x y f : R 2 R 3, Es gilt: Bild f = y : wobei x,y R Kern f = 0 (wird auf der nächsten Folie besprochen)

Transkript

1 Def Wiederholung Sei f : V U eine lineare Abbildung Das Bild von f ist die folgende Teilmenge von U: Bild f = {u U so dass es gibt ein Element v V mit f(v) = u} (Andere Bezeichnung: f(v) wird in Analysis-Vorlesung verwendet) Der Kern von f ist die folgende Teilmenge von V: Kern f = {v V so dass f(v) = } (Andere Bezeichnung: f ( ); wird oft in Analysis verwenden Man bemerke aber dass f nicht die inverse Abbildung nach unseren Definitionen ist; außerdem ist f keine Abbildung Also f ( ) ist nur die Bezeichnung) Bsp Betrachte die Abbildung f : R 2 R 3, f (( x y )) := x Es gilt: Bild f = y : wobei x,y R { } Kern f = (wird auf der nächsten Folie besprochen) x y

2 Satz 2 ( Dimensionsformel) Sei f : V U eine lineare Abbildung Dann gilt: (a) Bild f ist ein Untervektorraum von U (b) Kern f ist ein Untervektorraum von V (c) Ist V endlichdimensional, so gilt: dim(v) = dim(bild f )+dim(kern f ) Bsp Betrachte die Linearabbildung aus der Bsp oben f : R 2 R 3, f ( ( x y ) ) := x y Dann ( gilt: ) Kern f = { }, weil ( ) f x := x y = = ( ) ( ) x = y y ; also dim(kernf ) = { Bild f = x } y x,y R ist 2-dimensional (mit der Basis { }, ; also ist die Dimensionsformel dim(v) }{{} 2 = dim(bild f ) }{{} 2 +dim(kern f ) in diesem Bsp richtig }{{}

3 Beweis (a) Bild f ist ein Untervektorraum von U Beweis (a): Seien u,u 2 Bild f, dh u = f(v ), u 2 = f(v 2 ) Dann gilt: u +u 2 = f(v )+f(v 2 ) Linearität = f(v +v 2 ) Bild f λu = λf(v ) Linearität = f(λv ) Bild f

4 Beweis (b) Kern f ist ein Untervektorraum von V Beweis (b): Seien v,v 2 Kern f, dh f(v ) = f(v 2 ) = Dann gilt: f(v +v 2 ) Linearität = f(v )+f(v 2 ) = + =, dh v +v 2 Kern f f(λv ) Linearität = λf(v ) = λ =, dh λv Kern f

5 Konstruktion einer Basis in Bild f Kern f ist ein Untervektorraum des endlichdimensionalen Vektorraums V und ist deswegen auch nach Folgerung (d) aus Satz endlichdimensional Sei {v,,v k } eine Basis von Kern f Nach Folgerung (c) können wir die Basis {v,,v k } bis zum einer Basis in V erganzen: es gibt v k+,,v n so dass {v,,v n } eine Basis ist Wir zeigen: {f(v k+ ),,f(v n )} ist eine Basis in Bild f U Wir mussen zeigen, dass {f(v k+ ),,f(v n )} linearunabhängig und erzeugend ist

6 Wir zeigen: {f(v k+ ),,f(v n )} ist erzeugend Wir müssen zeigen, dass man jedes u Bild f als eine Linearkombination von Elementen f(v k+ ),,f(v n ) darstellen kann Offensichtlich, kann man jedes u Bild f als eine Linearkombination von Elementen f(v ),,f(v n ) darstellen In der Tat, jedes u Bild f ist Bild des irgentwelchen Vektors v Weil {v,,v n} eine Basis ist = λ v ++λ n v n, also u = f(v) = f(λ v ++λ n v n ) = λ f(v )++λ n f(v n ) Aber f(v ) = f(v 2 ) = = f(v k ) =, da v,,v k Kern f Dann u = λ k+ f(v k+ )+λ k+2 f(v k+2 )++λ n f(v n ) Also ist span({f(v k+ ),,f(v n )}) = Bild f

7 Wir zeigen: {f(v k+ ),,f(v n )} ist linear unabhängig Angenommen ist die Linearkombination λ k+ f(v k+ )++λ n f(v n ) = Zz: λ k+ = λ k+2 = = λ n = Wir haben: λ }{{} k+ f(v k+ )++λ n f(v n ) = k mal Da f(v ) = f(v 2 ) = = f(v k ) =, f(v )+f(v 2 )++f(v k )+λ k+ f(v k+ )++λ n f(v n ) = Weil f linear ist, f(v +v 2 ++v k +λ k+ v k+ ++λ n v n ) = Also, v +v 2 ++v k +λ k+ v k+ ++λ n v n Kern f Dann ist er die Linarkombination von Elementen v,,v k und deswegen (Satz 7(b)) λ k+ = λ k+2 = = λ n = Also gilt: dim(bild f ) = [Anzahl von Elementen in {f(v k+ ),,f(v n)}] = n k Dann gilt: dim(v) }{{} n = dim(kern f ) +dim(bild f ), }{{}}{{} k n k

8 Anwendung Dimensionsformel für Endomorphismen Def Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V V von Vektorraum V auf sich selbst Folgerung Sei f : V V ein Endomorphismus von endlichdimensionalen Vektorraum V Dann gilt: f ist surjektiv f ist injektiv Bemerkung In Hausaufgabe Blatt 5 mussten Sie mehrere Beispiele konstruieren Sie werden sehen, dass falls U und V verschiedene Dimensionen haben, ist die Aussage der Folgerung nicht richtig Idea des Beweises: wir spielen mit der Dimensionsformel (Satz 2): es gilt: dim(v) }{{} n = dim(bild f ) + dim(kern f )

9 Beweis (surjektiv) = (injektiv) Ist f surjektiv, so ist Bild f = V Wir haben dim(v) = dim(bild f ) + dim(kern f ) n = n +? Dann ist dim(kern f ) =, folglich Kern f = { } Nach Lemma c ist f injektiv

10 Beweis (surjektiv) = (injektiv) Ist f injektiv, so ist Kern f = { } Dann ist dim(kern f ) = Wir haben dim(v) = dim(bild f ) + dim(kern f ) n =? +, folglich dim(bild f ) = n Dann enthält eine Basis B in Bild f n = dim(v) linear unabhängige Vektoren Nach Folgerung (a) aus Satz ist dann B eine Basis in V, deswegen Bild f = span(b) = V,

11 Wiederholung und Plan: Ziel: alle linearen f : V U zu beschreiben, wobei V,U Vektorräume sind, sd dim(v) = n <, dim(u) = m < Wir benutzen: Hauptsatz der linearen Algebra: isomorph V R n, U isomorph R m Die Koordinatenabbildung CBV : V R n, C BU : U R m sind Isomophismen, wobei B V, B U Basen in V bzw U sind Strategie: Wir beschreiben alle linearen f : R n R m (Heute, Schema) Wir konstruieren ein Hauptbeispiel (Matrizen, nächste Folie) Wir zeigen, dass alle linearen f : R n R m wie im Hauptbeispiel sind Wir untersuchen, wie sich die Beschreibung ändert, wenn wir andere Basen B V, B U in V bzw U wählen später

12 Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen Def Seien m,n N Eine (m n)- Matrix ist ein rechteckiges Schema a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A :=, a m a m2 a mn wobei alle a ij R Bsp: ( ist eine (3 2)-Matrix ) ist eine (2 3)-Matrix, Bemerkung Mathematisch exakt ist eine (m n)-matrix eine Abbildung A : {,,m} {,,n} R Das Bild von (i,j) {,,m} {,,n} ist dabei das, was im Schema an der ij Stelle steht

13 Eine (m n) Matrix A definiert eine Abbildung f A : R n R m : n x a x +a 2 x 2 ++a n x n i= x 2 f A := a 2 x +a 22 x 2 ++a 2n x n a n ix i = i= a 2ix i n a m x +a m2 x 2 ++a mn x n i= a mix i x n Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt f A (v) schreibt man gewöhnlich Av ; ZB f ( ) 2 3 ( ) = 2 = ( ) ( 3 ) ( ) a x +a 2 x 2 +a 3 x = = a 2 x +a 22 x 2 +a 23 x Für den j-ten Eintrag des Produkts ist nur die j-te Reihe der Matrix und der Vektor verantwortlich:??? a j a j2 a jn??? x x n =? a j x + a j2 x 2 + +a jn x n?

14 Mnemonische Regel Hilft auch die Parameter der Matrizen und Vektoren abzustimmen: Da für ein Skalarprodukt von Zeile und Vektor die Anzahl der Elemente gleich sein muss, multiplizieren wir eine (m n) Matrix mit einem Vektor aus dem R n Das Ergebniss hat dann genau soviel Zeilen wie die Matrix Skalarprodukt einer Zeile der Matrix mit einem Vektor und mnemonische Regel Sei (a i,a i2,a i3,,a in ) die i te Zeile einer Matrix A = (a ij ) und v = x x n R n Als Skalarprodukt dieser Zeile mit x x n verstehen wir die Zahl a i x +a i2 x 2 ++a in x n = n j= a ijx j Mnemonische Regel: Auf dem i ten Platz des Produkts von (m n) Matrix A und v R n steht das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix mit dem Vektor: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn x x 2 x n = a x +a 2 x 2 ++a n x n a 2 x +a 22 x 2 ++a 2n x n a m x +a m2 x 2 ++a mn x n

15 Mnemonische Regel: Auf dem i ten Platz des Produkts steht das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix mit dem Vektor ( ) 2 ( ) = = ( ) 4

16 Mnemonische Regel: Auf dem i ten Platz des Produkts steht das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix mit dem Vektor Aufgabe für Sie jetzt: Multiplizieren Sie die Matrix A mit dem Vektor v: Antwort:

17 Lemma 6 Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare Abbildung Beweis: Additivität: a a n a m a mn x x n + y y n = a a n a m a mn x + y x n + y n = a (x + y ) + + a n (x n + y n) a m (x + y ) + + a mn(x n + y n) = a x + + a n x n a m x + + a mnx n + a y + + a n y n a m y + + a mny n = a a n a m a mn x x n + a a n a m a mn y y n Ähnlich für λv

18 Wichtiges Beispiel Frage Wohin bildet diese Abbildung die Vektoren aus der Standard-Basis ab?wir rechnen es aus a a n a 2 a 2n a m a mn = a + a a n a 2 + a a 2n a m + a m2 + + a mn = a a 2 a m a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn = a + a a n a 2 + a a 2n a m + a m2 + + a mn = a 2 a 22 a m2 Antwort Die Matrix multipliziert mit dem i-ten Basisvektor aus der Standard-Basis ist gleich die i-te Spalte der Matrix

19 Matrix einer linearen Abbildung Die Vektoren aus der Standard-Basis in R n werden wir mit e,,e n bezeichnen: e i = i-ter Platz Satz 3 f : R n R m sei eine lineare Abbildung Für jedes i {,,n} seien f(e i ) = u i := u i u 2 i u m i die Bilder der Standard-Basisvektoren Dann gilt für jeden Vektor v = v v 2 v n Rn : f(v)= u u un u 2 u2 2 un 2 u m u m 2 u m n In Worten: jede lineare Abbildung von R n nach R m ist die Multiplikation mit derjenigen Matrix, deren i-te Spalte das Bild von e i ist v v 2 v n

20 Bsp Aus der Vorlesung 9 (und aus Hausaufgabe 2 Blatt 4) Bsp ( Sei V = U = R 3, mit der Standardbasis e :=,e 2 :=,e 3 := ) Wir betrachten das Tripel ( u := 4,u 2 := 2 5,u 3 := 3 ) 6 von Vektoren aus R Nach Lemma 5 existiert eine lineare Abbildung f, die e u, e 2 u 2, e 3 u 3 abbildet Die Formel für f haben wir in Vorl 9 gefunden Wir wiederholen das Wir haben: f x ( y = f x +y +z ) = z ( f x ) ( +f y ) ( +f z ) = x 4+y z 3 x + 2y + 3z 6 = 4x + 5y + 6z 9 7x + 8y + 9z Wir sehen, dass die Abbildung genau f A ist (sie bildet also den Vektor v = x y z In der Tat, auf das Produkt Av ab), wobei die Matrix A = x x + 2y + 3z y = 4x + 5y + 6z z 7x + 8y + 9z ist

21 Satz 3 in Worten: Jede lineare Abbildung von R n nach R m ist die Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von e i ist Beweis: Lemma 5: Es gibt genau eine lin Abbildung f mit f(e i ) = u i Wicht Bsp: Ae i ist die i te Spalte von A = Satz 3 Lemma 6: Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare Abbildung

22 Beweis noch einmal (dasselbe in Sätzen) Lemma 5: Es gibt genau eine lin Abbildung f mit f(e i ) = u i Wicht Bsp: Ae i ist die i te Spalte von A = Satz 3 Lemma 6: Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare Abbildung Wir behaupten im Satz 3, dass die lineare Abbidung f, die e,,e n jeweils auf u,,u n R m abbildet, die Multiplikation mit derjenigen Matrix A ist, deren Spalten die Vektoren u,,u n sind Multiplikation mit einer (m n) Matrix ist eine lineare Abbildung nach Lemma 6 Multiplikation mit derjenigen Matrix, deren Spalten die Vektoren u,,u n R m sind, bildet die Standard-Basisvektoren e,,e n auf die Vektoren u,,u n ab, wie wir im Wicht Bsp oben gezeigt haben Also erfüllt die Multiplikation mit dieser Matrix diese beiden Eigenschaften Aber nach Lemma 5 definieren diese Eigenschaften die Abbildung eindeutig: nach Lemma 5 ist die lineare Abbildung f, die die Basisvektoren (in unserem Fall e,,e n ) auf die Vektoren u,,u m abbildet, eindeutig Also fällt sie mit f A (wobei A diejenige Matrix ist, deren Spalten die Vektoren u,,u n sind), zusammen

23 Aufgabe: Finde die Matrix der linearen Abbildung (von R 2 nach ( R 2 ), ) die ( die Standardbasisvektoren ) e,e 2 jeweils in die Vektoren 2, überführt 3 4 Antwort: Nach Satz 3 sind( die Spalten ) der Matrix die Bilder der 2 Vektoren, also ist die Matrix 3 4

24 Finde die Matrix der linearen Abbildung (von ( R 3 ) nach ( R 2 )), die ( die) 2 5 Vektoren e,e 2,e 3 jeweils in die Vektoren,, überführt Antwort: ( )

25 Aufgabe Finde die ( Matrix ) ( der linearen ) Abbildung f (von ( R 2 nach) R 2 ), die die Vektoren, jeweils in die Vektoren, 2 ( ) 2 überführt 4 Lösung: Um Satz 3 zu benutzen, müssen wir die Bilder der Standard-Basisvektoren e,e 2 bestimmen Wir werden benutzen, dass e = ( ) ( ) ( ) = und e 2 = ( ) ) ( ) = 2 2 Dann gilt: ( (( Linearität = 2 f (( )) = f (( f )) = f )) + 2 f (( ( 2 ( ( 2 ( ) ( + 2 )) Voraussetz = 2 ( 2 ) ( 2 )) ( = 3 )) ) ) ( ) ( = Ähnlich, f Also haben wir die Bilder von e,e 2 ausgerechnet: f(e ) = ( ) und f(e 2 ) = ( ) 3 Dann können wir den Satz 3 benutzen und die Antwort bekommen ( ) Antwort: 3 )

26 Aufgabe Finde die Matrix der Abbildung Id : R n R n, Id(v) = v (in der Standard-Basis) Bemerkung Die Abbildung Id ist offensichtlich linear: zb Id(u +v) = u +v = Id(u)+Id(v) Lösung: Um Satz 3 zu benutzen, müssen wir Id(e i ) finden Aber Id(e i ) = e i!!! Also ist die i te Spalte der gesuchten Matrix e i Antwort heisst Einheitsmatrix Machen Sie bitte zu Hause die folgende Übung: multiplizieren Sie die Einheitsmatrix mit dem beliebigen Vektor das Ergebnis wieder x x n ist x x n, und stellen Sie fest, dass

27 Aufgabe Finde (bzgl der Standard-Basis) die Matrix der Streckung f : R n R n, v αv wobei α R Lösung: Um Satz 3 zu benutzen, müssen wir f(e i ) finden Aber f(e i ) = αe i Also ist die i te Spalte der gesuchten Matrix α e i α α Antwort α

28 Verkettung von Abbildungen Wiederholung A,B,C seien die Mengen, f : A B, g : B C seien Abbildungen Die Verkettung (Komposition, Superposition, Hintereinanderausführung) von Abildungen g und f ist die Abbildung g f : A C, g f(x) := g(f(x)) x A f g f(x) g(f(x)) B C

29 Lemma 7 Seien f : A B, g : B C, h : C D Abbildungen Dann gilt: h (g f) = (h g) f In Worten: Die Verkettung von Abbildungen ist assoziativ Beweis Man nehme ein (beliebiges) a A Zz: h (g f)(a) = (h g) f(a) ( ) a b c d Setze b := f(a), c := g(b) und d := h(c) Dann gilt: g f(a) = g(f(a)) = g(b) = c, h (g f)(a) = h(g f(a)) = h(c) = d Also ist die linke Seite von ( ) gleich d Wir rechnen jetzt die rechte Seite: f(a) = b, (h g) f(a) = h g(f(a)) = h g(b) = h(g(b)) = h(c) = d Also ist die rechte Seite von ( ) auch d

30 Folgerung Verkettung von Bijektionen ist bijektiv Folgerung Seien f : A B, g : B C bijektiv Dann gilt: g f : A C ist auch bijektiv A C B Wiederholung Lemma 3 Sei f : A B Dann gilt: f ist Bijektion f : B A (sd f f = Id A und f f = Id B ) Wiederholung die Bezeichnung f : Dies war die Bezeichnung für die inverse Abbildung; die Abbildung f : B A wurde durch die Eigenschaften f f = Id A und f f = Id B definiert Also hat g : C B nach unsere Bezeichnungen die Eigenschaften g g = Id B und g g = Id C

31 Folgerung Seien f : A B, g : B C bijektiv Dann gilt: g f : A C auch bijektiv Beweis der Folgerung Die Abbildungen f : A B, g : B C seien bijektiv Nach Lemma 3 existieren dann die inversen Abbildungen f : B A und g : C B Wir benutzen diese Abbildungen, um eine Abbildung zu konstruieren, die zu g f invers ist Wir zeigen nämlich, dass (g f) = f g Nach Definition der Inversen (g f) muss dies eine Abbildung von C nach A sein, die die folgenden Eigenschaften hat: (g f) (g f) = Id A und (g f) (g f) = Id C Die Abbildung f g ist eine Abbildung von C nach A, weil g : C B und f : B A Wir beweisen jetzt die Eigenschaften: (f g ) (g f) = [Da die Verkettung nach Lemma 7 assoziativ ist, können wir die Klammern beliebig umstellen] = f (g g) f = f }{{} (Id B f) = f f = Id A Id B Analog, (g f) (f g ) = g (f f ) g }{{} = g (Id B g ) = g g = Id C Id B Also existiert eine Inverse zu g f Die Abbildung g f ist dann nach Lemma 3 bijektiv

32 Wie berechnet man (g f)? Wir haben folgende Formel im Beweis der Folgerung bekommen: (g f) = f g wobei f : A B und g : B C Bijektionen sind (Copyright: MFO) Mnemonische Regel: (nach Coxeter): f = Socken anziehen f = Socken ausziehen g = Schuhe anziehen g = Schuhe ausziehen g f = zuerst Socken anziehen, dann Schuhe anziehen (g f) = f g = zuerst Schuhe ausziehen, dann Socken ausziehen A C A C - B Man kann analog beweisen, dass (f f 2 f k ) = (f k ) (f k ) (f ) - B

33 Lemma 8 Seien f : V U, g : U W lineare Abbildungen Dann ist g f : V W auch eine lineare Abbildung In Worten: Die Verkettung von linearen Abbildungen ist linear Beweis: g f(v+u) Definition Linearität von f Linearität von g = g(f(v +u)) = g(f(v)+f(u)) = g(f(v))+g(f(u)) Definition = g f(v)+g f(u) Ähnlich für λv

34 Schulden: Beweis, dass Satz den Satz impliziert Wiederholung Satz Sei (V,+, ) ein n dimensionaler Vektorraum Dann gibt es einen Isomorphismus f : V R n Wiederholung Lemma 4 ein bisschen schwächere Version: Ist g : U R n ein Isomorphismus, so ist g : R n U ebenfalls ein Isomorphismus Wiederholung Satz Sei (V,+, ) und (U,+, ) n dimensionale Vektorräume der gleichen Dimension n Dann gibt es einen Isomorphismus h : V U Wir folgern jetzt den Satz aus Satz und den heute bewiesenen Aussagen Lemma 7 und Lemma 8 Wir betrachten die Isomorphismen f : V R n und g : U R n, die nach Satz existieren Außerdem betrachen wir die Abbildung g, die nach Lemma 4 ein Isomorphismus ist Wir zeigen dass g f : V U ein Isomorphismus ist In der Tat, g f ist bijektiv nach Folgerung aus Lemma 7, als Verkettung von bijektiven Abbildungen g f ist linear nach Lemma 8 als Verkettung von linearen Abbildungen Dann ist h := g f ein Isomorphismus, wie behauptet, und die Vektorräume U und V sind, wie behauptet, isomorph

35 Multiplikation der Matrizen Wir definieren jetzt Produkt von zwei Matrizen: einer (k m) Matrix A und einer (m n) Matrix B Wiederholung Lemma 8 Seien f : V U, g : U W lineare Abbildungen ( in unserem Fall wird g = f A und f = f B ) Dann ist g f : V W auch eine lineare Abbildung Wiederholung Satz 3 Jede lineare Abbildung von R n nach R k ist die Multiplikation mit der (k n) Matrix, deren i-te Spalte das Bild von e i ist Lemma 8: Verkettung von linearen Abbildungen ist linear Satz 3: Jede lineare Abbildung: f : R n R m ist die Multiplikation mit einer (m n) Matrix = Seien f A : R m R k bzw f B : R n R m die Multiplikationen mit einer (k m)-matrix A bzw einer (m n) Matrix B, dh f A (v) := Av für v R m und f B (u) := Bu für u R n Die Verkettung f A f B : R n R k ist auch linear und ist deswegen auch die Multiplikation mit einer (k n)-matrix Def Seien f A : R m R k bzw f B : R n R m die Multiplikationen mit einer (k m)-matrix A bzw (m n) Matrix B dh, f A (v) := Av, f B (u) := Bu Dann heißt die Matrix von f A f B : R n R k das Produkt der beiden Matrizen und wird AB bezeichnet Dies ist eine (k n)-matrix

36 Konstruktion aus Definition in Bsp Wir nehmen A = ( ), B = Die( Matrix A entspricht der Abbildung f A : R 3 R 2, f A x ) ) y Die Matrix B entspricht der z = ( x +2 y +3 z 3 x +2 y + z Abbildung f B : R 2 R 3, f B ( (x y) ) = 5 x 7 y 6 x 6 y 7 x 5 y Die Abbildung f A f B ist die Abbildung von R 2 nach R 2 Sie bildet den Vektor ( ) x y auf den Vektor ( ) ( ) x y ab: Wir multiplizieren zuerst B mit ( ) x y und dann multiplizieren wir A mit dem Ergebnis Das ist eine lineare Abbildung (als Verkettung von linearen Abbildungen nach Lemma 8) Deswegen ist nach Satz 3 f A f B ( ( ) x y ) gleich dem Produkt einer (eindeutig bestimmten) (2 2) Matrix mit ( ) x y Diese Matrix heißt dann das Produkt von A und B

37 Frage: Wie kann man das Produkt von Matrizen ausrechnen? Satz 4 (Rechenregel für das Produkt von Matrizen) Seien f A : R m R k, f B : R n R m Multiplikationen mit den Matrizen a a 2 a m b b 2 b n a 2 a 22 a 2m A :=, B := b 2 b 22 b 2n a k a k2 a km b m b m2 b mn Dann ist die Matrix von f A f B gleich a a 2 a m a 2 a 22 a 2m a k a k2 a km b b 2 b n b 2 b 22 b 2n b m b m2 b mn := mi= mi= a i b i a 2i b i mi= a ki b i mi= a i b in mi= a 2i b in mi= a ki b in Mnemonische Regel: Auf dem (i, j)-ten Platz des Produkts steht das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B:

38 Mnemonische Regel: Auf dem (i, j)-ten Platz des Produkts steht das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B: ( ) = = ( ( ) )

39 Mnemonische Regel: Auf dem (i, j)-ten Platz des Produkts AB steht das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B Aufgabe für Sie jetzt: Multiplizieren Sie die Matrizen A und B: Antwort:

40 Beweis des Satzes 4: Mnemonische Regel: Auf dem (i, j)-ten Platz des Produkts AB steht das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B Satz 3: j te Spalte der Matrix AB ist das Bild f A f B (e j ) Satz 3: j-te Spalte der Matrix B ist das Bild f B (e j ) Rechenregel für Matr mal Vektoren: auf der i-ten Stelle des Bildes f A (f B (e j ))) Steht das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix A mit dem Vektor f B (e j ), also das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j ten Spalte von B = Auf dem (i,j)-ten Platz des Produkts AB steht das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B

41 Ausführlicher: Beweis des Satzes anhand eines Bsp Finden wir die Matrix AB, wobei A und B wie im Bsp oben sind: A = ( ) , B = Wir benutzen Satz 3: Die j te Spalte der Matrix AB ist das Bild von e j Also, um AB auszurechnen, müssen wir die Bilder von f A f B (e j ) finden Machen wir es für j =, also für e = ( ) wir sollten die erste Spalte des Produkts bekommen ( ) ( ) ( ( )) ( Nach Definition der Verkettung, ist f A f B = f A f B Nach ) Wicht Bsp oben ist f B ( ( ) ) die erste Spalte von B, also Wicht Bsp vergessen hat, muß ( f A (f )) ( ( B = f ) A 5 ) 6 ( ) ( ) = ( Def von f A = ( ) ausrechnen) Also, ) Def von Av = (wer das und das muss die erste Spalte von AB sein Wir sehen, dass die Komponenten von AB, die in der ersten Spalte stehen, tatsächlich die Skalarprodukte der Zeilen von A und der ersten Spalte von B sind

42 Dasselbe für beliebige Matrizen A und B Was ist a a 2 a m a 2 a 22 a 2m a k a k2 a km b b 2 b n b 2 b 22 b 2n b m b m2 b mn des Produktes von Matrizen ist dies eine Matrix, sodass das Multiplizieren mit dieser Matrix den Vektor v = a a 2 a m a k a k2 a km ( x x n ) b b 2 b n x b m b m2 b mn x n? Nach der Definition auf den Vektor abbildet Um ihre j te Spalte nach Satz 3 auszurechnen, müssen wir die Bilder von e j ausrechnen Wir haben: ( ) a a 2 a m b b 2 b n Wicht Bsp e j = a k a k2 a km a a 2 a m a k a k2 a km b m b m2 b mn b j a b j + a 2 b 2j + + a m b mj Satz 3 = b mj a k b j + a k2 b 2j + + a km b mj (Eintrag Nummer i ist Skalarprodukt der i ten Zeile von A mit Be j, also mit j ter Spalte von B) Wir sehen also, dass an der (i,j) Stelle von AB das Skalarprodukt der i ten Zeile von A und der j ten Spalte von B steht, wie wir im Satz 4 behauptet haben

43 Folgerung Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ: (AB)C = A(BC) (falls definiert) Beweis: Nach Lemma 7 ist Verkettung von Abbildungen assoziativ Bemerkung Die Rechenregeln für das Produkt einer (k n) Matrix mit einem Vektor des R n sowie das Produkt von einer (k n) Matrix und einer (n ) Matrix ist gleich man kann Vektoren als (n ) Matrizen betrachten

44 Vektorraumsstruktur auf der Menge von (m n) Matrizen: Summe von Matrizen Seien A,B (m n)-matrizen über R Wir betrachten die Abbildung f : R n R m, f(v) := Av +Bv Diese Abbildung ist linear Def Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von Matrizen und wird mit A+B bezeichnt Rechenregel: a a n a m a mn + b b n b m b mn = a + b a n + b n a m + b m a mn + b mn Tatsächlich, Wicht Bsp j-te Spalte von A+B = (A+B)(e j ) Def Wicht Bsp = Ae j +Be j = j-te Spalte von A+j-te Spalte von B

45 Multiplikation von Matrizen mit Skalaren Sei A eine (m n) Matrix, λ R Wir betrachten die Abbildung f : R n R m, f(v) := λf A (v) = λ (Av) Die Abbildung ist linear (als Verkettung von zwei linearen Abbildungen) Def Die Matrix dieser Abbildung f heißt das λ-fache von A und wird mit λa bezeichnet Rechenregel: λ a a n λa λa n = a m a mn λa m λa mn Beweis von Rechenregel Wicht Bsp i-te Spalte von λa = λ(a(e i )) Def Wicht Bsp = λae i = λ-faches der i-ten Spalte von A

46 Bemerkung Die Multiplikation mit λ liefert dasselbe Ergebnis wie die Multiplikation von links mit der (m m) Matrix λ λ λ Multiplikation mit dieser Matrix wie wir vorher bewiesen haben multipliziert den Vektor ) mit λ, also ( λ λ (Av) λ A Def von λa = (λa)v v Assoziativität = λ λ (Av) =, weil

47 Vektorraum der Matrizen Bezeichnung Die Menge der (m n)-matrizen werden wir mit Mat(m, n) bezeichnen Aussage Mat(m, n) mit eben definierter Addition und Skalarmultiplikation ist ein Vektorraum der Dimension m n Tatsächlich, wir können eine Matrix folgenden Element aus R nm identifizieren: a a m a 2 a m2 a n a mn a a 2 a n a m a m2 a mn mit dem und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselben wie in R nm Standard-Basis in Mat(m,n): Die Matrizen B ij, deren Einträge bis auf eine an der Stelle (i,j) alle sind ) = B2 Mat(2,3), Bsp: ( = B 3 Mat(3,2)