UNTERLAGEN ZUR CHARAKTERISIERUNG ENDLICH ERZEUGTER ABELSCHER GRUPPEN ENTWURF

Transkript

1 UNTERLAGEN ZUR CHARAKTERISIERUNG ENDLICH ERZEUGTER ABELSCHER GRUPPEN ENTWURF VORLESUNG ALGEBRA, SOMMERSEMESTER Die Charakterisierung endlich erzeugter abelscher Gruppen Satz 1.1 ([Pilz, 1984, Satz 15.5]). Für jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G gibt es natürliche Zahlen k, r N 0, t 1,..., t k N und Primzahlen p 1,..., p k (nicht notwendigerweise verschieden), sodass G = Z p1 t 1 Z pk t k Z r. Lemma 1.2. Sei G eine abelsche Gruppe, sei k N, seien g 1,..., g k G, und seien n 1,..., n k Z. Wir nehmen an, dass ggt(n 1,..., n k ) = 1. Dann gibt es h 1,..., h k G, sodass h 1 = n i g i, und g 1,..., g k = h 1,..., h k. Beweis: Wir zeigen durch Induktion, dass für alle n N die Aussage A(n) gilt, die so definiert ist: Für alle n 1,..., n k Z, sodass ggt(n 1,..., n k ) = 1 und k n i = n, und für alle g 1,..., g k G gibt es h 1,..., h k G sodass h 1 = k n i g i und g 1,..., g k = h 1,..., h k. A(1) ist unmittelbar klar. Wir fixieren nun n 2 und nehmen an, A(i) gilt für alle i N mit i < n. Seien n 1,..., n k Z. Wir nehmen an, dass ggt(n 1,..., n k ) = 1 und k n i = n. Seien g 1,..., g k G. Da ggt(n 1,..., n k ) = 1 und k n i 2, sind zumindest zwei n i 0. Seien a, b {1,..., k} so, dass a b und n a n b > 0. Wir setzen nun h 1 := n i g i. Date: May 26, Erhard Aichinger, Institut für Algebra, Johannes Kepler Universität Linz, Austria, erhard@algebra.uni-linz.ac.at. 1

2 2 VORLESUNG ALGEBRA, SOMMERSEMESTER 2004 Es gilt h 1 = n i (sgn(n i ) g i ). Wir setzen g i := sgn(n i ) g i für i = 1,..., k. Es gilt also h 1 = n a g a + n b g b + n i g i. Somit gilt i {1,...,k}\{a,b} h 1 = ( n a n b ) g a + n b (g a + g b) + i {1,...,k}\{a,b} n i g i. Da n a n b + n b < n a + n b, gibt es nach Induktionsvoraussetzung h 2,..., h k G, sodass Es gilt {g a, g a + g b} {g i i {1,..., k} \ {a, b}} = h 1,..., h k. (1.1) {g a, g a + g b} {g i i {1,..., k} \ {a, b}} {g a, g b} {g i i {1,..., k} \ {a, b}} = g 1, g 2,..., g k = g 1, g 2,..., g k. Somit haben wir die gewünschten h 1,..., h k gefunden. Beweis von Satz 1.1: Wir wählen ein k in N, sodass G durch k Elemente erzeugbar ist, und definieren E := {(g 1,..., g k ) G k g 1,..., g k = G}. Jedem (g 1,..., g k ) G k sei das Tupel (ord g 1,..., ord g k ) (N { }) k zugeordnet. Wir ordnen (N { }) k lexikographisch, und wählen ein (a 1,..., a k ) G k, für das das zugeordnete Tupel minimal ist. Sei l {0,..., k} so, dass a l+1 = = a k = und a 1,..., a l N. Es gilt G = a 1,..., a k = a 1 + a a k. Wir zeigen nun, dass die Gruppe G isomorph zur Gruppe H ist, wobei Dazu betrachten wir die Abbildung H := Z ord a1 Z ord a2 Z ord al Z k l. ϕ : Z k G (z 1,..., z k ) k z i a i.

3 ABELSCHE GRUPPEN 3 Wir sehen leicht, dass ϕ ein Homomorphismus und surjektiv ist. Wir bestimmen nun den Kern von ϕ. Offensichtlich gilt (1.2) (ord a 1 )Z (ord a 2 )Z (ord a l )Z {0} k l Ker ϕ. Wir zeigen nun, dass in (1.2) sogar Gleichheit gilt. Nehmen wir an, es gibt ein Element in Ker ϕ, das nicht in der linken Seite von (1.2) liegt. Dann gibt es auch ein Element (z 1,..., z k ) Z k \ {(0,..., 0)}, sodass 0 z j < ord a j für alle j {1,..., l} und (z 1,..., z k ) Ker ϕ. Es gilt also z i a i = 0. Sei j {1,..., k} minimal, sodass z j 0. Wir definieren z := ggt(z 1,..., z k ). Dann gilt z i z ( z a i) = 0. i=j Da ggt( z 1 z,..., z k z ) = 1, gibt es nach Lemma 1.2 b j,..., b k G, sodass z i b j = z a i i=j und b j,..., b k = a j,..., a k. Daher gilt a 1,..., a j 1, a j,..., a k = a 1,..., a j 1, b j,..., b k. Wegen z b j = 0 gilt ord b j z z j < ord a j ; daher ist das Tupel lexikographisch kleiner als das Tupel (ord a 1,..., ord a j 1, ord b j,..., ord b k ) (ord a 1,..., ord a j 1, ord a j,..., ord a k ); das ist ein Widerspruch zur Wahl von a 1,..., a k. Daher muss in (1.2) Gleichheit gelten. Wegen des Homomorphiesatzes ist G isomorph zu H/Ker ϕ, es gilt also also G = Z k / ( (ord a 1 )Z (ord a 2 )Z (ord a r )Z {0} k l), (1.3) G = Z ord a1 Z ord aj Z k l. Sei ord a 1 = q α 1 1 qs αs, wobei alle q i verschiedene Primzahlen sind. Da für relativ prime a, b Z gilt, dass Z ab isomorph zu Z a Z b ist, ist Z ord aj isomorph zu s Z q α i. Folglich gewinnt man aus (1.3) die gewünschte Zerlegung von G in ein i Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung und Kopien von Z. Korollar 1.3. Sei G endlich erzeugte abelsche Gruppe, und sei T ihr Torsionsteil. Dann gilt G = T (G/T ).

4 4 VORLESUNG ALGEBRA, SOMMERSEMESTER Isomorphieklassen von Untergruppen endlich erzeugter abelscher Gruppen 2.1. Endliche Gruppen. Proposition 2.1. Seien H, G endliche abelsche Gruppen. Dann gilt H G genau dann, wenn H p G p für alle Primzahlen p gilt. Proposition 2.2. Sei p Primzahl, sei G = Z p t 1 Z p t k, und sei H = Z p u 1 Z p u l, wobei t 1 t 2 t k 1 und u 1 u 2 u l 1. Äquivalent sind: (1) H G. (2) Es gilt l k und für alle i l : u i t i Torsionsfreie Gruppen. Proposition 2.3. Seien r, s N 0. Dann gilt Z r Z s genau dann, wenn r s. Beweisskizze: Seien e 1,..., e r die Einheitsvektoren in Z r, und sei ϕ ein Monomorphismus von Z r nach Z s. Wir zeigen, dass ϕ(e 1 ),..., ϕ(e r ) linear unabhängige Vektoren in Q s sind. Seien dazu λ 1,..., λ r Q so, dass r λ i ϕ(e 1 ) = 0. Durch Multiplikation mit allen Nennern der λ i erhält man µ 1,..., µ r, sodass r µ i ϕ(e i ) = 0. Also gilt ϕ( r µ i e i ) = 0, und wegen der Injektivität von ϕ auch r µ i e i = 0. Also gilt µ 1 = = µ r = 0, und somit λ 1 = = λ r = 0. Da es in Q s nur höchstens s linear unabhängige Vektoren geben kann, gilt r s. Lemma 2.4. Sei n N, und sei H eine Untergruppe von Z n. m N 0, sodass H isomorph zu Z m ist. Dann gibt es Wir induzieren nach n. Für n = 1 kennt man alle Untergruppen von Z als b Z mit b Z. Für n 2 definieren wir E := Z n 1 {0}. Nach dem Isomorphiesatz ist H/(H E) isomorph zu (H + E)/E. Die Gruppe (H + E)/E ist eine Untergruppe von Z n /E. Die Gruppe Z n /E ist zyklisch; also ist auch (H +E)/E, und somit auch H/(H E) zyklisch. Es gibt also ein h H, sodass H/(H E) = {z (h + H E) z Z}. Also gilt (2.1) H = h + (H E). Wir behandeln zuerst den Fall, dass h (H E) {0}. Sei a h (H E) mit a 0. Dann gibt es ein z Z, sodass z h = a und z h E. Wegen a 0 gilt auch z 0. Da z h E, muss also auch h E gelten. Aus (2.1) folgt

5 ABELSCHE GRUPPEN 5 daher H E, also H = H E. Also ist (H, +) nach Induktionsvoraussetzung isomorph zu Z m mit m n 1. In dem Fall, dass h (H E) = {0}, ist wegen (2.1) die Gruppe (H, +) direkte Summe von h und (H E). Die Gruppe h ist isomorph zu Z oder {0}, die Gruppe H E nach Induktionsvoraussetzung zu Z m mit m n 1. (H, +) ist also isomorph zu Z m oder Z m Endlich erzeugte abelsche Gruppen. Lemma 2.5. Seien A, B torsionsfreie abelsche Gruppen, und sei T eine abelsche Torsionsgruppe. Wenn A in B T einbettbar ist, dann ist A sogar in B einbettbar. Beweis: Sei ϕ ein Monomorphismus von A in B T. Wir bezeichnen die Projektionsabbildung von B T nach B mit β; es gilt also β(b, t) = b für alle b B, t T. Wir zeigen, dass auch die Hintereinanderausführung β ϕ injektiv ist. Sei dazu x A so, dass β ϕ(x) = 0. Es gibt also t T, sodass ϕ(x) = (0, t). Daher gilt ϕ(ord t x) = (0, 0). Da ϕ injektiv ist, gilt also ord t x = 0. Nun ist A torsionsfrei; also gilt x = 0. Lemma 2.6. Jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist endlich erzeugt. Proposition 2.7. Seien T 1, T 2 endliche abelsche Gruppen, und seien A 1, A 2 endlich erzeugte torsionsfreie Gruppen. Dann gilt T 1 A 1 T 2 A 2 genau dann, wenn T 1 T 2 und A 1 A Eindeutigkeit der Zerlegung Satz 3.1. Seien k, l, r, s N 0, t 1,..., t k N, u 1,..., u l N, seien p 1,..., p k (nicht notwendigerweise verschiedene) Primzahlen, und seien q 1,..., q l (nicht notwendigerweise verschiedene Primzahlen). Seien G := Z p1 t 1 Z pk t k Z r H := Z q1 u 1 Z ql u l Z s. Wir nehmen an, dass G = H. Außerdem nehmen wir an, dass die Faktoren in folgender Weise geordnet sind: Für alle i, j {1,..., k} mit i j gilt p i > p j oder (p i = p j und t i t j ), und für alle i, j {1,..., l} mit i j gilt q i > q j oder (q i = q j und s i s j ). Dann gilt r = s, k = l, und für alle i {1,..., k}: p i = q i. References [Pilz, 1984] Pilz, G. F. (1984). Algebra Ein Reiseführer durch die schönsten Gebiete. Universitätsverlag Rudolf Trauner, Linz.