Grundbegriffe der Modultheorie

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1 Grundbegriffe der Modultheorie Seminar Kommutative Algebra und Varietäten, Vortrag 2 Prof. Dr. K. Wingberg, Dr. J. Gärtner Dennis Petersen-Endrulat 24. April 2014

2 1 Moduln Im Folgenden bezeichne A stets einen kommutativen Ring. Definition 1.1. i) Ein Paar (M,µ) einer abelschen Gruppe M und einer skalaren Multiplikation µ : A M M heißt A-Modul, falls folgende Axiome (mit der Notation ax := µ(a, x) a A, x M) erfüllt werden: a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx, (ab)x = a(bx), 1x = x a, b A, x, y M ii) Seien M und N zwei A-Moduln. Eine Abbildung f : M N heißt A-Modulhomomorphismus, falls gilt: f(x + y) = f(x) + f(y), f(ax) = af(x) a A, x, y M Bemerkung 1.2. i) Die Komposition von A-Modulhomomorphismen ist wieder ein A-Modulhomomorphismus. ii) Durch die Verknüpfungen (f + g)(x) := f(x) + g(x), (af)(x) := a f(x) (x M) wird die Menge aller A-Modulhomomorphismen von M nach N zu einem A-Modul. Dieser wird mit Hom A (M, N) bezeichnet. iii) Durch Homomorphismen u : M M, v : N N werden A-Modulhomomorphismen u : Hom(M, N) Hom(M, N), f f u und v : Hom(M, N) Hom(M, N ), f v f induziert. iv) Es gibt einen kanonischen Isomorphismus Hom(A, M) = M für jeden A-Modul M. Jedes f Hom(A, M) wird dabei eindeutig durch f(1) beschrieben, denn nach Definition gilt: f(a) = f(a 1) = a f(1) a R Definition 1.3. i) Eine Untergruppe N eines Moduls M, die unter skalarer Multiplikation abgeschlossen ist, heißt Untermodul von M. ii) Die abelsche Gruppe M/N wird durch die Verknüpfung a(x + N) := ax + N ein A-Modul und wird als Quotientenmodul bezeichnet. Die kanonische Abbildung M M/N, x x+n ist ein surjektiver A-Modulhomomorphismus. Des Weiteren gibt es (analog zu Idealen) eine ordnungserhaltende Bijektion zwischen der Menge der Untermoduln von M die N enthalten und der Menge der Untermoduln von M/N, denn: φ bezeichne obige kanonische Abbildung, N M M, N M/N seien Untermoduln. Dann sind φ(m ) M/N und φ 1 (N ) M durch die Linearität von φ Untermoduln und da 0 N, gilt auch N φ 1 (N ). Die gesuchte Abbildung ist somit bereits wohldefiniert und surjektiv. Sei nun N M M ein Untermodul mit φ(m ) = φ(m ) und m M. Dann gibt es ein m M mit φ(m) = φ(m ). Setze n := m m Ker(φ) = N M, dann gilt m = n + m M, also M M. Analog folgt M M. Es gilt somit auch Injektivität. 1

3 iii) Sei f : M N ein A-Modulhomomorphismus. Dann sind der Kern Ker(f) := {x M f(x) = 0} und das Bild Im(f) := f(m) von f Untermoduln von M bzw. N. Der Quotientenmodul Coker(f) := N/Im(f) wird als Kokern bezeichnet. Satz 1.4. Sei M M ein Untermodul mit M Ker(f), f Hom(M, N). Dann induziert f einen Homomorphismus f : M/M N durch f(x) := f(x),wobei x M/M die Restklasse von x M bezeichne. Es gilt dann Ker(f) = Ker(f)/M. Insbesondere folgt mit M = Ker(f) der A-Modulisomorphismus: M/Ker(f) = Im(f) Beweis: Die Linearität von f wird von f vererbt und f ist wohldefiniert, da M Ker(f), denn sei y M ein weiteres Element der Restklasse x, so gibt es ein m M mit y = x + m, also f(y) = f(x + m) = f(x) + f(m) = f(x). Die restlichen Aussagen sind klar. Bemerkung 1.5. Sei (M i ) i I eine Familie von Untermoduln von M. Dann ist deren Summe i I M i := { i I x i x i M i i I, fast alle x i = 0} der kleinste Untermodul von M, das alle M i enthält. Weiterhin ist der Schnitt i I M i ein Untermodul von M. Satz 1.6. i) Seien L M N A-Moduln, dann gilt der Isomorphismus: (L/N)/(M/N) = L/M ii) Seien M 1, M 2 Untermoduln von M,dann gilt der Isomorphismus: Beweis: (M 1 + M 2 )/M 1 = M2 /(M 1 M 2 ) i) Betrachte die Abbildung L/N L/M, x + N x + M. Dies ist ein surjektiver und wohldefinierter A-Modulhomomorphismus (da N M) mit Kern M/N. Mit (1.4) folgt somit die Behauptung. ii) Betrachte den komponierten Homomorphismus M 2 M 1 + M 2 (M 1 + M 2 )/M 1 mit Kern M 1 M 2. Dieser ist surjektiv (da (m 1 + m 2 ) + M 1 = M 1 + m 2 das Bild von m 2 M 2 ist), somit folgt mit (1.4) die Behauptung. Definition 1.7. i) Der Untermodul aller endlichen Summen a i x i, a i a, x i M heißt Produkt eines Ideals a und eines Moduls M. ii) Für zwei Untermoduln N, P M definiert man (N:P) als die Menge aller a A mit ap N. Dies ist ein Ideal von A. Das Ideal (0 : M) = {a A am = 0} heißt Annulator und wird mit Ann(M) bezeichnet. Für ein Ideal a Ann(M) lässt sich M als ein A/a-Modul auffassen durch xm := xm m M, wobei x A ein Repräsentant von x A/a sei. Da am = 0 a a ist diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten. 2

4 iii) Ein A-Modul sei treu, falls Ann(M) = 0. Somit ist ein Modul mit Ann(M) = a stets treu als A/a-Modul. Bemerkung 1.8. i) Für Untermoduln N, P M gilt: (N:P)=Ann((N+P)/N), denn: : klar : Sei a Ann((N +P )/N), (n+p) (N +P ), dann gilt: a(n+p) = an+ap N ap N a (N : P ) ii) Für zwei A-Moduln M,N gilt: Ann(M + N) = Ann(M) Ann(N), denn: : folgt aus M, N M + N : folgt aus Distributivität des A-Moduls M+N Definition 1.9. Sei x M, dann wird die Menge aller Vielfachen ax (a A) zu einem Untermodul und wird mit Ax oder (x) bezeichnet. Falls M = Ax i, so wird M von der Menge der x i erzeugt, d.h. jedes m M lässt sich als endliche (aber nicht zwingend eindeutige) Linearkombination der x i schreiben. Falls ein endliches Erzeugendensystem existiert, so wird M als endlich erzeugt bezeichnet. Definition Für zwei A-Moduln M,N sei ihre direkte Summe M N die Menge aller Paare (x,y) mit x M, y N. Diese wird durch komponentenweise Addition und skalare Multiplikation zu einem A-Modul. Dieser Begriff lässt sich auf eine Familie von A-Moduln (M i ) i I verallgemeinern: i I M i := {(x i ) i I x i M i i I, fast alle x i = 0} Das direkte Produkt sei definiert durch i I M i := {(x i ) i I x i M i i I}. Bemerkung i) Für eine endliche Indexmenge I stimmen direkte Summe und direktes Produkt überein. ii) Sei A ein direktes Produkt von Ringen n i=1 A i (s. Vortrag 1). Die Menge a i := {(0,..., 0, a i, 0,..., 0) a i A i } bildet dann ein Ideal von A (da das neutrale Element fehlt, ist es kein Unterring). Somit ist A (als A-Modul aufgefasst) die direkte Summe der Ideale a i. Sei A = a 1... a n eine direkte Summe von Idealen, dann gilt A = n i=1 (A/b i) mit b := j i a j. Dabei ist jedes Ideal a i ein zu A/b i isomorpher Ring mit a i = (e i ), wobei e i das neutrale Element von a i bezeichne. Definition Als freier Modul wird ein A-Modul der Form i I M i bezeichnet, wobei M i = A i I (A als A-Modul aufgefasst). Ein endlich erzeugter freier A-Modul ist somit isomorph zu A n := n i=1 A (per Konvention sei A0 das 0-Modul). Satz M ist ein endlich erzeugter A-Modul M ist isomorph zu einem Quotientenmodul von A n für ein n > 0 Beweis: : Sei x 1,..., x n ein Erzeugendensystem von M. Die Abbildung φ : A n M, (a 1,..., a n ) a 1 x a n x n ist dann ein surjektiver A-Modulhomomorphismus, also M = A n /Ker(φ). : Sei M isomorph zu einem Quotientenmodul N von An. Dann existiert ein surjektiver A-Modulhomomorphismus φ : A n N M. Mit e i := (0,..., 0, 1, 0,..., 0) (1 an i-ter Stelle) erzeugen die e i A n und somit erzeugen die φ(e i ) M. 3

5 Satz Sei M ein endlich erzeugter A-Modul, a ein Ideal von A und φ ein A-Modulendomorphismus von M mit φ(m) am. Dann erfüllt φ eine Gleichung der Form: φ n + a 1 φ n a n = 0, a i a Beweis: Sei x 1,..., x n ein Erzeugendensystem von M. Dann gilt für jedes 1 i n φ(x i ) am, also eine Gleichung φ(x i ) = n j=1 a ijx j (a ij a). Durch Umstellen folgt nun n j=1 (δ ijφ a ij )x j = 0. Bezeichne A im Folgenden die Matrix (δ ij φ a ij ), Ã ihre komplementäre Matrix. Dann gilt ÃA = det(a)e n (s. Lineare Algebra). Sei weiterhin x := (x 1,..., x n ) T, dann gilt nach obiger Gleichung Ax = 0 und somit auch 0 = ÃAx = det(a)e nx = det(a)x. Jedes x i wird demnach durch det(δ ij φ a ij ) annuliert. Schreibt man die Determinante nun aus, erhält man eine Gleichung der gesuchten Form. Korollar Sei M ein endlich erzeugter A-Modul, a ein Ideal von A mit am = M. Dann existiert ein x 1 (mod a) mit xm = 0. Beweis: Setze in (1.14) φ := id, dann erfüllt x := 1 + a a n obige Bedingungen. Satz (Nakayama-Lemma) Sei M ein endlich erzeugter A-Modul, a R ein Ideal von A (R bezeichne das Jacobson-Radikal von A) und gelte am = M. Dann gilt M = 0. Beweis: Nach (1.15) gilt xm = 0 für ein x 1 (mod R). Dann ist x 1 R und nach (1.3.3) ist 1 (x 1)( 1) = x eine Einheit in A, also gilt: M = x 1 xm = 0. Alternativer Beweis: Angenommen, M 0 und sei u 1,..., u n M ein minimales Erzeugendensystem von M. Nach Voraussetzung gilt nun insbesondere u n am, also gibt es a i a mit u n = a 1 u a n u n, somit gilt (1 a n )u n = a 1 u a n 1 u n 1. Nach (1.3.3) ist 1 a n eine Einheit (da a n R), also wird u n von u 1,..., u n 1 erzeugt. Korollar Sei M ein endlich erzeugter A-Modul, N ein Untermodul, a R ein Ideal von A. Dann gilt: M = am + N M = N Beweis: Wende (1.16) auf M/N an. (Beachte: a(m/n) = (am + N)/N = M/N) Sei R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m, K = R/m der Restklassenkörper, M ein endlich erzeugter R-Modul. Da M/mM von m annuliert wird, ist es auf natürliche Weise ein R/m-Modul und somit ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Satz Seien x 1,..., x n Elemente aus M, deren Bilder in M/mM eine Basis des Vektorraums bilden. Dann wird M durch die x i erzeugt. Beweis: Sei N M das von den x i erzeugte Untermodul. Die komponierte Abbildung N M M/mM ist dann surjektiv, also gilt N + mm = M und nach (1.17) folgt somit M = N. (Beachte: R lokal, also m = R) 4

6 2 Das Tensorprodukt Definition 2.1. Seien M, N, P A-Moduln. Eine Abbildung f : M N P heißt A-bilinear, falls für jedes x M die Abbildung N P, y f(x, y) und für jedes y N die Abbildung M P, x f(x, y) A-linear sind. Satz 2.2. Seien M und N A-Moduln, dann existiert ein Paar (T, ϕ) bestehend aus einem A-Modul T und einer A-bilinearen Abbildung ϕ : M N T mit folgender universeller Eigenschaft: Für ein beliebiges A-modul P und eine A-bilineare Abbildung f : M N P existiert eine eindeutige A-lineare Abbildung f : T P,sodass f = f ϕ. Falls (T, ϕ ) ein weiteres Paar mit dieser Eigenschaft ist, so existiert ein eindeutiger Isomorphismus j : T T, sodass j ϕ = ϕ. Beweis: Eindeutigkeit: Folgt direkt aus der universellen Eigenschaft, denn: Setze (T, ϕ ) für (P,f) ein, um einen eindeutiges j : T T mit ϕ = j ϕ und analog ein j : T T mit ϕ = j ϕ zu erhalten. Dann sind j j und j j Identitäten und somit j ein Isomorphismus. Existenz: Sei C der freie A-Modul aller formalen Linearkombinationen von Elementen aus M N mit Koeffizienten in A, also der Form n i=1 a i (x i, y i ), a i A, x i M, y i N. D sei der Untermodul von C erzeugt durch alle Elemente der Formen: (x + x, y) (x, y) (x, y), (x, y + y ) (x, y) (x, y ), (ax, y) a(x, y), (x, ay) a(x, y) Setze T := C/D und sei x y das Bild jedes Basiselements (x, y) C in T. Dann wird T durch die x y erzeugt und per Definition ist ϕ : M N T, (x, y) x y bilinear, denn es gilt: (x+x ) y = x y+x y, x (y+y ) = x y+x y, (ax) y = x (ay) = a(x y) Sei f : M N P eine Abbildung, dann induziert sie einen A-Modulhomomorphismus f : C P. Sei f nun bilinear. f verschwindet dann auf den Erzeugern (Beachte: f(x + x, y) = f(x, y) + f(x, y)) und somit auf dem gesamten Untermodul D. Somit induziert f einen wohldefinierten A-Modulhomomorphismus f : T = C/D P, x y f(x, y). Da auf einem Erzeugendensystem angegeben, ist f eindeutig bestimmt und (T, ϕ) erfüllt somit obige Bedingung. Bemerkung 2.3. Der Modul T aus Satz (2.2) wird als Tensorprodukt von M und N bezeichnet, schreibe M A N. Wird M durch (x i ) i I und N durch (y j ) j J erzeugt, so wird M N durch die x i y j erzeugt. Analog zu (2.2) lässt sich der Tensorbegriff verallgemeinern: Satz 2.2.* Seien M 1,..., M n A-Moduln, dann existiert ein Paar (T, ϕ) bestehend aus einem A-Modul T und einer A-multilinearen Abbildung ϕ : M 1... M n T mit folgender universeller Eigenschaft: Für ein beliebiges A-modul P und eine A-multilineare Abbildung f : M 1... M n P existiert eine eindeutige A-lineare Abbildung f : T P,sodass f = f ϕ. Falls (T, ϕ ) ein weiteres Paar mit dieser Eigenschaft ist, so existiert ein eindeutiger Isomorphismus j : T T, sodass j ϕ = ϕ. 5

7 Korollar 2.4. Seien M,N A-Moduln und x i M, y i N mit x i y i = 0 in M N. Dann existieren endlich erzeugte Untermodule M 0 M, N 0 N, sodass x i y i = 0 in M 0 N 0. Beweis: In der Notation des Beweises von Satz (2.2) folgt aus x i y i = 0 in M N, dass (x i, y i ) D und somit ist (x i, y i ) eine endliche Summe von Erzeugern von D. Sei M 0 der Untermodul von M, das durch die x i und die ersten Koordinaten dieser Erzeuger von D erzeugt wird, N 0 sei analog definiert. Dann gilt x i y i = 0 in M 0 N 0. Satz 2.5. Seien M,N,P A-Moduln, dann existieren eindeutige Isomorphismen: i) M N N M ii) (M N) P iii) (M N) P iv) A M gegeben durch: M a) x y y x M (N P ) M N P (M P ) (N P ) b) (x y) z x (y z) x y z c) (x, y) z (x z, y z) d) (a x) ax Beweis: Exemplarisch wird nur eine Hälfte von ii) gezeigt, die übrigen Aussagen folgen mit der gleichen Methode. Sei z P fest. Die Abbildung M N M N P, (x, y) x y z ist dann bilinear und induziert somit nach (2.2) einen Homomorphismus f z : M N M N P, x y x y z. Weiterhin ist die Abbildung (M N) P M N P, (t, z) f z (t) bilinear und induziert somit einen Homomorphismus f : (M N) P M N P mit f((x y) z) = x y z. Betrachte nun die Abbildung M N P (M N) P, (x, y, z) (x y) z. Diese ist linear in jeder Variablen und induziert somit nach (2.2*) einen Homomorphismus g : M N P (M N) P mit g(x y z) = (x y) z. Nun sind g f und f g identische Abbildungen und somit sind f und g Isomorphismen. Satz 2.6. Seien A,B Ringe, M ein A-Modul, P ein B-Modul und N ein (A,B)-Bimodul (d.h. ein A- und B-Modul und es gilt a(xb) = (ax)b a A, b B, x N). Dann ist M A N auf natürliche Weise ein B-Modul, N B P ein A-Modul und es gilt: (M A N) B P = M A (N B P ) 6

8 Beweis: Durch b(m A n) := m A bn (b B, n N, m M) wird M A N zum B-Modul und analog N B P zum A-Modul. Die Abbildung M (N B P ) (M A N) B P, (m, n B p) (m A n) B p ist A-bilinear, also folgt aus (2.2) die Existenz eines Homomorphismus f : M A (N B P ) (M A N) B P, m A (n B p) (m A n) B p und analog folgt ein weiterer Homomorphismus g : (M A N) B P M A (N B P ), (m A n) B p m A (n B p). Dann gelten g f = id und f g = id, wodurch f und g Isomorphismen sind. Bemerkung 2.7. Seien f : M M, g : N N A-Modulhomomorphismen. Dann ist h : M N M N, (x, y) f(x) g(y) A-bilinear und induziert somit einen A-Modulhomomorphismus f g : M N M N, (x y) f(x) g(y). Seien nun f : M M, g : N N weitere A-Modulhomomorphismen. Dann gilt: ((f f) (g g))(x y) = (f f)(x) (g g)(y) = ((f g ) (f g))(x y) Sei im Folgenden f : A B ein Ringhomomorphismus und N ein B-Modul. Bemerkung 2.8. N wird durch die skalare Multiplikation ax := f(a)x a A, x N zu einem A-Modul. Man sagt, dieses A-Modul entstehe durch Einschränkung der Skalare. Satz 2.9. Sei N ein endlich erzeugter B-Modul und B als A-Modul endlich erzeugt. Dann ist N als A-Modul endlich erzeugt. Beweis: Sei y 1,..., y n ein Erzeugendensystem von N über B und x 1,..., x m ein Erzeugendensystem von B als A-Modul. Dann erzeugen die nm Produkte x i y j N über A. Definition Sei M ein A-Modul. Dann kann B nach (2.8) als A-Modul aufgefasst werden und es existiert somit auch das A-Modul M B := B A M, welches durch b(b x) := bb x b, b B, x M zudem ein B-Modul wird. Man sagt, M B entstehe aus M durch Erweiterung der Skalare. Satz Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Dann ist M B als B-Modul endlich erzeugt. Beweis: Sei x 1,..., x n ein Erzeugendensystem von M über A, dann erzeugen die 1 x i M B über B. 3 Algebren Definition 3.1. Sei f : A B ein Ringhomomorphismus. Dann definiert die Skalarmultiplikation ab := f(a)b a A, b B eine Modulstruktur auf dem Ring B und B wird dann als A-Algebra bezeichnet. Insbesondere gilt damit: (ab)b = a(bb ) = b(ab ), a(b + b ) = ab + ab, (a + a )b = ab + a b a, a A, b, b B. Bemerkung 3.2. i) Ist A=K ein Körper (und B 0), dann ist f injektiv und K kann somit mit seinem Bild in B identifiziert werden. Eine K-Algebra ist somit ein Ring, der K als Unterring enthält. 7

9 ii) Jeder Ring kann als Z-Algebra aufgefasst werden, denn: Sei A ein Ring, dann besitzt A ein Einselement und es gibt somit einen Ringhomomorphismus (n-mal), falls n > 0 Z A, n 0, falls n = 0 ( ) (n-mal), falls n < 0 Definition 3.3. Seien f : A B, g : A C Ringhomomorphismen. Nach (3.1) sind B und C dann A-Algebren. Ein Ringhomomorphismus h : B C heißt A-Algebrenhomomorphismus, falls er gleichzeitig ein A-Modulhomomorphismus ist. Satz 3.4. h : B C A-Algebrenhomomorphismus h f = g (Notation nach (3.3)) Beweis: Nach Definition gelten ab = f(a)b a A, b B und ac = g(a)c a A, c C. Somit gilt für ein beliebiges a A: h(f(a)) = g(a) h(a 1) = a 1 h(a 1) = ah(1) Definition 3.5. Ein Ringhomomorphismus f : A B ist endlich und B ist eine endliche A-Algebra, falls B als A-Modul endlich erzeugt ist. Der Homomorphismus f ist von endlichem Typ und B ist eine endlich erzeugte A-Algebra, falls es eine endliche Menge von Elementen x 1,..., x n aus B gibt, sodass jedes Element aus B als Polynom in den Variablen x 1,..., x n mit Koeffizienten in f(a) dargestellt werden kann. Diese Bedingung ist äquivalent zur Existenz eines surjektiven A-Algebrenhomomorphismus vom Polynomring A[t 1,..., t n ] auf B. Ein Ring A heißt endlich erzeugt, falls er als Z-Modul endlich erzeugt ist, falls also endlich viele Elemente x 1,..., x n A existieren, sodass jedes Element aus A durch Polynome in den Variablen x i mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden kann. Bemerkung 3.6. Seien B,C A-Algebren, f : A B, g : A C die zugehörigen Homomorphismen. Da B und C somit auch A-Moduln sind, existiert ihr Tensorprodukt D := B A C. Betrachte die Abbildung B C B C D, (b, c, b, c ) bb A cc. Da diese A-linear in jeder Komponente ist, induziert sie einen A-Modulhomomorphismus B A C A B A C D und nach (2.5) somit auch ein A-Modulhomomorphismus D A D D. Dieser korrespondiert mit einer A-bilinearen Abbildung µ : D D D, (b c, b c ) = bb cc. Damit lässt sich nun eine Multiplikation auf D definieren: (b c)(b c ) := bb cc, bzw. allgemein: ( i (b i c i ))( j (b j c j )) := i,j (b ib j c ic j ) Dadurch entsteht auf D eine kommutative Ringstruktur mit Einselement 1 1. Durch den Ringhomomorphismus A D, a f(a) 1 = 1 g(a) wird D zudem zur A-Algebra. Des Weiteren gilt mit den Ringhomomorphismen u(b) = b 1 b B, v(c) = 1 c c C die Gleichung u f = v g, denn für a A gilt: u(f(a)) = f(a) 1 = a 1 1 = 1 a 1 = 1 g(a) = v(g(a)) Literatur M.F. Atiyah, I.G MacDonald: Introduction to Commutative Algebra [Ch.II], Addison- Wesley,