1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen

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1 1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen Endlich erzeugte kommutative Gruppen Im folgenden sei (G, +) stets eine endlich erzeugte kommutative Gruppe. G ist direkte Summe der Untergruppen H 1,...,H r, wenn sich jedes x G eindeutig in der Form x = h h r mit h i H i für i =1,...,r darstellen lässt. Man schreibt dann G = H 1... H r. Notiz Es gilt G = H 1... H r genau dann, wenn H 1,...,H r Untergruppen von G sind, so dass gilt 1. G = H 1... H r 2. H 1... H i H i+1 = {0} für i =1,...,r 1. Eine endlich erzeugte kommutative Gruppe G heißt frei, wenn G = Z r ist. Die Zahl r ist dann eindeutig bestimmt und heißt der Rang von G ; das wird aus Satz folgen. Lemma Es sei ϕ : G Z r ein surjektiver Homomorphismus von Gruppen und weiterhin sei G := Ker(ϕ). Dann existiert eine Untergruppe G von G,so dass G = G G gilt und ϕ G : G Z r ein Isomorphismus ist. Beweis. Seien e 1,...,e r die Einheitsvektoren von Z r.da ϕ surjektiv ist, gibt es Elemente x 1,...,x r G mit ϕ(x i )=e i für i =1,...,r. Setze nun G := x 1,...,x r. Dann ist ϕ : G Z r mit ϕ(g) = 0, so folgt offenbar surjektiv und auch injektiv. Ist r n ix i =: g G 0=ϕ(g) = n i ϕ(x i )= n i e i. also folgt n 1 =... = n r = 0 und damit g = 0. Somit ist ϕ G ein Isomorphismus. Insbesondere ist G G = {0}. Ist g G,sohat ϕ(g) die Form ϕ(g) = r n ie i. Setzt man g := r n ix i,soist ϕ(g) =ϕ(g ) und damit ist g := g g in Ker(ϕ) =G enthalten, also ist G = G G und somit G = G G. Satz Es sei G eine endlich erzeugte freie kommutative Gruppe mit r freien Erzeugern. Ist G <G eine Untergruppe, so ist G auch frei mit r freien Erzeugern und es gilt r r. Beweis. Ohne Einschränkung ist G = Z r mit der kanonischen Basis e 1,...,e r. Wir machen nun Induktion nach r. Der Induktionsanfang r = 1 gilt nach Satz Sei also nun r 2 und G <G= Z r. Dann betrachte den Gruppenhomomorphismus ( ) ϕ : G Z, ϕ n i e i = n 1.

2 24 1. Elementare Gruppentheorie Setze dann G 1 := Ker(ϕ G ) Ze 2 Ze r. Nach Induktionsvoraussetzung ist G 1 frei vom Rang (r 1). Weiterhin ist ϕ(g )=Zm <Z nach Induktionsanfang. Mit dem Lemma folgt dann G = G 1 ϕ(g ). Also ist G frei vom Rang r. Definition Für eine kommutative Gruppe G bezeichnet T (G) :={g G ; es gibt n 1 mit ng =0} die Torsionsuntergruppe von G. Man nennt G torsionsfrei, wenn T (G) ={0} gilt. Man bezeichnet mit Ann Z (G) :={n Z ; n g =0 für alle g G } den Annullator von G. Ist x G ein Element, so heißt der Annullator von x. Ann Z (x) :=Ann Z (<x>) Satz Es sei G eine endlich erzeugte kommutative Gruppe. Ist G torsionsfrei, so ist G frei. Beweis. Sei S ein endliches Erzeugendensystem von G.Essei {x 1,...,x r } eine maximal linear unabhängige Teilmenge von S ; d.h. 1. Ist n 1 x n r x r = 0, so folgt n 1 =...= n r =0. 2. Für jedes s S ist (s, x 1,...,x r ) linear abhängig. Somit gibt es zu jedem s S eine nichttriviale Kombination Wegen 1. ist m(s) 0. Insbesondere gilt m(s) s + m 1 (s)x m r (s)x r =0. m(s) s F := x 1,...,x r = Z r. Weil S endlich ist, ist m := s S m(s) Z wohldefiniert und m 0. Insbesondere ist m s F für alle s S und somit auch m g F für alle g G. Nach Satz ist m G F als Untergruppe der freien Gruppe F auch frei. Wegen T (G) =0 ist die Abbildung ϑ m : G mg, g mg, ein Isomorphismus, also ist G frei.

3 1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen 25 Satz Es sei G eine endlich erzeugte, freie, kommutative Gruppe und G <G eine Untergruppe. So existieren eine Basis x 1,...,x r von G und natürliche Zahlen m 1,...,m r N mit folgenden Eigenschaften 1. G = Zx 1... Zx r 2. G = Zm 1 x 1... Zm r x r 3. m 1 m 2,...,m r 1 m r Beweis. Nach Satz gibt es ein Erzeugendensystem y 1,...,y r von G, so dass y 1,...,y r eine Basis von G und y r +1 =0,...,y r = 0 gilt. Dann hat man ganzzahlige Relationen y j = a ij x i, wobei x 1,...,x r eine Basis von G ist. Sei δ : Z {0} N, a δ(a) := a, die Betragsabbildung. Ohne Einschränkung sei A := (a ij ) M(n, Z) ungleich Null. Dann betrachte δ(a) := Min{δ(a ij ) ; a ij 0}. Ebenso betrachten wir für S, T GL(r, Z) die Matrix B := SAT und dazu die Zahl δ(sat). Dann existieren S, T, so dass δ(sat) das absolute Minimum für alle transformierten Matrizen B := SAT ist. Ohne Einschränkung gilt δ(b 11 )=δ(b). Dann teilt b 11 alle übrigen Einträge b ij von B, wie man mittels elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen und Division mit Rest sieht. Ebenso kann man dann annehmen, dass b ij = 0 für alle (i, j) = (1,j) oder (i, j) = (i, 1) gilt. Nun kann induktiv die Untermatrix B := (b ij ), die aus B durch streichen der ersten Zeile und Spalte entsteht, gebildet werden. Insgesamt erreicht man so, dass es also S, T GL(n, Z) gibt, so dass B = SAT Diagonalmatrix mit Einträgen m 1 m 2,...,m r 1 m r teilen. Über folgende Setzungen y j = t lj y l und x k = s ik x i, l=1 wobei T =(t lj ) und S =(s ik ) die obigen Matrizen sind, erhält man eine Basis (x 1,...,x r) von G und ein Erzeugendensystem (y 1,...,y r) von G. Weiterhin gilt y j = t lj y l = t lj a kl x k = = l=1 l=1 k=1 m i δ ij x i. l=1 k=1 s ik a kl t lj x i

4 26 1. Elementare Gruppentheorie Die Systeme x =(x 1,...,x r) und y =(y 1,...,y r) erfüllen also die Behauptungen. Korollar Es sei T eine endlich erzeugte kommutative Torsionsgruppe; d.h. zu jedem x T gibt es n N mit n 0 und nx =0, und es sei T 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen m 1,...,m r N mit m i 2 und 1. T = Z/Zm 1... Z/Zm r. 2. m 1 m 2,...,m r 1 m r Beweis. Sei (x 1,...,x r ) ein endliches Erzeugendensystem von T. Dann ist die Abbildung ( ) ϕ : Z r T, ϕ n i e i = n i x i. ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Nach Satz gibt es eine Basis (f 1,...,f r ) von Z r und Zahlen m i N wie in 2., so dass Ker(ϕ) =Zm 1 f 1... Zm r f r gilt. Indem man eventuell alle m i mit m i = 1 weglässt, erhält man die Existenz der Darstellung wie gefordert. Die Zahlen m i sind ungleich 0, weil T eine Torsionsgruppe ist. Nun zur Eindeutigkeitsaussage: Fixiere einen Isomorphismus μ : T Z/Zm 1... Z/Zm r. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung müssen wir nur zeigen, dass für jede vorgegebene Primzahl p die Primzahlpotenz p αi, die in der Zahl m i exakt aufgeht, durch die Gruppe T bestimmt wird. Wegen m i m i+1 gilt 0=α 1 =...= α t <α t+1 α t+2... α r. Setze s := α r.für 1 σ s bezeichne C i (p σ ) Z/Zm i die eindeutig bestimmte Untergruppe der Ordnung p min{αi,σ} ; diese ist auch zyklisch, vgl Dann setze Dann gilt C(p σ ):=C 1 (p σ )... C r (p σ ) C(p σ+1 ). (1) card C(p σ )= r p min{αi,σ}. Für x T gilt p σ x = 0, wenn μ(x) C(p σ ). Daher gilt ord(x) =p σ μ(x) C(p σ ) C(p σ 1 ).

5 1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen 27 Folglich gilt (2) card{x T ; ord(x) =p σ } = card C(p σ ) card C(p σ 1 ). Die Gleichungen (1) und (2) für σ =1,...,s bestimmen nun die Exponenten 1 α t+1... α r eindeutig. Für σ 1 ist log p (card C(p σ )) log p (card C(p σ 1 )) die Anzahl der i {1,...,r} mit α i σ. Theorem (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen) Es sei G eine endlich erzeugte, kommutative Gruppe und T (G) ihre Torsionsuntergruppe. Dann gilt 1. G = T (G) G/T (G) 2. G/T (G) = Z r 3. T (G) = Z/Zm 1... Z/Zm s mit m i Z, m i 2 und m i m i+1 für i =1,...,s 1. Der Rang r und die Zahlen m 1,...,m s sind eindeutig durch G bestimmt. Beweis. Betrachte den kanonischen Epimorphismus ϱ : G G/T (G). Nach Satz ist G/T (G) = Z r frei und nach Lemma gibt es die Isomorphie G = T (G) G/T (G). Die Behauptung 3. folgt aus Korollar Den Beweis der Eindeutigkeitsaussage kann man auch durch den Nachweis der folgenden Behauptungen herleiten, die dem Leser als Übungsaufgabe überlassen seien. 1. Es sei N 2 eine natürliche Zahl mit der Primfaktorzerlegung N = p r1 1...prn n. Die kanonische Abbildung Z/ZN Z/Zp r Z/Zprn n, x (x mod p r1 1,...,xmod prn n ), ist ein Isomorphismus von Gruppen. Mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen folgt die Injektivität der Abbildung und dann die Surjektivität durch Vergleich der Kardinalitäten der beiden Mengen. 2. Sei G eine endliche, kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. Für eine Primzahl p nennt man G eine p -Gruppe, falls die Anzahl der Elemente von G eine Potenz von p ist. Für n N mit n 1 sei G(n) :={x G ;esgibteinr N mit n r x =0}.

6 28 1. Elementare Gruppentheorie (a) G(n) ist eine Untergruppe von G. (b) Für jedes x G(n) teilt ord(x) eine Potenz von n. (c) Sind n 1,n 2 Z und teilerfremd, so gilt G(n 1 ) G(n 2 )={0}. ( ) (d) Für jedes x G(n) gilt G/ x (n) = G(n)/ x. (e) Es gilt card G(n) n r für ein r 1. (f) Ist p eine Primzahl, so ist G(p) eine p -Gruppe. 3. Sei G eine endliche, kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. Es seien p eine Primzahl und r 1,...,r n natürliche Zahlen mit r n... r 2 r 1 1. Dann heißt G vom Typ (p r1,...,p rn ), wenn gilt G = Z/Zp r1... Z/Zp rn (a) Setzt man G[p α ]:={x G; p α x =0},soist G[p α ] eine Untergruppe und es gilt n card(g[p α ]) = p min{α,ri} (b) Der Typ einer endlichen kommutativen p -Gruppe ist eindeutig bestimmt. 4. Es sei G eine endliche, kommutative Gruppe. Nach Teil 3. ist G isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen G = Z/Zm 1... Z/Zm s, wobei m 1,...,m s natürliche Zahlen 1 sind, die sich sukzessiv teilen; also m 1 m 2,...,m s 1 m s gilt. (a) Hat G die Kardinalität N und hat N die Zerlegung N = p r1 1,...,prn n in Primzahlpotenzen, so gilt nach 1. und 2. G = G(p 1 )... G(p n ) (b) Die Zahlen (m 1,...,m s ) stehen zu den Gruppen G(p 1 ),...,G(p n ) in eineindeutiger Beziehung. (c) Die Zahlen m 1,...,m s sind eindeutig bestimmt. 1.9 Auflösbare Gruppen Im folgenden sei G stets eine Gruppe. Ist N G ein Normalteiler, so ist G/N auf kanonische Weise eine Gruppe und der kanonische Epimorphismus ϱ : G G/N ist ein Gruppenmorphismus; vgl