Qualitative Datenanalyse

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1 Qualitative Datenanalyse Prof. Dr. Stefan E. Schmidt Francesco Kriegel TU Dresden Fakultät Mathematik Institut Algebra SS September 2008

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Formale Begriffsanalyse Modellierung von Tabellen mit formalen Kontexten Ableitungsoperatoren Formale Begriffe Begriffsverband Apposition von formalen Kontexten Formale Implikationen Kapitel 2 Annotationen Grundlagen Vervollständigung und Kern Anpassung und Adjustierung Annotationen und Kontexte Isomorphie und Äquivalenz Dedekind-MacNeille-Vervollständigung

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4 1 Formale Begriffsanalyse 1.1 Modellierung von Tabellen mit formalen Kontexten Oftmals sind uns Tabellen (sogenannte Kreuztabellen) gegeben, die als Zeilen eine Menge von Gegenständen und als Spalten eine Menge von Merkmalen (oder auch umgekehrt) haben. In solch einer Tabelle ist dann ein Kreuz eingetragen, falls ein bestimmter Gegenstand ein bestimmtes Merkmal hat, oder eben kein Kreuz, falls ein bestimmter Gegenstand ein bestimmtes Merkmal nicht hat. In untenstehender Tabelle hat der Gegenstand g das Merkmal m, dargestellt durch das Kreuz. I G M m g Die Tabelle als Gesamtheit beschreibt eine Relation zwischen der Gegenstandsund der Merkmalsmenge, die sogenannte Inzidenzrelation. In der Tabelle ist das Paar (g, m) ein Element dieser Inzidenzrelation. Definition 1.1 (formaler Kontext) Ein formaler Kontext K ist definiert als ein Tripel (G, M, I ). Dabei bezeichnet G die Menge der Gegenstände und M die Menge der Merkmale. Eine binäre Relation zwischen Gegenstands- und Merkmalsmenge I G M ist die Inzidenzrelation. Wir schreiben (g,m) I oder kurz g Im, falls der Gegenstand g das Merkmal m hat. Im Übrigen setzen wir stets G < sowie M < vorraus. 1

5 1 Formale Begriffsanalyse 1.2 Ableitungsoperatoren Wir definieren für einen Gegenstand g G die Merkmals-Nebenklasse g I := {m M g Im}, das ist die Menge, die alle Merkmale des Gegenstands g enthält. Analog definieren wir für ein Merkmal m M die Gegenstands-Nebenklasse Im := {g G g Im}, das ist die Menge derjenigen Gegenstände, die das Merkmal m haben. Nun setzen wir A I := g I = {m M g A : g Im} g A und haben damit die Menge aller gemeinsamen Merkmale der Gegenstände in A und mit I B := Im = {g G m B : g Im} m B erhalten wir die Menge aller Gegenstände, die sämtliche Merkmale in B haben. Definition 1.2 (Ableitungsoperatoren) Wir definieren bezüglich eines formalen Kontextes K = (G, M, I ) zwei Operatoren sowie ϕ K : 2 G 2 M A A I = {m M g A : g Im} ψ K : 2 M 2 G B I B = {g G m B : g Im} Ist stets klar, ob es sich um eine Gegenstands- oder Merkmalsmenge handelt, so schreiben wir auch B I für I B. Im Folgenden werden an einigen Stellen beide Operatoren hintereinander ausgeführt, daher verwenden wir der Einfachheit halber folgende Konventionen: A I I := I (A I ) und B I I := ( I B) I 2

6 1.2 Ableitungsoperatoren Satz 1.3 (Ableitungsregeln) Es sei K = (G, M, I ) ein formaler Kontext, A, A 1, A 2 G Gegenstandsmengen und B,B 1,B 2 M Merkmalsmengen. Dann gelten: (a) A B I A B I B A I (b) A 1 A 2 = A I 2 AI 1 B 1 B 2 = B I 2 B I 1 (c) A A I I B B I I (d) A I I I = A I B I I I = B I (e) G I I = G M I I = M Beweis: (a) I. (=, =) Bekanntlich ist B I = {g G m B : (g,m) I }, also gilt g B I m B : (g,m) I, und damit ist stets B I B I für alle B M. Für alle A B I gilt dann also A B I. Analog ist stets A A I I für alle A G und dann gilt für alle B A I also A B I. II. ( =,= ) Sei A B I, dann gilt {g } B I für alle g A und weiter g Im für alle m B. Daher ist g B I für alle g A und damit also A B I. (b) Sei A 1 A 2. Es gilt immer A 2 A2 I I, also ist auch A 1 A2 I I und mit (a) folgt A2 I AI 1. Analog ist stets B2 I B 2 I, also für B 1 B 2 gilt B2 I B 1 I und mit (a) ist dann B2 I B 1 I. (c) Es gilt stets A A I I Analog ist immer B I B I (a) A A I I. (a) B B I I. I I I I I (d) Nach (c) gilt bereits A I A I I I sowie A A I I = (b) A A, also ist A = A I I I. Analog gilt mit (c) schon B I B I I I sowie B B I I = B I I I B I, also ist (b) B I = B I I I. (e) Die erste Ableitung G I ist die Menge der Merkmale, die alle Gegenstände von G, also ausnahmslos alle existierenden Gegenstände des Kontextes K, 3

7 1 Formale Begriffsanalyse haben. Diese ist entweder leer, dann gilt I = G und folglich G I I = G, oder sie enthält mindestens ein Merkmal, das alle Gegenstände haben. Bildet man dann die zweite Ableitung G I I, so sind in ihr alldiejenigen Gegenstände enthalten, die die Merkmale in G I haben das sind alle existierenden Gegenstände, also ergibt sich G I I = G. Analog lässt sich M I I = M beweisen. Lemma 1.4 Es sei K = (G, M, I ) ein formaler Kontext. Für zwei Gegenstandsmengen A 1, A 2 G bzw. zwei Merkmalsmengen B 1,B 2 M gelten bzw. (A 1 A 2 ) I = A I 1 AI 2 (A 1 A 2 ) I A I 1 AI 2 (B 1 B 2 ) I = B I 1 B I 2 (B 1 B 2 ) I B I 1 B I 2. Beweis: Die erste Gleichung folgt aus (A 1 A 2 ) I = g A 1 A 2 g I = g I g A 1 g A 2 g I = A I 1 AI 2. Zum Beweis der zweiten Gleichung sei m A I 1 AI 2. Es gilt also g A 1 : g Im oder g A 2 : g Im, dies impliziert g A 1 A 2 : g Im, d.h. m (A 1 A 2 ) I. Damit folgt schließlich A I 1 AI 2 (A 1 A 2 ) I. Völlig analog lassen sich die Beziehungen für die Merkmalsmengen beweisen. Satz 1.5 (Ableitungsregeln) Sei K = (G, M, I ) ein formaler Kontext. Für eine beliebige Familie von Gegenstandsmengen A j G mit j J bzw. eine beliebige Familie von Merkmalsmengen B j M mit j J gelten ( A j ) I = A I j j J j J ( A j ) I A I j j J j J bzw. ( B j ) I = B I j j J j J ( B j ) I B I j. j J j J 4

8 1.2 Ableitungsoperatoren Dies folgt durch wiederholte Anwendung des vorangegangenen Lem- Beweis: mas. Korollar 1.6 Die Hintereinanderausführungen der Ableitungsoperatoren sind Hüllenoperatoren, genauer ist ψ K ϕ K : 2 G 2 G A I (A I ) =: A I I ein Hüllenoperator auf G, denn es gelten für Gegenstandsmengen A, A 1, A 2 G (HO1) Extensitivität: A A I I (HO2) Monotonie: A 1 A 2 = A I I 1 AI I 2 (HO3) Idempotenz: A I I I I = A I I, und analog ist ein Hüllenoperator auf M. ϕ K ψ K : 2 M 2 M B ( I B) I =: B I I Zusammenfassung 1.7 Für einen formalen Kontext K = (G, M, I ) ist das Quadrupel stets eine Galoisverbindung. G K = (G, M,ϕ K,ψ K ) Definition 1.8 ((gegenstands-/merkmals-)bereinigt) Ein formaler Kontext K = (G, M, I ) heißt gegenstandsbereinigt, falls g I 1 = g I 2 = g 1 = g 2 für alle Gegenstände g 1, g 2 G gilt. Analog heißt K merkmalsbereinigt, falls m I 1 = mi 2 = m 1 = m 2 für alle Merkmale m 1,m 2 M ist. K heißt bereinigt, falls K gegenstands- und merkmalsbereinigt ist. 5

9 1 Formale Begriffsanalyse 1.3 Formale Begriffe Definition 1.9 (formaler Begriff, Umfang, Inhalt) Ein Paar (A,B) 2 G 2 M heißt formaler Begriff (des Kontextes K), falls sowohl A I = B als auch B I = A gelten. Dabei nennt man A den Umfang (extent) und B den Inhalt (intent) des formalen Begriffs. BK := {(A,B) 2 G 2 M A I = B B I = A} ist die Menge aller formalen Begriffe von K. Desweiteren ist ExtK := {A G B M : (A,B) BK} die Menge aller Begriffsumfänge und analog ist die Menge aller Begriffsinhalte. IntK := {B M A G : (A,B) BK} Korollar 1.10 (1) (A,B) 2 G 2 M ist formaler Begriff C G : C I I = A C I = B D M : D I = A D I I = B (2) Es gelten folgende leicht nachprüfbare Beziehungen: BK = {(A I I, A I ) A G} = {(B I,B I I ) B M} Die Menge aller formalen Begriffe lässt sich also allein durch Betrachten aller Gegenstandsmengen oder aller Merkmalsmengen bestimmen. ExtK = {A I I A G} und IntK = {B I I B M} Die Menge aller Umfänge ist demnach die Menge aller abgeschlossenen Gegenstandsmengen unter G K M K und analog ist die Menge aller Inhalte 6

10 1.3 Formale Begriffe die Menge aller abgeschlossenen Merkmalsmengen unter M K G K. Anders ausgedrückt: (G, ExtK) ist das Hüllensystem zu G K M K und (M, IntK) ist das Hüllensystem zu M K G K. Daraus lässt sich nun folgern, dass der Durchschnitt beliebig vieler Umfänge bzw. Inhalte wieder ein Umfang bzw. Inhalt ist. Lemma 1.11 gelten: Es seien A 1, A 2 ExtK Umfänge und B 1,B 2 IntK Inhalte. Nun (1) A 1 = A 2 A I 1 = AI 2 (2) B 1 = B 2 B I 1 = B I 2 Beweis: (1) Es gilt A 1 = A 2 = A1 I = AI 2 sowie A2 I I = A 2. (2) analog. = AI I 1 = AI I 2. Mit A 1, A 2 ExtK folgt A I I 1 = A 1 Definition 1.12 (Gegenstandsbegriff, Merkmalsbegriff) Mit der Konvention x I := {x} I für x G M definieren wir zwei Abbildungen und γ K : G BK g γ K g = (g I I, g I ) µ K : M BK m µ K m = (m I,m I I ) Dann heißt γ K g der vom Gegenstand g erzeugte Gegenstandsbegriff und µ K m der vom Merkmal m erzeugte Merkmalsbegriff. 7

11 1 Formale Begriffsanalyse 1.4 Begriffsverband Definition 1.13 (Unterbegriffsrelation, Begriffsverband ) Auf der Menge BK wird nun eine Relation, die Unterbegriffsrelation K, definiert: (A 1,B 1 ) K (A 2,B 2 ) : A 1 A 2 In diesem Falle heißt (A 1,B 1 ) Unterbegriff von (A 2,B 2 ) bzw. (A 2,B 2 ) heißt Oberbegriff von (A 1,B 1 ). Die Menge BK aller formalen Begriffe wird mit der Unterbegriffsrelation K zu einem vollständigen Verband und wir bezeichnen BK := (BK, K ) als den Begriffsverband zu K. Satz 1.14 Für zwei formale Begriffe (A 1,B 1 ), (A 2,B 2 ) BK gilt A 1 A 2 B 1 B 2 Beweis: Aus der Definition eines formalen Begriffs und den Ableitungsregeln folgt sogleich A 1 A 2 = A1 I AI 2 B1 I B 2 I = B 1 B 2 Der bezüglich der Unterbegriffsrelation K größte formale Be- Bemerkung: griff ist 1 BK := (G,G I ) und dual ist 0 BK := (M I, M) der kleinste formale Begriff. Bemerkung: ExtK := (ExtK, ) und IntK := (IntK, ) bilden jeweils einen vollständigen Verband. Wir bezeichnen ExtK als den Umfangsverband zu K und IntK als den Inhaltsverband zu K. 8

12 1.4 Begriffsverband Zusammenfassung 1.15 Es besteht Isomorphie zwischen dem Begriffsverband, dem Umfangsverband und dem Inhaltsverband, genauer gilt ExtK = BK = d IntK, d.h. (ExtK, ) = ExtK = BK = (IntK) d = (IntK, ). Die Ordnungsisomorphismen sind hier die Projektionen auf die Komponenten: ExtK BK d IntK π1 π2 A (A,B) B Es gilt A 1 A 2 (A 1,B 1 ) K (A 2,B 2 ) B 1 B 2. Uns sind zwei beliebige formale Begriffe (A 1,B 1 ),(A 2,B 2 ) BK gegeben. Wir suchen nun den größten gemeinsamen Unterbegriff (A, B) BK. Es soll also zum einen gelten (A,B) K (A 1,B 1 ) A A 1 (A,B) K (A 2,B 2 ) A A 2 und zum anderen darf es keinen formalen Begriff (A 0,B 0 ) BK geben mit Es liegt also nahe, (A,B) K (A 0,B 0 ) K (A 1,B 1 ) (A,B) K (A 0,B 0 ) K (A 2,B 2 ). A = A 1 A 2 zu setzen, denn es gibt keine echt größere Menge A 0 A mit A 0 A 1 und A 0 A 2. Weiter ist der Durchschnitt zweier Umfänge wieder ein Umfang und um den Inhalt des größten gemeinsamen Unterbegriffs zu erhalten, setzen wir schließlich B = (A 1 A 2 ) I. Analog lässt sich der kleinste gemeinsame Oberbegriff zweier formaler Begriffe herleiten. Es gilt hier B = B 1 B 2 und damit A = (B 1 B 2 ) I. Die folgende Definition ist also wohldefiniert. Definition 1.16 (Infimumsoperator, Supremumsoperator) Für zwei formale Begriffe (A 1,B 1 ), (A 2,B 2 ) BK heißt (A 1,B 1 ) (A 2,B 2 ) := (A 1 A 2,(A 1 A 2 ) I ) 9

13 1 Formale Begriffsanalyse der größte gemeinsame Unterbegriff (Infimum), und analog heißt (A 1,B 1 ) (A 2,B 2 ) := ((B 1 B 2 ) I,B 1 B 2 ) der kleinste gemeinsame Oberbegriff (Supremum). Damit der Begriffsverband ein vollständiger Verband ist, muss natürlich auch das Supremum und das Infimum für eine beliebige Familie von formalen Begriffen (A j,b j ) BK mit j J existieren. Durch wiederholte Anwendung der beiden obigen Definitionen folgt: j,b j ) = ( j J(A A j,( A j ) I ) j J j J sowie j,b j ) = (( j J(A B j ) I, B j ) j J j J Korollar 1.17 Nach den Ableitungsregeln für Schnitte und Vereinigungen gelten für die oben definierten Operatoren (A 1,B 1 ) (A 2,B 2 ) = (A 1 A 2,(B 1 B 2 ) I I ) sowie (A 1,B 1 ) (A 2,B 2 ) = ((A 1 A 2 ) I I,B 1 B 2 ) j,b j ) = ( j J(A A j,( B j ) I I ) j J j J j,b j ) = (( j J(A A j ) I I, B j ) j J j J Korollar 1.18 Mit den vorangegangenen Herleitungen können wir nun auch das Supremum und Infimum von beliebigen Familien von Umfängen bzw. Inhalten angeben. Seien dazu A j ExtK Umfänge bzw. B j IntK Inhalte für j J. Dann gelten und A j A j = j J j J A j = ( A j ) I I j J j J B j = ( B j ) I I j J j J B j = B j. j J j J 10

14 1.5 Apposition von formalen Kontexten 1.5 Apposition von formalen Kontexten Definition 1.19 (Merkmals-Apposition) Es seien K 1 = (G, M 1, I 1 ) und K 2 = (G, M 2, I 2 ) formale Kontexte mit gleichen Gegenstandsmengen und disjunkten Merkmalsmengen. Ihre Merkmals-Apposition ist dann definiert als K 1 K 2 := (G, M 1 M 2, I 1 I 2 ). Bemerkung: Das Operationssymbol steht für die disjunkte Vereinigung zweier Mengen. Lemma 1.20 Sei A G eine Gegenstandsmenge, B M 1 M 2 eine Merkmalsmenge und k {1, 2}. Dann gelten: (1) A (I 1 I 2 ) = A I 1 A I 2 (2) B (I 1 I 2 ) = B I 1 B I 2 (3) A (I 1 I 2 ) M k = A I k (4) A (I 1 I 2 )I k = A I k I k (5) A (I 1 I 2 )(I 1 I 2 ) = A I 1I 1 A I 2I 2 Beweis: (1) A (I 1 I 2 ) = g (I 1 I 2 ) = ( g I 1 g I 2 ) = g I 1 g I 2 = A I 1 A I 2 g A g A }{{} }{{} g A g A M 1 M 2 (2) B (I 1 I 2 ) = (I 1 I 2 )m = (I 1 m I 2 m) = I 1 m I 2 m = I 1 m m B m B m B m B m B M 1 I 2 m = B I 1 B I 2 m B M 2 (3) A (I 1 I 2 ) M k = ( A I 1 (1) }{{} }{{} A I2 ) M k = A Ik M 1 M 2 (4) A (I 1 I 2 )I k = I k m = I k m = m A (I 1 I 2 ) m A (I 1 I 2 ) M (3) k m A I k (5) A (I 1 I 2 )(I 1 I 2 ) = (2) A (I 1 I 2 )I 1 A (I 1 I 2 )I 2 = (4) A I 1I 1 A I 2I 2 I k m = A I k I k 11

15 1 Formale Begriffsanalyse Satz 1.21 Für jeden Begriff (A,B) BK 1 K 2 der Merkmals-Apposition der beiden Kontexte gilt für k {1,2} A I k = B M k und somit B M k IntK k. Beweis: Das folgt unmittelbar aus Lemma 1.20, denn A (I 1 I 2 ) = B und damit B M k = A (I 1 I 2 ) (3) M k = A I k. Satz 1.22 Die beiden Abbildungen und ε : BK 1 K 2 BK 1 BK 2 (A,B) ((A I 1I 1, A I 1 ),(A I 2I 2, A I 2 )) ι : BK 1 K 2 BK 1 BK 2 (A,B) ((B I 1,B I 1I 1 ),(B I 2,B I 2I 2 )) sind Ordnungseinbettungen, also ordnungserhaltend und injektiv. Zusätzlich ist ε supremumserhaltend und ι infimumserhaltend. Beweis: I. (injektiv) Sei ε(a 1,B 1 ) = ε(a 2,B 2 ), d.h. ((A I 1I 1 1, A I 1 1 ),(AI 2I 2 1, A I 2 1 )) = ((AI 1I 1 2, A I 1 2 ),(AI 2I 2 2, A I 2 2 )). Dann gilt A I 1 1 = AI 1 2 sowie AI 2 1 = AI 2 2 d.h. B 1 = B 2, also (A 1,B 1 ) = (A 2,B 2 ). II. (ordnungserhaltend) Sei (A 1,B 1 ) (A 2,B 2 ), d.h. A 1 A 2. Es folgt sofort A I 1 1 AI 1 2 sowie AI 2, und mit Lemma 1.20(1) folgt A I 1 I 2 1 = A I 1 I 2 2, 1 AI 2 2, und damit (A I 1I 1 1, A I 1 1 ) (AI 1I 1 2, A I 1 2 ) und (AI 2I 2 1, A I 2 1 ) (AI 2I 2 2, A I 2 2 ). 12

16 1.6 Formale Implikationen Demnach ist ((A I 1I 1 1, A I 1 1 ),(AI 2I 2 1, A I 2 1 )) ((AI 1I 1 2, A I 1 2 ),(AI 2I 2 2, A I 2 2 )), also ε(a 1,B 1 ) ε(a 2,B 2 ). III. (supremumserhaltend bzw. infimumserhaltend) Sei (A 1,B 1 ) (A 2,B 2 ) = (A,B). Es ist (A 1,B 1 ) (A 2,B 2 ) = ((B 1 B 2 ) (I 1 I 2 ),B 1 B 2 ), und damit A (I 1 I 2 ) = B = B 1 B 2 = A (I 1 I 2 ) 1 A (I 1 I 2 ) 2 = (A 1 A 2 ) (I 1 I 2 ). Mit Lemma 1.20(4) folgt für k {1,2} A I k I k = (A 1 A 2 ) I k I k, und weiter A I k = (A 1 A 2 ) I k. Nun haben wir ε(a 1,B 1 ) ε(a 2,B 2 ) = ((A I 1I 1 1, A I 1 1 ),(AI 2I 2 1, A I 2 1 )) ((AI 1I 1 2, A I 1 2 ),(AI 2I 2 2, A I 2 2 )) = ((A I 1I 1 1, A I 1 1 ) (AI 1I 1 2, A I 1 2 ),(AI 2I 2 1, A I 2 1 ) (AI 2I 2 2, A I 2 2 )) = (((A I 1 1 AI 1 2 )I 1, A I 1 1 AI 1 2 ),((AI 2 1 AI 2 2 )I 2, A I 2 1 AI 2 2 )) = (((A 1 A 2 ) I 1I 1,(A 1 A 2 ) I 1 ),((A 1 A 2 ) I 2I 2,(A 1 A 2 ) I 2 )) = ((A I 1I 1, A I 1 ),(A I 2I 2, A I 2 ) = ε(a,b) Für ι dual. Zusammenfassung 1.23 Der Begriffsverband der Merkmals-Apposition BK 1 K 2 ist isomorph zu einem Supremumsunterhalbverband und zu einem Infimumsunterhalbverband des direkten Produkts BK 1 BK 2 der einzelnen Begriffsverbände. 1.6 Formale Implikationen Definition 1.24 (formale Implikation) Sei K = (G, M, I ) ein formaler Kontext und B, D M Merkmalsmengen. Ein 13

17 1 Formale Begriffsanalyse Paar (B,D) nennt man formale Implikation in K bzw. auf M und schreibt auch B D, falls jeder Gegenstand, der alle Merkmale aus B hat, auch alle Merkmale aus D hat, also falls B I D I. Wir sagen dann auch B impliziert D und bezeichnen B als die Prämisse und D als die Konklusion der formalen Implikation. Korollar 1.25 (1) Für eine Merkmalsmenge B M ergeben sich sogleich die trivialen formalen Implikationen B und B B. (2) ist eine Ordnungsrelation auf M, also reflexiv, transitiv und antisymmetrisch. Gilt also B D, so gilt auch für jede Teilmenge F D die formale Implikation B F. Definition 1.26 (Respektieren) Wir sagen, dass eine Merkmalsmenge F M die formale Implikation B D respektiert, falls B F = D F gilt. Wir setzen H B D := {F M F respektiert B D}. Sei weiter L 2 M 2 M eine Liste formaler Implikationen auf M. Wir sagen nun, dass eine Merkmalsmenge F M die Liste L respektiert, falls F jede Implikation in L respektiert. Wir definieren H L := {F M F respektiert L } und nennen sie die Menge der unter L möglichen Merkmalskombinationen. Bemerkung: (1) Eine Merkmalsmenge F M respektiert eine Implikation B D genau dann, wenn B F D F gilt. 14

18 1.6 Formale Implikationen (2) Es ist H L = H B D. B D L Satz 1.27 Sei L 2 M 2 M eine Liste formaler Implikationen auf M, dann gilt: (1) H L ist ein Hüllensystem auf M. (2) Hat jede formale Implikation aus L eine ein-elementige Prämisse, so ist H L auch ein Kernsystem auf M. Beweis: (1) Es ist M H L, denn trivialerweise gilt für alle B D stets D M. Sei nun M H L, d.h. F M B D L : (B F = D F ). Es folgt und damit B D L : (B M = F M : D F B D L : (B M = D M, also ist M H L. (2) Seien nun alle Implikationen in L von der Form {b} D. Dann ist H L, denn trivialerweise gilt für alle {b} D stets {b}. Sei nun M H L, d.h. F M {b} D L : (b F = D F ). Es folgt und damit {b} D L : (b M = F M : D F {b} D L : (b M = D M, also ist M H L. Definition 1.28 (Pseudoinhalt) Sei K = (G, M, I ) ein formaler Kontext. Eine Menge B M von Merkmalen heißt Pseudoinhalt, wenn B B I I und für jeden Pseudoinhalt D B gilt 15

19 1 Formale Begriffsanalyse D I I B. Satz 1.29 (Stammbasis) Die Menge {B B I I B ist Pseudoinhalt} ist ein minimales Erzeugendensystem der formalen Implikationen und heißt Stammbasis. Satz 1.30 Die Menge aller Inhalte und Pseudoinhalte {B M X B = X I I B} ist ein Hüllensystem. 16

20 2 Annotationen Sei K = (G, M, I ) ein formaler Kontext mit G M =. Betrachten wir die beiden Abbildungen und γ K : G BK g γ K g = (g I I, g I ) µ K : M BK m µ K m = (m I,m I I ) aus Definition BK ist mit der Unterbegriffsrelation K eine geordnete Menge und nach Bemerkung?? lassen sich mit γ K und µ K Quasiordnungen G bzw. M auf G bzw. M definieren: g G h : γ K g K γ K h m M n : µ K m K µ K n. Nun konstruieren wir eine Quasiordnung K auf P := G M, die G und M enthält. Um einen Gegenstand g mit einem Merkmal m in Relation zu setzen, liegt es nahe, die bereits vorhandene Inzidenzrelation I zu verwenden, d.h. g K m : g Im. Es gilt und damit haben wir g Im g m I g I I m I γ K g K µ K m g K m : γ K g K µ K m. 17

21 2 Annotationen Schließlich setzen wir in voller Analogie zum bisherigen nun Mit der Abbildung m K g : µ K m K γ K g. β K : G M BK { γk x (x G) x µ K x (x M), lassen sich die vier Definitionszeilen für K zu einer einzigen zusammenfassen: x K y : β K x K β K y. Satz 2.1 (Galoisquasiordnung) Das Quadrupel (P, K,G, M) ist eine Galoisquasiordnung und wird als Galoisquasiordnung zu K bezeichnet. Beweis: I. Die Reflexivität und Transitivität von K folgen unmittelbar aus der Reflexivität und Transitivität der Begriffsordnung K. II. Seien g,h G, dann gilt III. Seien m,n M, dann gilt g K h γ K g K γ K h g I h I m M : (him = g Im) m M : (h K m = g K m) m K n µ K m K µ K n m I n I g G : (g Im = g In) g G : (g K m = g K n) 18

22 2.1 Grundlagen IV. Seien m M, g G, dann gilt m K g µ K m K γ K g m I g I I h G : (him = n M : (g In = hin) ) } {{ } g I h I γ K h K γ K g h G : (h K m = h K g ) Sei T := β K P = γ K G µ K M mit T := K T T, dann ist (T, T,γ K G,µ K M) isomorph zu (P, K,G, M). Sei (T, ) eine geordnete Menge und γ : G T, µ : M T Abbildungen. Dann ist I := {(g,m) γg µm} eine Relation auf G M, also ist K = (G, M, I ) ein Kontext, zu dem wir BK betrachten können. Wann gilt γ = γ K und µ = µ K? Wann ist (T,, γg, µm) eine Galoisordnung? wichtiger Spezialfall: M = T,γ = id T Indizierung mit R G T zb T Prozesse, hierarchisch geordnet durch xi q : p q : xrp, d.h. I = R; Es wäre (µ (G,T,I ) T, (G,T,I ) ) = (T, ) wünschenswert, im Allgemeinen ist jedoch (µ (G,T,I ) T, (G,T,I ) ) die Korrektur von (T, ). 2.1 Grundlagen Definition 2.2 ((Quasi-)Annotation) Sei A eine Menge, deren Elemente Annotierungen heißen, und sei P eine (quasi-)geordnete Menge, deren Elemente Punkte heißen. Für eine Annota- 19

23 2 Annotationen tionsrelation R A P heißt das Tripel (A,P,R) (Quasi-)Annotation von A an P über R. Bemerkung: Es besteht eine Isomorphie zwischen (2 P ) A und 2 A P. Ist F (2 P ) A eine Abbildung, dann ist R F := {(a, p) p Fa} 2 A P eine entsprechende Relation. Umgekehrt erhält man für eine Relation R 2 A P mit F R : A 2 P : a ar eine Abbildung. Damit lassen sich also die eben definierten relationalen Annotationen auch als funktionale Annotationen auffassen und umgekehrt. Definition 2.3 (vollständig) Eine Annotation A = (A,(P, ),R) heißt vollständig, falls jeder Punkt von allen Annotierungen der Punkte, die bezüglich kleiner sind, annotiert wird, d.h. falls R; = R gilt. Definition 2.4 (elementar) Eine Annotation A = (A,(P, ), R) heißt elementar, falls jede Annotierung höchstens einen Punkt annotiert, d.h. falls für alle Annotierungen a A die Punktenebenklasse ar höchstens einen Punkt enthält. Beispiel: Gegeben sei die Quasiordnung auf den Punkten P = {p 1,..., p 6 }, dargestellt durch folgendes Hassediagram: p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 Nun haben wir die Annotierungsmenge A = {a 1,..., a 4 }, dann ist R = {(a 1, p 4 ),(a 1, p 5 ),(a 2, p 4 ),(a 2, p 6 ),(a 3, p 5 ),(a 4, p 3 )} eine Annotationsrelation. Intuitiv können wir nun die Annotation (A,(P, ), R) dadurch darstellen, dass wir jeden Punkt p P jeweils mit den Annotierungen a A mit arp beschriften. Wir legen fest, dass die Punkt-Symbole oben und die Annotierungen unten stehen. 20

24 p 1 p 2 p 3 a 1 a p 4 4 p 5 p 6 a 1, a 2 a 1, a 3 a Vervollständigung und Kern Diese Annotation ist nicht vollständig, denn es gilt a 2 Rp 6 p 3, aber nicht a 2 Rp 3. Die Annotation ist auch nicht elementar, denn die Annotierung a 1 annotiert die Punkte p 4 und p 5, also mehr als einen Punkt. Das folgende Diagramm stellt eine elementare Annotation dar: p 1 p 2 p p 3 a 4 4 p 5 p 6 a 1 a 3 a Vervollständigung und Kern Definition 2.5 (Vervollständigung, Kern) Für eine Annotation A = (A,(P, ),R) heißt die Vervollständigung von A. Ǎ := (A,(P, ),R; )  := (A,(P, ), {S R S; = R; }) heißt der Kern von A und ist diejenige Annotation, deren Annotationsrelation bezüglich der Teilmengeninklusion die kleinste ist mit der Eigenschaft, dass die Vervollständigungen von A und  übereinstimmen. Bemerkung: Für eine vollständige Annotation A gilt Ǎ = A. Beispiel: Betrachten wir die Annotation aus dem vorhergehenden Beispiel. Die Bildung des Kern reduziert die Annotation auf das nötigste, und im Gegensatz dazu werden bei der Vervollständigung die Annotierungen nach oben 21

25 2 Annotationen vererbt, die Annotierungen werden also vollständig an alle entsprechenden Punkte annotiert. p 1 p 2 p 3 a 1 a p 4 4 p 5 p 6 a 1, a 2 a 1, a 3 a 2 Kern Vervollständigung p 1 p 2 p p 3 a 4 4 p 5 p 6 a 1, a 2 a 1, a 3 a 2 Vervollständigung Kern p 1 a 1, a 2, a 3, a 4 p 2 p 3 a 1, a 2, a 3 a 1, a 2, p a 3, a 4 4 p 5 p 6 a 1, a 2 a 1, a 3 a 2 Satz 2.6 Sei A = (A,(P, ),R) eine Annotation. Die Abbildung ist ein Hüllenoperator auf A P. R R; Beweis: I. (Extensität) R R;, denn P. II. (Monotonie) R 1 R 2 = R 1 ; R 2 ;, denn R 2 ; = (R 1 (R 2 \ R 1 )); = (R 1 ; ) ((R 2 \ R 1 ); ) III. (Idempotenz) (R; ); = R;, denn ; ist assoziativ und ; =. 22

26 2.3 Anpassung und Adjustierung 2.3 Anpassung und Adjustierung Für eine Annotation A = (A,(P, ),R) ist K A := (A,P,R; ) der zugehörige formale Kontext. Der Begriffsverband BA := BK A mit BA = (BA, A ) wird Darstellung von A genannt. Definition 2.7 ((quasi-)konsistent) Eine Annotation A = (A,(P, ), R) heißt quasikonsistent, falls µ A : (P, ) BA p (p R;, p R; R; ) eine ordnungsreflektierende Abbildung von (P, ) in BA ist. Weiter heißt A konsistent, falls µ A auch injektiv ist. Korollar 2.8 Insbesondere ist eine Annotation A = (A,(P, ), R) genau dann quasikonsistent, falls p 1 p 2 (R; )p 1 (R; )p 2 für alle p 1, p 2 P gilt. Dabei ist die Implikation (= ) eine Tautologie. Definition 2.9 (separierend) Eine Annotation A = (A,(P, ),R) heißt separierend, falls für alle p 1, p 2 P die Implikation p 1 p 2 = a A : arp 1 a Rp 2 gültig ist. Bemerkung: Mit der Kontraposition folgt, dass eine Annotation A = (A,(P, ),R) genau dann separierend ist, wenn für alle p 1, p 2 P gilt. ( a A : (arp 1 = arp 2 )) = p 1 p 2 23

27 2 Annotationen Satz 2.10 Sei A eine Annotation. Dann gilt: A quasikonsistent Ǎ separierend. Beweis: I. (= ) Sei A quasikonsistent, d.h. für alle p 1, p 2 P gilt Daraus folgt insbesondere p 1 p 2 (R; )p 1 (R; )p 2. und mit p 1 p 2 = (R; )p 1 (R; )p 2 (R; )p 1 (R; )p 2 a A : a(r; )p 1 a(r; )p 2 ist Ǎ separierend. II. ( =) Sei nun Ǎ separierend, dann gilt für alle p 1, p 2 P p 1 p 2 = (R; )p 1 (R; )p 2. Trivialerweise gilt hier auch die umgekehrte Implikation (siehe Korollar 2.8), also ist A quasikonsistent. Korollar 2.11 Für eine vollständige Annotation A gilt A quasikonsistent A separierend. Definition 2.12 ((Quasi-/Voll-)Anpassung) Sei A = (A,P,R) = (A,(P, ),R) eine Quasiannotation. Wir setzen P := µ A ; A ;µ 1 A und P := (P, P ), dann heißt Ā = (A, P,R) 24

28 2.3 Anpassung und Adjustierung Quasianpassung von A. Weiter setzen wir P := kerµ A und P := P / P, P := (P/ P, P ) und R := {(x,y ) x RY }, und nun heißt à = (A, P, R) Anpassung von A. Sei schließlich noch A := {(a 1, a 2 ) a 1 (R; ) = a 2 (R; )} und à := A/ A, R = {(X,Y ) X (R; )Y }, so heißt dann à = (Ã, P, R) Vollanpassung von A. Beispiel: Betrachten wir die Annotation A aus den vorangegangen Beispielen, nur leicht abgeändert -- die Annotierung a 1 wechselt vom Punkt p 5 zum Punkt p 6. p 1 p 2 p 3 a 1 a p 4 4 p 5 p 6 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 Für die Relation R; ergibt sich folgende Kreuztabelle: R; p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 a 1 a 2 a 3 a 4 Damit haben wir folgende Anpassungen: p 1 p 3 {p 1, p 3 } a 4 a p 4 2 {p a p p p 5 2 } a 1 {p 4, p 6 } {p 5 } a 1, a 2 a 1, a 2 a 3 a 1, a 2 a 3 {p 1, p 3 } {a 1, a 2 },{a 3 },{a 4 } {p 2 } {p {a 1, a 2 },{a 3 } 4, p 6 } {p 5 } {a 1, a 2 } {a 3 } Quasianpassung Ā Anpassung à Vollanpassung à 25

29 2 Annotationen Wie wir sehen, werden im Schritt von der Quasianpassung zur Anpassung die Punkte mit identischen Spalten in der Kreuztabelle zusammengefasst -- also {p 1, p 3 },{p 2 },{p 4, p 6 },{p 5 }. Analog werden dann im Schritt zur Vollanpassung die Annotierungen mit identischen Zeilen zusammengefasst, d.h. {a 1, a 2 },{a 3 }, {a 4 }. Die Vollanpassung einer Annotation ist also sehr ähnlich zum Bereinigen eines Kontextes. Korollar 2.13 Für zwei Elemente p 1, p 2 P gilt p 1 P p 2 µ A p 1 A µ A p 2 (R; )p 1 (R; )p 2. Es gilt daher stets P. Die Vollanpassung einer Annotation ist nach Konstruktion vollständig. Satz 2.14 Für eine beliebige Annotation A = (A,(P, ),R) gilt A quasikonsistent = P. Beweis: Die Hinrichtung (= ) folgt sofort aus den Korollaren 2.8 und Ebenso einfach folgt die Rückrichtung ( =). Korollar 2.15 Für eine Annotation A ist die Quasianpassung Ā quasikonsistent. Ist A bereits quasikonsistent, so gilt Ā = A. Definition 2.16 ((Quasi-)Adjustierung) Sei A = (A,(P, ),R) eine Annotation und Ā bzw. Ã die zugehörige (Quasi- )Anpassung. Dann heißt adj A P := P die Quasiadjustierung von P bezüglich A und Adj A P := P heißt Adjustierung von P bezüglich A. 26

30 2.3 Anpassung und Adjustierung Satz 2.17 Sei A = (A,(P, ),R) eine Annotation. Die Abbildung ist ein Hüllenoperator auf P P. P Beweis: I. (Extensität) P, siehe Korollar II. (Monotonie) 1 2 = 1 P 2 P, denn wäre im modus ponens P 2 P, dann existierte ein Paar (p 1, p 2 ) 1 P \ 2 P, was aber im Widerspruch zur Konklusion der Implikationskette p 1 1 p 2 = p 1 2 I. p 2 = p 1 1 P p 2 stünde. III. (Idempotenz) ( P ) P = P, dies folgt aus Satz 2.14, denn Ā ist stets quasikonsistent. Korollar 2.18 Für die (Quasi-)Adjustierungen gelten folgende Beziehungen: (1) adj A P = P A quasikonsistent adj A P = adj A adj A P (2) Adj A P = P A konsistent Adj A P = Adj A Adj A P Definition 2.19 ((voll-)angepasst) Eine Annotation A = (A,(P, ),R) heißt angepasst, falls P = P ist. Weiter heißt A vollangepasst, falls zusätzlich gilt und A vollständig ist. A = A 27

31 2 Annotationen Bemerkung: Insbesondere ist für eine Annotation A die Anpassung à stets angepasst und die Vollanpassung à vollangepasst. Satz 2.20 Sei A eine Annotation. Dann gilt: A konsistent A angepasst. Beweis: I. (= ) Sei p 1 P p 2, also (R; )p 1 = (R; )p 2. Mit der Injektivität folgt sogleich p 1 = p 2 und damit ist A angepasst. II. ( =) Sei p 1 p 2. Es folgt p 1 P p 2 und damit (R; )p 1 (R; )p 2. Also ist µ A injektiv. Sei nun p 1 p 2. Nun existiert eine Annotierung a A mit a(r; )p 1 a(r; )p 2, d.h. (R; )p 1 (R; )p 2. Demnach ist µ A auch ordnungsreflektierend und schließlich ist A konsistent. Korollar 2.21 Die Anpassung à einer Annotation A ist konsistent. 28

32 2.4 Annotationen und Kontexte 2.4 Annotationen und Kontexte Satz 2.22 (Hauptsatz über Annotationen und formale Kontexte) (1) Für eine Annotation A = (A,(P, ),R) ist K A := (A,P,R; ) der zugehörige formale Kontext. Wenn A angepasst ist, so ist K A merkmalsbereinigt. Ist A vollangepasst, dann ist K A bereinigt. (2) Für einen formalen Kontext K = (G, M, I ) ist A[K] := (G,(M, M ), I ) die zugehörige Annotation. Insbesondere ist A[K] vollständig und separierend, also auch quasikonsistent. Wenn K merkmalsbereinigt ist, dann ist A[K] angepasst bzw. konsistent. Falls K gegenstandsbereinigt ist, so ist A[K] vollangepasst. (3) Es gilt für einen beliebigen formalen Kontext K K A[K] = K. Für vollständige quasikonsistente Annotationen A gilt A[K A ] = A. Für quasikonsistente Annotationen erzeugt A[K A ] die Vervollständigung von A, also A[K A ] = Ǎ. Im Allgemeinen ist für eine beliebige Annotation A A[K A ] = ˇĀ = Ǎ die Vervollständigung der Quasianpassung von A bzw. die Quasianpassung der Vervollständigung von A. Beweis: (1) Sei A angepasst und seien p 1, p 2 P mit (R; )p 1 = (R; )p 2. Damit ist p 1 P p 2 und so folgt p 1 = p 2. Sei nun A vollangepasst und seien a 1, a 2 A mit a 1 (R; ) = a 2 (R; ). Es folgt sofort a 1 = a 2. 29

33 2 Annotationen (2) Wir zeigen, dass A[K] vollständig ist, also dass I ; M = I gilt: I ; M = {(g,m) n M : g In M m} = {(g,m) g Im} = I Weiter muss noch gezeigt werden, dass A[K] separierend ist. Seien dazu m,n M mit m M n. Es gilt m M n m I n I m I \ n I, und damit existiert ein g m I \ n I mit g Im und g In. Die Zusammenhänge zwischen (merkmals-)bereinigten Kontexten und (voll- )angepassten Annotationen lassen sich ebenso einfach wie unter I. zeigen. (3) Sei K = (G, M, I ) ein formaler Kontext, dann gilt K A[K] = K (G,(M, M ),I ) = (G, M, I ; M ) (2) = (G, M, I ) = K. Sei A = (A,(P, ),R) eine quasikonsistente Annotation, also gilt P =. Damit ist A[K A ] = A[(A,P,R; )] = (A,(P, P ),R; ) = (A,(P, ),R; ) = Ǎ, d.h. A[K A ] ist die Vervollständigung von A. Ist A bereits vollständig, dann gilt R; = R und damit A[K A ] = (A,(P, ),R; ) = (A,(P, ),R) = A. 2.5 Isomorphie und Äquivalenz Definition 2.23 (Annotationenabbildung/-einbettung/-isomorphismus) Seien A 1 = (A 1,P 1,R 1 ) und A 2 = (A 2,P 2,R 2 ) Annotationen. Weiter sei ϕ : A 1 A 2 eine Abbildung mit ϕ = (ϕ A,ϕ P ) und entsprechend ϕ A : A 1 A 2 sowie ϕ P : P 1 P 2. Falls nun ϕ 1 A ;R 1;ϕ P R 2 30

34 2.5 Isomorphie und Äquivalenz gilt, so heißt ϕ Annotationenabbildung von A 1 nach A 2. Falls ϕ A und ϕ P injektiv sind und ϕ P ordnungserhaltend ist, so heißt ϕ Annotationeneinbettung und entsprechend nennen wir ϕ Annotationenisomorphismus, falls ϕ A und ϕ P bijektiv sind und ϕ P ordnungsreflektierend ist. Korollar 2.24 Sei ϕ eine Annotationenabbildung, dann gilt für alle Annotierungen a A 1 und alle Punkte p P 1 ar 1 p = ϕ A ar 2 ϕ P p, ϕ P (ar 1 ) (ϕ A a)r 2. Falls ϕ sogar eine Annotationenisomorphismus ist, so gelten für alle a A 1 und p P 1 ar 1 p ϕ A ar 2 ϕ P p, ϕ P (ar 1 ) = (ϕ A a)r 2, also ϕ 1 A ;R 1;ϕ P = R 2. Beispiel: Speziell betrachten wir nun für eine Annotation A = (A,(P, ), R) die Abbildungen ϕ = (id A,nat P ) : A Ã, ϕ = (nat A,nat P ) : A Ã. Nach vorangegangenen Erkenntnissen gilt nun, dass ϕ genau dann ein Annotationenisomorphismus ist, falls A angepasst bzw. konsistent ist und entsprechend dass ϕ genau dann ein Annotationenisomorphismus ist, falls A vollangepasst ist. Definition 2.25 (äquivalent) Seien A 1 = (A 1,P 1,R 1 ) und A 2 = (A 2,P 2,R 2 ) Annotationen. Wir nennen A 1 und A 2 äquivalent, falls eine bijektive Abbildung ψ P : P 1 P 2 existiert mit P1 = ψ P ; P2 ;ψ 1 P und schreiben dann auch A 1 A 2. 31

35 2 Annotationen Korollar 2.26 Es gilt A 1 A 2 adj A1 P 1 = adja2 P 2. Satz 2.27 Seien zwei quasikonsistente Annotationen A 1 und A 2 gegeben. Falls nun ein Annotationenisomorphismus von A 1 nach A 2 existiert, dann sind A 1 und A 2 äquivalent. Falls umgekehrt A 1 und A 2 äquivalent und zusätzlich vollangepasst sind, dann existiert ein Annotationenisomorphismus von A 1 nach A 2. Beweis: I. Sei ϕ = (ϕ A,ϕ P ) ein Annotationenisomorphismus von A 1 nach A 2. Dann ist ϕ P : P 1 P 2 bijektiv und es gilt ϕ P ; P2 ;ϕ 1 P = ϕ P ; 2 ;ϕ 1 P = 1 = P1, denn ϕ P ist ordnungsreflektierend und A 1 und A 2 sind quasikonsistent. Demnach sind also A 1 und A 2 äquivalent. II. Sei ψ P : P 1 P 2 eine bijektive Abbildung mit P1 = ψ P ; P2 ;ψ 1 P. Mit der Quasikonsistenz folgt sofort 1 = ψ P ; 2 ;ψ 1 P und damit ist ψ P ordnungsreflektierend. Weiter setzen wir ψ A : A 1 A 2 a ar 1 p R 2 (ψ P p) 2.6 Dedekind-MacNeille-Vervollständigung Satz 2.28 Sei A = (A, P, R) eine elementare Annotation an einen vollständigen Verband P. Dann ist ϕ A : BA P (X,Y ) P Y eine Ordnungseinbettung von BA in P, d.h. injektiv und ordnungserhaltend. 32

36 2.6 Dedekind-MacNeille-Vervollständigung Beweis: Satz 2.29 Sei A = (A, P, R) eine elementare Annotation an einen vollständigen Verband P. Dann ist A A = (BA,P,ϕ A,µ A ) eine Adjunktion. Insbesondere ist ϕ A eine -erhaltende injektive Abbildung von BA nach P und µ A ist eine -erhaltende surjektive Abbildung von P nach BA, also BA = Adj A P. Beweis: Satz 2.30 (Dedekind-MacNeille-Vervollständigung) Sei P = (P, P ) eine geordnete Menge. Dann ist BP := B(P,P, P ) ein vollständiger Verband, in den P vermöge der Abbildung ε P : P BP p (p P, p P ) ordnungsreflektierend eingebettet ist. Dabei sei p P := {x P x P p} und p P := {x P x P p}. Schließlich heißt BP auch Dedekind-MacNeille-Vervollständigung von P. Beweis: Satz 2.31 Sei A = (A,P,R) eine elementare Annotation an eine geordnete Menge P. Dann ist ϕ : BA BP (X,Y ) (Y P,Y ) eine -erhaltende Einbettung von BA in BP. 33

37 2 Annotationen Beweis: Satz 2.32 Sei P eine geordnete Menge. Dann stehen die Annotationen an P bis auf Äquivalenz in eineindeutiger Beziehung zu den Hüllensystemen im Filterverband FP von P. Beweis: 34

38 Index Ableitungsoperatoren, 2 Ableitungsregeln, 3, 4 Adjustierung, 26 Quasi-, 26 angepasst, 27 voll-, 27 Annotation, 20 Darstellung, 23 Annotationenabbildung, 31 Annotationeneinbettung, 31 Annotationenisomorphismus, 31 Annotationsrelation, 20 Annotierung, 19 Anpassung, 25 Quasi-, 25 Voll-, 25 Apposition Merkmals-, 11 Begriffsverband, 8 bereinigt, 5 gegenstands-, 5 merkmals-, 5 Dedekind-MacNeille-Vervollständigung, 33 Einbettung Annotationen-, 31 elementar, 20 Extensitivität, 5 formale Implikation, 13 formaler Begriff, 6 größter, 8 kleinster, 8 formaler Kontext, 1 Galoisquasiordnung, 18 Gegenstands-Nebenklasse, 2 Gegenstandsbegriff, 7 gegenstandsbereinigt, 5 größter formaler Begriff, 8 größter gemeinsamer Unterbegriff, 10 Hüllenoperator, 5 Idempotenz, 5 Infimum, 10 Infimumsoperator, 9 Inhalt, 6 Inhaltsverband, 8 Inzidenzrelation, 1 Isomorphismus Annotationen-, 31 Kern, 21 kleinster formaler Begriff, 8 kleinster gemeinsamer Oberbegriff, 10 Konklusion, 13 konsistent, 23 quasi-, 23 Kreuztabelle, 1 Merkmals-Apposition, 11 35

39 Index Merkmals-Nebenklasse, 2 Merkmalsbegriff, 7 merkmalsbereinigt, 5 Monotonie, 5 Nebenklasse Gegenstands-, 2 Merkmals-, 2 Oberbegriff, 8 kleinster gemeinsamer, 10 Operator Ableitungs-, 2 Hüllen-, 5 Infimums-, 9 Supremums-, 9 Unterbegriffsrelation, 8 Verband Begriffs-, 8 Inhalts-, 8 Umfangs-, 8 Vervollständigung, 21 Dedekind-MacNeille-, 33 vollangepasst, 27 Vollanpassung, 25 vollständig, 20 Prämisse, 13 Pseudoinhalt, 15 Punkt, 19 Quasiadjustierung, 26 Quasiannotation, 20 Quasianpassung, 25 quasikonsistent, 23 Quasiordnung Galois-, 18 Relation Inzidenz-, 1 Unterbegriffs-, 8 Respektieren, 14 separierend, 23 Stammbasis, 16 Supremum, 10 Supremumsoperator, 9 Umfang, 6 Umfangsverband, 8 Unterbegriff, 8 größter gemeinsamer, 10 36