Definition. Sei R ein Ring und sei M ein R-Linksmodul. 1. Wir definieren das (Jacobson-) Radikal von M als Durchschnitt aller maximalen Untermoduln in M. Wir schreiben: mit U ist maximaler Untermodul in M Rad(M) := U M 2. Ferner definieren den Sockel von M als die Summe aller einfachen Untermoduln von M. Wir schreiben: Soc(M) := V mit V ist einfacher Untermodul 1.2 Definition. 1. Sei M ein Modul über einem Ring R. Dann heißt Ann(M)={a R am = 0} (Links-)Annulator von M. V M 2. Ein Untermodul U von M heißt klein oder überflüssig in M, wenn U + V M V < M (Bezeichnung: U M) und groß oder wesentlich, falls U V 0 0 V < M (Bezeichnung: U M) 1.3 Proposition. Seit M 0 ein R-Modul und m M. Ist mr nicht klein in M, dann gibt es einen maximalen Untermodul U m von M mit m / U m. Beweis: Da Rm nicht klein in M ist, gibt es einen echten Untermodul Q M, so dass Rm + Q = M. Es folgt m / Q. Sei nun M die Menge aller Untermodule U von M mit Q U. Hierbei liefert eine partielle Ordnung auf M. Da Q M ist M nicht leer. Sei L M eine Kette in M. Dann ist L L L eine obere Schranke von L in M. Aufgrund des Zornschen Lemma besitzt M ein maximales Element U m. Dies ist offensichtlich ein maximaler Untermodul von M. Es ist m / U m, denn sonst wäre Rm U m und M = Rm + Q = Rm + U m = U m, was im Widerspruch zu U m M stünde. 1.4 Satz. Sei R ein Ring und sei M ein R-Linksmodul. Dann gilt Rad(M) = U U M U

4 4 1 RADIKAL UND SOCKEL EINES MODULS Beweis: Starten wir mit Sei dazu N maximaler Untermodul von M und U kleiner Untermodul. Da U klein ist, gilt N + U M. Da N maximal ist, folgt N + U = N. Das heißt U N und die erste Inklusion ist gezeigt. Sei nun m / U M U. Es folgt Rm ist nicht klein in M. Mit der Proposition zuvor existiert ein maximaler Untermodul U von M mit m / U. Daher folgt m / rad(m). 1.5 Lemma. Sei L ein zyklischer, von null verschiedener Untermodul eines Moduls M. Und sei J ein Untermodul von M mit L J. Dann existiert ein Untermodul J von M mit J J, sodass L J und J maximal mit dieser Eigenschaft ist. Ferner gilt, dass für jedes J der Modul M/J uniform ist, einen einfachen Sockel hat und es gilt Soc(M/J ) = (L + J )/J Dabei heißt M uniform, falls U 1 U 2 0 für alle von null verschiedenen Untermodule von M gilt. Beweis: Nachzulesen in [RS], Seite Proposition. Sei L ein zyklischer, von null verschiedener Untermodul eines Moduls M. Und sei J ein Untermodul von M mit L J. Gilt L + J = M, so existiert ein maximaler Untermodul J von M mit J J und L J. Beweis: Sei J ein Untermodul von M mit J J und L J, so dass J maximal mit dieser Eigenschaft ist. Gelte nun L + J = M. Damit folgt L + J = M. Mithilfe des Satzes zuvor erhalten wir: M/J = (L + J )/J = soc(m/j ) ist einfach nach Definition des Sockels. Also ist J ein maximales Untermodul. 1.7 Satz. Sei R ein Ring und M ein endlich erzeugter R-Linksmodul. Dann gilt Rad(M) ist klein in M Beweis: Sei M endlich erzeugt mit den Erzeugern x 1,..., x n. Sei ferner L ein echter Untermodul von M. Zu zeigen: L + rad(m) ist ebenfalls ein echter Untermodul. Definiere L t := L + Rx 1 + Rx Rx t, 0 t n. Wir erhalten dadurch eine Kette von Untermoduln: L = L 0 L 1... L n = M Da ja gilt L M existiert ein t mit L t 1 Untermodul. Damit erhalten wir: L t = M. Sei nun J der von x t erzeugte J + L t 1 = L t = M

5 5 wobei J L t 1 Wegen des Satzes zuvor folgt, es existiert ein maximales Untermodul L von M, mit L t 1 L. Da aber L ein maximales Untermodul ist, erhalten wir rad(m) L und somit L + Rad(M) L + L = L M Also folgt Rad(M) ist klein in M. 1.8 Folgerung. Sei M 0 wie oben. Dann gilt: 1. Rad(M) M 2. M besitzt maximale Untermodule. Beweis: Folgt unmittelbar aus dem Satz zuvor. 1.9 Folgerung. Sei M wie oben. Dann gilt: Jedes echte Untermodul von M ist enthalten in einem maximalen Untermodul von M. Beweis: Folgt aus dem Beweis des Satzes Lemma. Sei f : M N ein A-Homomorphismus zwischen R-Moduln M und N. Dann gilt f(rad(m)) Rad(N) Beweis: Sei dazu N ein maximaler Untermodul von N. Betrachte dann π : N N/N. π ist die kanonische Surjektion auf den Modul N/N, welcher einfach ist, da N maximaler Untermodul ist. Somit folgt für die Verknüpfung π f : M N/N, dass der Kern entweder = M ist(falls π f = 0), oder maximaler Untermodul von M ist (falls π f 0, also π f surjektiv). Also umfasst der Kern auf jeden Fall Rad(M) und somit folgt f(rad(m)) N. Dies gilt N. Es folgt f(rad(m)) Rad(N) Lemma. Es gilt Rad(M 1 M 2 ) = Rad(M 1 ) Rad(M 2 ) für zwei Module M 1 und M 2

6 6 1 RADIKAL UND SOCKEL EINES MODULS Beweis: Betrachte die Einbettung j i : M i M 1 M 2. (i = 1, 2)Diese überführt Rad(M i ) in Rad(M 1 M 2 ) und es folgt. Betrachtet man die Projektion p i : M 1 M 2 M i (i = 1, 2), so überführt diese Rad(M 1 M 2 ) in Rad(M i ) und es folgt 1.12 Beispiele. 1. Rad(Z) = p prim pz = 0 2. Rad(K[x]/(x n )) = R x 3. Rad(K[x]) a K (x a) = 0 4. Rad(Z/nZ) = Rad(Z/(p i p i k k Z)) = k j=1 (p jz)/(p i p i k k Z) = (p 1... p k Z)/(p i p i k k Z) 1.13 Satz & Definition. Ein R-Modul M heißt artinsch, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind: 1. Jede absteigende Kette von Untermoduln U 1 U 2... wird stationär in dem Sinne, dass es ein N N gibt mit U n = U n+1 =... n N 2. Jede nichtleere Menge von Untermoduln enthält ein minimales Element bzgl.. Ein Ring R heißt artinsch, falls er als R-Modul artinsch ist. Beweis der Äquivalenz: 1.) 2.) Sei eine nicht leer Menge M 1, M 2,... gegeben. Definiere darauf die durch Inklusion gegebene Ordnung. Nach Voraussetzung (und eventueller Umnummerierung) wird die dadurch erhaltene Kette M 1 M 2... stationär. Aufgrund des Zorn schen Lemmas existiert ein minimales Element. 1.) 2.) Sei eine absteigende Kette M 1 M 2... gegeben. Nach Voraussetzung besitzt diese ein minimales Element M n. Somit folgt M n = M n+1 =... und die Kette wird stationär Satz & Definition. Ein R-Modul M heißt noetersch, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind: 1. Jede aufsteigende Kette von Untermoduln U 1 U 2... wird stationär in dem Sinne, dass es ein N N gibt mit U n = U n+1 =... n N 2. Jede nichtleere Menge von Untermoduln enthält ein maximales Element bzgl.. Ein Ring R heißt noetersch, falls er als R-Modul noetersch ist. Beweis: analog zu 1.13.

7 Folgerung. Es gilt 1. Für jeden Untermodul U gilt: U artinsch (noetersch) und M/U artinsch (noetersch) M artinsch (noetersch) 2. R artinsch, M endlich erzeugter R-Modul M artinsch (noetersch). Beweis: zu 1.) Die Rückrichtung ergibt sich sofort. Sei also für die Hinrichtung U artinsch und M/U artinsch. Da M/U artinsch ist, gilt: Es existiert ein Kette M/U U 1 /U... U n /U =... Dies bedeutet U n, U n+1,... unterscheiden sich nur in Teilmengen von U. Da aber auch U artinsch ist folgt, dass auch M artinsch ist. zu 2.) Sei p : R n M ein surjektiver Homomorphismus. Da R artinsch ist, ist nach 1.) auch R n artinsch und damit wiederum nach 1. auch M artinsch Satz. Sei M ein artinscher R-Linksmodul. Dann gilt: Rad(M) = 0 M ist halbeinfach Soc(M) = M Beweis: Zunächst die erste Äquivalenz: Sei M = S 1 S 2... S t halbeinfach. Jeder der einzelnen S i hat triviales Radikal. Daher gilt dies auch für M nach Lemma Also Rad(M)= 0 Gelte Rad(M)= 0. Für M = 0 ist die Behauptung klar. Sei also M 0. Dann gibt es einen einfachen Untermodul S 0. Wegen Rad(M)= 0 existiert ein maximaler Untermodul N mit der Eigenschaft, dass N S = 0. (Annahme: N S 0. Dann folgt für jedes solche N: N S = S, da S einfach ist und somit S N. Dann folgt Rad(M) = S 0. Widerspruch!) Da N maximal ist, folgt N+S = M. Also N S = M. Nach Lemma 1.11 gilt Rad(N)= 0. Induktiv erhält man: M = N i n i=1 S i mit S i einfach und eine absteigende Kette M = N 0 N 1... Da M artinsch ist, gibt es ein n, so dass N n = N n+1 =... Nach der obigen Argumentation muss dann gelten N n = 0 Damit folgt M = n i=1 S i. Die zweite Äquivalenz ergibt sich sofort nach Definition des Sockels Folgerung. Ist M artinscher Modul, so gilt soc(m) ist groß in M. Der Beweis folgt sofort aus der Minimaleigenschaft 1.18 Beispiel. Betrachte erneut den Ring K[x]/(x n ). Dieser ist artinsch, denn alle Ideale haben die Form I k = {p K[x] deg(p) k}. Mit J := (x n ) gilt: K[x]/J I 1 /J... I n /J = I n+1 /J =...

8 8 2 DAS (JACOBSON-) RADIKAL EINER ALGEBRA 1.19 Bemerkung. Die Implikation M ist halbeinfach Rad(M) = 0 gilt offensichtlich auch bei artinschen R-Linksmoduln Satz. Sei R ein kommutativer Ring und M ein R-Linksmodul. Dann gilt 1. m Rad(M) Rm ist klein in M 2. Rad(M/Rad(M))= 0 3. N M, M/N halbeinfach Rad(M) N 4. N Rad(M) Rad(M/N) = Rad(M)/N. Beweis: zu 1.) folgt aus Satz 1.3 zu 2.) Sei dazu p : M M/Rad(M) der natürliche Homomorphismus. Sei m M\Rad(M). Nach 1.) ist Rm nicht klein in M und es existiert ein maximales Untermodul U von M, sodass Rm + U = M. Also ist p(m) = p(rm + U) = Rp(m) + p(u) = M/Rad(M). Und wegen p(u) M/Rad(M) (sonst wäre Rm Rad(M) und dann m Rad(M)) ist p(m) / Rad(M/Rad(M), da Rp(m) nicht klein in M/Rad(M) und mit 1.). Somit folgt die Behauptung. zu 3.) Sei p : M M/N der natürliche Homomorphismus. Es ist p(rad(m)) Rad(M/N) (Satz 9.4). Und da M/N halbeinfach gilt Rad(M/N) = 0. Es folgt Rad(M) N. zu 4.) Betrachte das kommutative Diagramm M f M/Rad(M) g h M/N, welches aus lauter natürlichen Epimorphismen bestehen möge. Da wegen 2.) h(rad(m/n)) Rad(M/Rad(M)) = 0 folgt Rad(M/N) Rad(M)/N. Dank Aussage (2) erhalten wir Rad(M)/N = g(rad(m)) Rad(M/N). 2 Das (Jacobson-) Radikal einer Algebra 2.1 Definition. Das Radikal Rad(A) einer Algebra A wird definiert, als das Radikal des Linksmoduls A A. Dieses Radikal nennt man auch das (Jacobson-)Radikal von A und wird häufig mit J(A) = Rad( A A) bezeichnet. 2.2 Satz. J(A) =Rad( A A) ist ein Ideal in A Beweis: Zunächst ist J( A A) ein Linksideal in A nach Definition. Sei ferner a A. Betrachte die Abbildung λ a : A A, x xa λ a ist ein Homomorphismus von A A nach A A und

9 9 überführt also Radikal in Radikal. Somit folgt, dass das Radikal auch ein Rechtsideal ist und daher auch die Behauptung. Wir lernen im Folgenden weitere Charakterisierungen von J(A) kennen. Die erste erhalten wir mit folgendem 2.3 Satz. Sei a A, A Algebra. Dann gilt a J(A) as = 0 für alle einfachen A-Moduln S Beweis: Sei S ein einfacher A-Modul und sei 0 x S. Die Abbildung f : A A S definiert durch f(b) = bx ist ein Homomorphsismus von A-Moduln. Da x 0 gilt f 0 und da S einfach ist, ist f surjektiv und der Kern von f ist ein maximales Linksideal. Nach Definition des Radikals ist es im Kern von f enthalten. Somit folgt J(A)x = 0 und somit J(A)S = 0 Gelte as = 0 für alle einfachen A-Moduln S. Annahme: a / J(A). Da J(A) der Schnitt über alle maximalen Linksideale ist, existiert ein maximales Linksideal I mit a / I. Wir wissen S I := A A/I ist ein einfacher A-Modul. Für b A setze b = b + I. Es folgt ā 0. Und da gilt a 1 = a 1 = a 0 haben wir as I 0 und somit einen Widerspruch. Daher folgt a J(A). Mithilfe des letzen Satzes erhalten wir also, dass bei einfachen Moduln das Radikal J(A) nichts anderes ist, als der Durchschnitt aller Annulatoren. 2.4 Folgerung. Die einfachen A-Moduln entsprechen bijektiv den einfachen A/J(A) Moduln. Beweis: Ergibt sich direkt aus dem vorherigen Lemma, denn der einfache Modul S besitzt als A-Modul die gleichen Untermoduln wie als A/J(A)-Modul. 2.5 Satz. Sei A eine Algebra. Dann gilt für jedes A-Modul M: J(A) M Rad(M) Beweis: Sei M ein maximaler Untermodul von M. Dann ist M/M ein einfacher A-Modul. Es folgt mit Satz 2.3 J(A)(M/M ) = 0. Daher folgt J(A)M M. Da aber J(A)M in allen maximalen Untermoduln von M enthalten ist, ist dies ebenfalls in dem Schnitt von allen maximalen Untermoduln von M.

10 10 2 DAS (JACOBSON-) RADIKAL EINER ALGEBRA Wir werden nun im folgenden sehen, dass Rad( A A) = J(A) = Rad(A A ). Dafür benötigen wir den folgenden Satz. Ferner sehen wir weitere äquivalente Charakterisierungen des Radikals. 2.6 Satz. Sei x A, A Algebra. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. x J(A) 2. a 1, a 2 A gilt, das Element 1 + a 1 xa 2 hat ein Inverses. 3. a A gilt, das Element 1 + ax hat ein Inverses. 4. a A gilt, das Element 1 + xa hat ein Inverses. Beweis: 1.) 2.) Sei also x J(A). Wir müssen zeigen, dass 1 + x invertierbar ist. Da nun x J(A) gehört x zu allen maximalen Linksidealen. Somit folgt 1 + x gehört zu keinem maximalen Linksideal, da 1 nicht enthalten ist in irgendeinem echten Unterideal. Nun gilt A(1 + x) = A, denn: Nehmen wir an, dies gilt nicht, also A(1 + x) A. A A ist endlich erzeugt. Dann existiert nach Proposition 1.8 ein maximales Linksideal von A A in dem A(1 + x) enthalten ist. Widerspruch! Da also A(1 + x) = A existiert ein a A mit a(1 + x) = 1. Sei y = a 1. Also a = 1 + y. Somit folgt (1 + y)(1 + x) = 1 und daher y + x + xy = 0. Dieses impliziert y = ( 1 y)x Ax J(A). Somit besitzt auch 1 + y ein Linksinverses. Somit ist 1 + y sowohl links- als auch rechtsinvertierbar. Also ist 1 + x sein Links- und auch sein Rechtsinverses. Da nun J(A) ein Ideal ist, gilt auch a 1 xa 2 J(A) a 1, a 2 A. Also sind auch alle Elemente der Form 1 + a 1 xa 2 invertierbar, was den ersten Teil des Beweises beendet. 2.) 3.) klar, denn besitzt 1 + a 1 xa 2 J(A) ein Inverses, so auch 1 + ax J(A). 3.) 1.) Sei x / J(A). Dann existiert ein maximales Linksideal M, welches nicht x enthält.es folgt A = M + Ax und somit 1 = y ax für ein y M und a A. Also gilt 1 + ax = y und da nun y M besitzt y, daher auch 1 + ax, kein Linksinverses. 2.7 Bemerkung. Analog lässt sich zeigen, dass das Radikal J(A) aus den Elementen x A besteht, für die 1 a 1 xa 2 ein Inverses besitzt. 2.8 Folgerung. Das Radikal J(A) von A ist ebenfalls der Durchschnitt aller maximalen Rechtsideale. Also gilt Rad( A A) = J(A) = Rad(A A ) Beweis Die zweite Bedingung in Satz zuvor ist links-rechts-symmetrisch, er lässt sich also auch für Rechtsideale durchführen.

11 11 3 Nakayama-Lemma 3.1 Proposition. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Sei M ein Untermodul von M und gelte M + J(A)M = M. Dann gilt M = M. Beweis: Mithilfe von Satz 2.5 wissen wir, dass J(A)M rad(m). Daher folgt M + rad(m) = M. Nach Voraussetzung ist M endlich erzeugt. Wegen Satz 1.6 ist rad(m) klein in M. Daher folgt M = M. 3.2 Nakayama-Lemma. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul, sodass J(A)M = M, dann gilt M = 0. Beweis: Wähle M = 0 im Satz zuvor. 3.3 Bemerkung. Das Nakayama Lemma mag unscheinbar wirken, findet aber häufige Anwendung in der Algebra, insbesondere in der kommutativen Algebra. Eine Anwendung in diesem Kapitel findet sich später, in dem Struktursatz endlichdimensionaler Algebren. 3.4 Proposition. Sei A/J(A) halbeinfach. Dann gilt für alle A-Moduln M: J(A)M = rad(m) Beweis: Die eine Inklusion gilt immer und haben wir bereits in Satz 2.5 gesehen. Es ist also noch zu zeigen. Wir wissen, J(A) annuliert gerade M/J(A)M, daher ist M auch ein A/J(A)-Modul. Und da A/J(A) halbeinfach ist, ist auch jeder A/J(A)-Modul halbeinfaches A/J(A)-Modul und damit dann nach Definition des Radikals auch ein halbeinfaches A-Modul. Aber wenn M/J(A)M halbeinfach ist folgt, dass rad(m) enthalten ist in J(A)M, da ja J(A)M maximal ist in M. 3.5 Definition. Sei A eine Algebra und e A. Dann heißt e idempotent, wenn gilt e 2 = e. 3.6 Satz. Sei e ein idempotentes Element in A. Dann gilt J(eAe) = ej(a)e = J(A) eae. Beweis: J(A) eae ej(a)e Sei x eae also x = eae mit a A. Damit exe = eeaee = eae = x x = exe. Also x ej(a)e. ej(a)e J(eAe) Seien exe ej(a)e, a A. Also gilt, dass 1 + (ea)(exe) invertierbar ist. Also y : y(1 + eaexe) = 1. Das impliziert (eye)(e + (eae)(exe)) = e y(e + eaexe) e = e 2 = e.

12 12 4 STRUKTUR ENDLICH DIMENSIONALER ALGEBREN Das heißt e + ea(exe) ist links-invertierbar in eae, also exe J(eAe). J(eAe) J(A) eae Klar ist J(eAe) eae. Zu zeigen bleibt also J(eAe) J(A). Sei dazu S ein einfacher A-Modul. Dann ist es Untermodul von S. Also es=0 oder es=s. In beiden Fällen folgt dann J(eAe)eS = 0 und damit J(eAe)S = 0. Mit Satz 2.3 ergibt sich dann J(eAe) J(A). 4 Struktur endlich dimensionaler Algebren 4.1 Definition. Ein Ideal I heißt nilpotent, wenn ein n N existiert, sodass I n = Lemma. Sei I ein Linksideal oder ein Rechtsideal einer Algebra A. Bestehe I nur aus nilpotenten Elementen. Dann ist I in J(A) enthalten. Beweis: Sei I ein Linksideal von A, bestehend aus nilpotenten Elementen. Nach Satz 2.6 reicht es zu zeigen, dass 1 + x invertierbar ist x I. Gilt nun x n = 0, so folgt (1 x)(1 + x + x x n 1 ) = 1 x n = 1 und somit ist 1 + x invertierbar und daher x J(A). Es folgt die Behauptung. 4.3 Satz. Sei I ein Ideal einer Algebra A. Gilt dann J(A/I) = 0, so gilt J(A) I. Beweis: Sei x / I. Dann existiert nach Satz 1.8 ein maximales Linksideal J von A, mit I J und x / J. Damit folgt x / J(A). 4.4 Bemerkung. Nilpotente Elemente müssen nicht zum Radikal gehören: Sei dafür A = M 2 (K). A ist halbeinfach und daher gilt J(A) = 0 nach Satz Aber A besitzt natürlich von null verschiedene, nilpotente Elemente wie ( ) Satz. (Struktursatz endlichdimensionaler Algebren) Sei A eine endlich dimensionale Algebra. Dann ist J(A) nilpotent, es existiert also ein n aus N mit J(A) n = 0 und A/J(A) ist halbeinfach. Es ist also J(A) das größte nilpotente Ideal von A. Beweis: Betrachte die absteigene Idealkette J(A) J(A) 2... J(A) n...

13 13 Die Idealkette wird stationär, also existiert ein n aus N mit J(A) n = J(A) n+1 = J(A) n J(A) Mit dem Lemma von Nakayama und der Tatsache, dass J(A) n endlich erzeugt ist, folgt J(A) n = 0, was den Beweis des ersten Teils beendet. Die zweite Aussage folgt sofort aus Satz und Satz Lokale Algebren 5.1 Satz & Definition. Sei A eine Algebra. A heißt lokal, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist. 1. A/J(A) ist eine Divisionsalgebra 2. J(A) ist ein maximales Links-(bzw. Rechts-)ideal 3. A enthält genau ein maximales Links-(bzw. Rechts-)ideal 4. A 0 und die Summe zweier Nichteinheiten ist eine Nichteinheit 5. J(A) ist die Menge der Nichteinheuten 6. x A entweder x oder 1 x ist eine Einheit Beweis: (1) (2): A/J(A) enthält nur die trivialen Ideale. Alle echten Ideale von A sind bereits in J(A) enthalten. Also ist J(A) maximal. (2) (3): klar nach Definition von J(A). (2) (5): Sei x J(A) Dann ist Ax A also ist x keine Einheit. Sei umgekehrt x keine Einheit. Dann ist Ax A also x in einem echten Ideal und somit in einem maximalen Ideal enthalten. wegen (2) (3) folgt x J(A). (5) (1): klar, da J(A) gerade die Nichteinheiten herausfaktorisiert. (5) (4): J(A) ist bezüglich Addition abgeschlossen. (4) (6): 1 = (1 x) + x ist eine Einheit, also ist x oder 1 x ebenfalls eine Einheit. (6) (5): Sei x eine Nichteinheit, Wegen (6) ist 1 x eine Einheit. Mit Satz 2.5 folgt x J(A). Wegen J(A) A enthält es keine Einheiten.

14 14 6 FITTINGS LEMMA 5.2 Beispiele. 1. K[T ]/(T n ) ist lokal, da das (eindeutige) maximale Ideal aus den Polynomen ohne Absolutglied besteht (Ein Ideal besteht gerade aus Polynomen n 1 i=k a it i, 0 k n) 2. Z/nZ ist einfach genau dann wenn n = p k für p prim k N, da Rad(Z/nZ) in diesem Fall maximal ist (vgl. Bsp ). 5.3 Folgerung. In einer lokalen Algebra A sind 0 und 1 die einzigen idempotenten Elemente. Beweis: Sei e ein idempotentes Element. Da A lokal ist, ist entweder e oder 1 e eine Einheit. 1. e eine Einheit. Dann gilt e = e(ee 1 ) = (ee)e 1 = ee 1 = e keine Einheit. Also (1 e) Einheit. (1 e) ist ebenfalls idempotent, da (1 e) 2 = 1 2e e 2 = 1 e. Mit 1. folgt: 1 e = 1 also e = 0. 6 Fittings Lemma 6.1 Satz. Seien M ein A-Modul, f End(M). Dann gilt: 1. M artinsch Imf n + Kerf n = M für hinreichend große n 2. M noetersch Imf n Kerf n = 0 für hinreichend große n Beweis: 1. Es gilt Imf Imf 2 Imf 3... Da M artinsch ist, gibt es ein n, so dass Imf n =Imf 2n Sei x M f n (x) Imf 2n y : f 2n (y) = f n (x) Dann gilt f n (x f n (y)) = f n (x) f 2n (y) = 0 Es fofgt x = f n (y) + (x f n (y)) Imf n + Kerf n 2. Es gilt Kerf Kerf 2 Kerf 3... Da M noetersch ist, gibt es ein n, so dass Kerf n =Kerf 2n Sei x Imf n Kerf n y : f n (y) = x Dann gilt f 2n (y) = f n (x) = 0 f n (y) = 0 Also x = Fittings Lemma. Seien M ein A-Modul, der artinsch und noetersch ist, f End(M). Für genügend große n gilt:

15 15 M = Ker(f n ) Im(f n ) 6.3 Folgerung. Seien M ein unzerlegbarer A-Modul, der artinsch und noetersch ist, f End(M). Dann ist f ein Automorphismus oder nilpotent. Beweis: Nach Fittings Lemma ist Kerf n {0, M} Im ersten Fall ist f nilpotent. Im zweiten Fall ist f n injektiv und somit auch f. 6.4 Satz. Sei M ein unzerlegbarer A-Modul, der artinsch und noetersch ist. Dann ist End( A M) eine lokale Algebra. Beweis: Seien f, g End(M), g nicht invertierbar und f +g invertierbar. h : (f +g)h = id g Nichteinheit gh Nichteinheit. (6.3) gh nilpotent. (4.2) 1 gh invertierbar fh = 1 gh invertierbar f invertierbar 6.5 Folgerung. Obige Aussagen treffen ebenfalls auf endlich erzeugte Moduln über artinsch, noeterschen Ringen zu, da solche Moduln nach Folgerung 1.15 artinsch und noetersch sind. 7 Satz von Krull-Remak-Schmidt 7.1 Satz. Sei M ein A-Modul, der artinsch und noetersch ist. Dann gilt: n M = mit M i 0 unzerlegbar und bis auf Umnummerierung und Isomorphie eindeutig i=1 Beweis: Zur Existenz: Angenommen diese Zerlegung existiert nicht, dann erhält man eine Inklusion von zerlegbaren Untermoduln M U 1 U 2..., die nicht abbricht, im Widerspruch zu der artinschen Eigenschaft von M. Zur Eindeutigkeit: Seien nun M 1... M n = M = N 1... N s zwei solche Zerlegungen. Seien π : M M 1 und π i : M N i Projektionen und ι : M 1 M sowie ι i : N i M Inklusionen. Dann gilt n i=1 ι iπ i = id M und damit n i=1 πι iπ i ι = πι = id M1 Da M 1 unzerlegbar ist folgt mit Satz 6.4, dass für ein j πι j π j ι ein Isomorphismus sein muss. Dann ist π j ι : M 1 N j injektiv und, da M 1 und N j unzerlegber auch ein Isomorphismus. Aus M 1 N j folgt M 2... M n N 1... N j... N s ( N j bedeutet, dass N j weggelassen wird). Induktion beendet den Beweis. M i 7.2 Folgerung. Insbesondere gilt der Satz von Krull-Remak-Schmidt für endlich erzeugte Moduln über Ringen, welche artinsch und noetersch sind (Folgerung 1.15).

16 16 7 SATZ VON KRULL-REMAK-SCHMIDT 7.3 Bemerkung. Eine Verallgemeinerung von Krull-Remak-Schmidt liefert Azumaya s Zerlegungstheorem: Sei M ein Modul mit einer direkten Zerlegung M = i I M i in unzerlegbare M i mit End(M i ) lokal. Dann gilt: 1. Jeder nichtleere direkte Summand von M hat einen direkten Summanden M i 2. Die Zerlegung M = M i i I komplementiert maximale direkte Summanden von M, d.h. Zu einem beliebigen maximalen direkten Summanden K gibt es J I mit M = ( i J M i ) K Dies ist äquivalent dazu, dass diese Zerlegung zu jeder anderen direkten Zerlegung äquivalent ist. Ein Beweis hierzu findet sich beispielsweise in [AF] (Seite 144).

17 LITERATUR 17 Literatur [DK] D. Kussin, Skript zur Vorlesung Ringe und Moduln, Universität Paderborn, Wintersemester 2005/2006 [AF] Frank W. Anderson, Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules - Second Edition, Springer Verlag, New York 1992 [WB] Josef Waschbüsch Skript zur Vorlesung Einführung in die Darstellungstheorie, Wintersemester 1983/1984 [SL] Serge Lang Algebra Springer Verlag, New York 2000 [RS] Claus Michael Ringel, Jan Schröer Introduction to Representation Theory of Algebras