Vektorräume und lineare Abbildungen

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1 Kapitel 11. Vektorräume und lineare Abbildungen 1

2 11.1 Vektorräume Sei K ein Körper. Definition. Ein Vektorraum über K (K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer binären Operation + einem ausgezeichneten Element 0 einer einstelligen Operation für jedes λ K einer 1-stelligen Operation v λv derart, dass gilt: 2

3 1. (V, +, 0, ) ist eine abelsche Gruppe 2. λ, µ K u, v V λ(u + v) = λu + λv (λ + µ)v = λv + µv λ(µv) = (λµ)v 1v = v Die v V heißen Vektoren. 3

4 Unterräume Definition. Sei V ein K-Vektorraum, U V. U heißt Unterraum von V, falls U Untergruppe von (V, +, 0, ) und λ K v U : λv U. Dann ist U in natürlicher Weise ein K-Vektorraum. 4

5 Beispiele 1 1. Vektoren in Anschauungsebene (K = R): E Vektoren im Anschauungsraum (K = R): E Sei K beliebiger Körper, n N >0. K n ist ein K-Vektorraum vermöge ξ + η : = (ξ 1 + η 1,..., ξ n + η n ) ξ : = ( ξ 1,..., ξ n ) 0 : = (0,..., 0) λξ : = (λξ 1,..., λξ n ) für ξ = (ξ 1,..., ξ n ), η = (η 1,..., η n ) K n, λ K. 5

6 Beispiele 2 Insbesondere: Q n ist Q-Vektorraum R n ist R-Vektorraum C n ist C-Vektorraum Q n ist kein Unterraum des R-Vektorraums R n. Allerdings ist R n auch ein Q-Vektorraum vermöge Addition wie vorher und Multiplikation mit rationalen Skalaren: λ Q, λξ wie vorher Allgemeiner: ist k ein Unterkörper von K, so ist K ein k-vektorraum 6

7 4. Sei [α ij ] K q n eine Matrix und Beispiele 3 (H) α 11 x α 1n x n = 0... α q1 x α qn x n = 0 das zugehörige homogene Gleichungssystem Dann ist die Lösungsmenge von (H) ein Unterraum von K n. 7

8 Beispiele 4 Ist für β k q (L β ) α 11 x α 1n x n = β 1... das zugehörige inhomogene System so ist α q1 x α qn x n = β q {β K q : (L β ) lösbar } ein Unterraum von K q. 8

9 Beispiel 5: reelle Folgen 5. R : = { Folgen (α i ) i N in R} ist ein R-Vektorraum vermöge (α i ) + (β i ) : = (α i + β i ) 0 : = (0) (α i ) : = ( α i ) λ(α i ) : = (λα i ) {(α i ) R : (α i ) konvergiert } ist ein Unterraum von R 9

10 Beispiel 6: stetige Funktionen 6. C(R): = { stetige Funktionen f : R R} ist ein R-Vektorraum vermöge (f + g)(x) : = f(x) + g(x) 0(x) : = 0 ( f)(x) : = f(x) (λf)(x) : = λf(x) D(R): = { differenzierbare Funktionen f : R R} ist ein Unterraum von C(R). 10

11 Sei V ein K-Vektorraum. Dann gilt Rechenregeln (1) 0 v = 0 (2) λ 0 = 0 (3) λv = 0 (λ = 0 oder v = 0) (4) ( 1)v = v (5) ( λ)v = (λv) = λ( v) (6) (λ µ)v = λv µv, λ(u v) = λu λv (Distributivität der Differenz) (7) Verallgemeinerte Distributivität (λ λ n )v = λ 1 v + + λ n v, λ(v v n ) = λv λv n (8) Sei U V, U ist Unterraum von V genau dann wenn u,v U λ K u + v U, λv U (9) {0} und V sind stets Unterräume von V (10) U 1, U 2 V Unterräume U 1 U 2 Unterraum 11

12 Linearkombinationen und erzeugter Unterraum Definition. 1. Seien v 1,..., v n V, v V. v heißt Linearkombination von v 1,..., v n, falls λ 1,..., λ n K v = λ 1 v λ n v n 2. Sei M V. Dann heißt [M]: = {v V : v ist Linearkombination von Elementen von M} der von M erzeugte Unterraum. (Beachte: [M] ist tatsächlich ein Unterraum von V.) 12

13 Bemerkung: Erzeugung 1. [M] ist der kleinste Unterraum von V der M enthält. D.h. U V Unterraum, M U [M] U. 2. Sei M = {v 1, v 2,..., v n } endlich. Dann [M] = {λ 1 v λ n v n : λ i K} =: Kv 1 + Kv n 3. M erzeugt V : [M] = V 4. V heißt endlich erzeugt : M V, M endlich, [M] = V. 13

14 Beispiel 1: Erzeugung Beispiel. Der K-Vektorraum K n wird erzeugt von {e 1, e 2,..., e n }, wobei e i : = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) (1 an i-ter Position ) Insbesondere ist K n endlich erzeugt. 14

15 Beispiel 2: Erzeugung Sei [α ij ] K q n. Sei [M] = α 11. α q1,..., α 1n. α qn K q die Menge der Spaltenvektoren von [α ij ]. Betrachte für β K q das System (L β ) α i1 x α in x n = β i (1 i q) Dann gilt {β K q : (L β ) lösbar } = [M]. 15

16 Summe von Unterräumen Definition. Sei V ein K-Vektorraum und U 1,..., U r V Unterräume. Dann heißt U U r : = {u u r : u i U i } die Summe von U 1,..., U r. Bemerkung. U U r ist ein Unterraum. Es gilt U U r = [U 1... U r ]. 16

17 Lineare Abbildungen Definition. Seien V und W K-Vektorräume. Eine lineare Abbildung von V nach W ist eine Abbildung ϕ: V W mit folgenden Eigenschaften: u, v V ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) v V λ k ϕ(λv) = λϕ(v) 17

18 Beispiele linearer Abbildungen Beispiel. 1. V W, v 0 und id: V V, v v sind lineare Abbildungen 2. lim: {(α i ) R : (α i ) konvergent } R, (α i ) lim i α i ist eine lineare Abbildung 3. Sei C 1 (R): = {f C(R): f stetig differenzierbar }. Die Abbildung C 1 (R) C(R), f f ist linear. 18

19 Bilder und Urbilder Bemerkung. Sei ϕ: V W linear, U V, L W Unterräume 1. Dann sind ϕ(u) = {ϕ(u): u U} ϕ 1 (L) = {v V : ϕ(v) L} Unterräume von W bzw. V. 19

20 Kern und Bild Sei ϕ: V W linear. 2. Insbesondere sind im ϕ : = ϕ(v ) = {ϕ(v): v V } ker ϕ : = ϕ 1 (0) = {v V : ϕ(v) = 0} Unterräume von W bzw. V. 3. Es gilt ϕ injektiv ker ϕ = {0} ϕ surjektiv im ϕ = W 20

21 Isomorphismen Bemerkung. 1. ϕ: U V, ψ : V W linear = ψ ϕ: U W linear 2. Ist ϕ: V W linear und bijektiv, so ist ϕ 1 : W V auch linear. Definition. Eine bijektive lineare Abbildung heißt linearer Isomorphismus. Vektorräume V, W heißen isomorph, falls es einen linearen Isomorphismus V W gibt. Schreibweise: V W. Eine lineare Abbildung ϕ: V V heißt Endomorphismus. Ist ϕ außerdem bijektiv, so heißt ϕ Automorphismus. 21