4 Affine Koordinatensysteme

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1 4 Affine Koordinatensysteme Sei X φ ein affiner Raum und seien p,, p r X Definition: Nach ( c ist der Durchschnitt aller affinen Unterräume Z X, welche die Menge {p,,p r } umfassen, selbst ein affiner Unterraum Man nennt ihn den Verbindungsraum der Punkte p,,p r Man schreibt dafür p p r Im Falle r = und p p ist p p die Verbindungsgerade zwischen p und p (siehe Definitionsgemäß ist p p r der kleinste affine Unterraum von X, welcher {p,,p r } umfaßt Insbesondere ist p p r unabhängig von der Reihenfolge der Punkte p,,p r (4 Bemerkung: T(p p r wird von den Vektoren p p,, p p r erzeugt, dh p p r = p + R p p + + R p p r Anschaulich (r = : p p p entsteht, indem man W = R p p + R p p um den Vektor p verschiebt p v p p p p = p + W p v v v W = Rv + Rv ; v = p p, v = p p (Liegen p, p, p nicht auf einer Geraden, so ist W eine Ebene Beweis: Es ist zu zeigen, dass Y := p + R p p + + R p p r der kleinste affine Unterraum von X ist der {p,,p r } umfaßt, dh:

2 (i {p,,p r } Y (ii Ist Z ein affiner Unterraum von X mit {p,,p r } Z, so ist Y Z Zu (i: Es ist p i = p + p p i Y für i =,,r Zu (ii: Sei Z X affin und {p,,p r } Z Dann ist p p i T(Z für i =,,r, somit W = r R p p i T(Z i= Im Fall r = unterscheiden wir zwei Möglichkeiten p, p und p liegen nicht auf einer Geraden p p p p p p p Dann bilden p p und p p eine Basis von T(p p p In diesem Fall nennt man (p, p, p affin unabhängig p, p und p liegen auf einer Geraden p p p p p p p Dann sind p p und p p linear unabhängig Allgemeiner:

3 Definition: Das (r + -Tupel (p,,p r heißt affin unabhängig, wenn das r-tupel ( p p,, p p r im Vektorraum T(X linear unabhängig ist (Ein einzelner Punkt (r = ist definitionsgemäß affin unabhängig Insbesondere ist r dim X (p,,p r heißt affine Basis von X, wenn ( p p,, p p r eine Basis des Vektorraums T(X ist Ist also (p,,p r eine affine Basis von X, so ist (p,,p r insbesondere affin unabhängig Beispiel: X = R n : (, e,,e n ist eine affine Basis von X = e e n, denn e = e,, e n = e n bilden eine Basis des Vektorraums T(X = R n (4 Bemerkung: dim(p p r r Gleichheit gilt genau dann, wenn (p,,p r affin unabhängig ist Der Begriff affin unabhängig hängt also nicht von der Reihenfolge der Punkte ab Beweis: Nach (4 ist ( p p,, p p r ein Erzeugendensystem des Vektorraums T(p p r Also gilt dim(p p r r Gleichheit gilt genau dann, wenn ( p p,, p p r linear unabhängig ist, dh wenn (p,,p r affin unabhängig ist (43 Bemerkung: Sei (p,,p r affin unabhängig Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a (p,,p r ist eine affine Basis von X b X = p p r c dim X = r Beweis: Nach (4 ist dimp p r = r Also gelten die Implikationen X = p p r dim X = r dim T(X = r ( p p,, p p r ist eine Basis von T(X, dh (p,,p r ist eine affine Basis von X Daraus folgt nach (4, dass X = p + T(X = p + R p p + + R p p r = p p r (44 Satz: a Jeder affine Raum X φ hat eine affine Basis 3

4 b Jedes maximale System affin unabhängiger Punkte in X ist eine affine Basis von X Beweis: a Wähle p X und eine Basis (v,,v r von T(X Setze p i = p + v i, i =,,r Dann ist ( p p,, p p r = (v,,v r eine Basis von T(X, also (p,, p r eine affine Basis von X b Sei (p,,p r ein maximales System affin unabhängiger Punkte in X Sei v T(X beliebig und p := p +v X Dann ist (p,,p r, p affin abhängig, also ( p p,, p p r, p p = ( p p,, p p r, v linear abhängig Somit ist ( p p,, p p r eine Basis von T(X (als maximales System linear unabhängiger Vektoren von T(X; also ist (p,,p r eine affine Basis von X Konstruktion affiner Abbildungen mittels affiner Basen: Seien X und Y affine Räume (45 Satz: Sei (p,,p r eine affine Basis von X und (q,,q r ein r+ Tupel von Punkten aus Y Dann gibt es genau eine affine Abbildung Zusatz: a f(x = q q r f : X Y mit f(p i = q i, i =,,r b Ist f injektiv, so ist (q,, q r affin unabhängig c Genau dann ist f eine Affinität, wenn (q,,q r eine affine Basis von Y ist Beweis: Nach Voraussetzung ist ( p p r,, p p r eine Basis von T(X Daher gibt es genau eine lineare Abbildung l : T(X T(Y mit l( p p i = q q i, i =,, r Nach (3 gilt: Es gibt genau eine affine Abbildung f : X Y mit f(p = q und l = T(f, dh: f(p = q und q q i = l( p p i = f(p f(p i = q f(p i, dh f(p = q und f(p i = q i für i =,,r Beweis des Zusatzes: 4

5 a Nach (34 ist T(f(X = l(t(x = R q q + +R q q r Es folgt nach (4: f(x = q + T(f(X = q + R q q + + R q q r = q q r b Nach (33 ist f genau dann injektiv, wenn T(f injektiv ist Nach Lineare Algebra ist dies genau dann der Fall, wenn ( q q,, q q r linear unabhängig ist, dh wenn (q,,q r affin unabhängig ist c Nach (33 ist f eine Affinität genau dann, wenn T(f ein Isomorphismus von Vektorräumen ist Nach Lineare Algebra ist dies genau der Fall, wenn ( q q,, q q r eine Basis von T(Y ist, dh wenn (q,,q r eine affine Basis von Y ist Beschreibung affiner Abbildungen durch Matrizen: Sei g : R n R m eine affine Abbildung Sie ist gemäß (45 festgelegt durch eine affine Basis (p,,p n von R n und deren Bilder q = g(p,,q n = g(p n Nach dem Beispiel in 3 gibt es einen Vektor b R m und eine m n Matrix A, so dass g(x = b + A x für alle x R n Aufgabe: Bestimme den Vektor b und die Matrix A Lösung: Bestimme die Vektoren w = q q,, w n = q q n und bilde die m n Matrix B mit den Spalten w,,w n Bestimme die Vektoren v = p p,,v n = p p n und bilde die n n Matrix S mit den Spalten v,,v n Es ist dann Se i = v i, i =,,n Da nach Voraussetzung (p,,p n eine affine Basis des R n ist, gilt: S ist invertierbar und (v,,v n ist eine Basis des Vektorraums R n 3 Setze A := BS und b = q Ap Behauptung: g(x = b + Ax für alle x R n Beweis: T(g : R n R m ist linear und T(g(v i = w i für i =,,n Es folgt Av i = B(S v i = Be i = w i = T(g(v i, i =,,n Also ist 5

6 Av = T(g(v für alle v R n und A(x p = A ( p x = T(g( p x = g(p g(x = = q g(x = g(x q, dh g(x = q + A (x p = q A p + Ax = b + A x für alle x R n 4 Rechenbeispiel: p =, p =, p = 3, p 3 = eine affine Basis des R 3, denn die Vektoren v = p p =, v 3 = p p 3 = 4 4 sind linear unabhängig: 7 6 bilden, v = p p = Daher existiert( eine affine Abbildung ( g : R 3 R mit ( g(p = q =, g(p = q =, g(p = q =, g(p 3 = ( q 3 = w = ( q q =, w = ( q q =, w 3 = ( q q 3 = 4 Invertiere S = (v, v, v 3 :

7 ( Also ist A = = ( ( ( und b = q A 9 = = und 6 7 x ( ( x g x 9 8 = + x = x 3 x 3 ( ( 8x + x x 3 9 3x 6x + 7x Das Teilverhältnis: Sei X ein affiner Raum und g X eine Gerade Seien p, p, p Punkte auf g mit p p Also ist g = p p und p o p T(g = R p p Also gibt es ein λ R mit p p = λ p p Definition: λ heißt das Teilverhältnis von p, p, p; schreibe dafür TV (p, p, p p heißt Mittelpunkt von (p p, wenn TV (p, p, p =, dh p p p p p p p Offenbar haben (p, p und (p, p den gleichen Mittelpunkt (46 Satz: Bei injektiven affinen Abbildungen bleibt das Teilverhältnis erhalten Insbesondere werden Mittelpunkte auf Mittelpunkte abgebildet Beweis: Sei f : X Y affin Liegen p, p, p auf einer Geraden g und ist p p, so ist f(g eine Gerade und f(p f(p Es ist zu zeigen, dass λ := T(V (p, p, p = TV (f(p, f(p, f(p Beweis: Es ist p p = λ p p Da T(f linear ist, folgt f(p f(p = T(f( p p = λt(f( p p = λ f(p f(p, dh λ = TV (f(p, f(p, f(p Anwendungen: 7

8 a Behauptung: Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, und sie teilen sich dort im Verhältnis : (Langer Teil liegt bei der Ecke Beweis: Die Ecken eines Dreiecks bilden offenbar eine affine Basis (p, p, p Wir zeigen zunächst: Gilt die Behauptung für ein spezielles Dreieck = (q, q, q so gilt sie für jedes Dreieck Beweis: Sei f : R R die Affinität mit f(q i = p i, i =,, Da das Teilverhältnis erhalten bleibt gilt: Seitenmitten werden auf Seitenmitten abgebildet Es folgt: Seitenhalbierende werden auf Seitenhalbierende abgebildet Es folgt: Gehen die Seitenhalbierenden von durch den Punkt m, so gehen die Seitenhalbierenden von durch m = f(m Da f das Teilverhältnis erhält, folgt schließlich: Die Seitenhalbierenden von teilen sich im Punkt m im gleichen Verhältnis wie die Seitenhalbierenden von im Punkt m 8

9 Es genügt also, ein spezielles Dreieck zu finden, für das die Behauptung stimmt ( q = ( ( q = ( q 3 = ( ( Offenbar liegt auf allen drei Seitenhalbierenden und das Teilverhältnis ist jeweils : 9

10 b Der Strahlensatz: Sei (p, p, p eine affine Basis des R, q p p, q p p mit q q q p p q p Ist q q p p, so ist TV (p, p, q = TV (p, p, q Beweis: Da (p, p, p eine affine Basis von R ist, hat man eine Affinität f : R R, p, e p, e p e ( µ f p q p ( λ e q p ( ( λ Sei = f (q und = f µ (q Bei einer Affinität gehen parallele Geraden in parallele Geraden über Also ist

11 ( ( λ µ ( ( λ µ ( ( = f (q q f (p p =, dh ( (( ( ( λ = T = R µ Es folgt λ = µ Es ist nun TV (, (, ( λ = λ = µ = TV Da f das Teilverhältnis nicht ändert, folgt (, TV (p, p, q = TV (p, p, q (, ( µ Affinkombinationen Definition: Seien p,,p m R n Ein Punkt p R n heißt Affinkombination von p,,p m, wenn es reelle Zahlen λ,,λ m gibt mit λ + + λ m = und p = λ p + + λ m p m (47 Satz: Der Verbindungsraum X = p p p m ist die Menge der Affinkombinationen von p,, p m Beweis: Nach 4 ist X = p + R p p + + R p p m Ist p X, so ist p = p + m i= λ i p p i = p + (λ p λ p + + (λ m p m λ m p = = ( λ λ m p + λ p + + λ m p m Setze λ := λ λ m Dann ist λ + λ + + λ m = und p = λ p + + λ m p m

12 Sei umgekehrt λ + λ + + λ m = und p = λ p + + λ m p m Dann ist λ = λ λ m und p = ( λ λ λ m p + λ p + + λ m p m m = p + λ (p p + + λ m (p m p = p + λ i p p m X Spezialfall m = : Nach 47 hat die Gerade p p die Darstellung p p = {λp + ( λp λ R} Anwendungen: Seien X, Y R n affine Unterräume Aufgabe : Y sei gegeben durch ein lineares GLS Wie stellt man Y als Menge von Affinkombinationen einer endlichen Punktmenge dar? i= Mit Hilfe des Gauß Algorithmus bestimme man eine Basis v,,v m von T(Y = Lösungsraum des zugehörigen homogenen linearen GLS Bestimme eine spezielle Lösung p Y des vorliegenden GLS Dann ist Y = p + Rv + + Rv m, dh man hat eine Parameterdarstellung von Y, Y = {p + λ v + + λ m v m λ,,λ m R} Setze nun p := p + v,, p m := p + v m Dann gilt Y = p p m = {λ p + + λ m p m λ + + λ m = } Rechenbeispiel: Man stelle die affine Ebene Y R 3, Y = x + x 3x 3 = als Menge von Affinkombinationen dar Berechne eine Basis von T(Y = Lös (x + x 3x 3 = x 3 =, x = impliziert x = ; x 3 =, x = impliziert x 3 = 3 Also bilden v =,v = eine Basis von T(Y

13 x = x 3 =, x = ist eine spezielle Lösung von x + x 3x 3 =, dh p = Y Es ergibt sich die Parameterdarstellung λ + 3λ A = {p + λ v + λ v λ, λ R} = λ λ, λ R λ 3 Setze p = p + v = und p = p + v = Dann ist (p, p, p eine affine Basis von Y und 3 Y = {λ + λ + λ λ + λ + λ = } Aufgabe : Man berechne eine Parameterdarstellung für den Durchschnitt X Y und stelle X Y durch Affinkombinationen dar a Sind X und Y jeweils durch eine Parameterdarstellung gegeben, so bestimme man Gleichungssystem für X und Y (Dieser Teil entfällt, wenn X und Y bereits durch GLS definiert sind b Sei nun X = {x Ax ( = a}, Y ( = {x Bx = b} Dann ist A a X Y = {x R n x = } B b ( ( A a c Wie bei Aufgabe löse man nun das GLS x = und erhält B b daraus eine Parameterdarstellung von X Y und schließlich die Darstellung als Affinkombinationen Rechenbeispiel: Sei X := + R + R Y : 3x x + 3x 3 = 3 R 3 3

14 a Bestimme eine Gleichung für die Ebene X T(X = R ( + R ( = V Berechne V :, also ist V = R V = T(X : x + x =, X : x + x = b Setze X ein, erhalte b = + =, somit X : x + x = X Y ist also die Lösungsmenge des GLS ( x + x = 3x x + 3x 3 = 3 ( Lösungsraum des homogenen Systems: R Spezielle Lösung: Setze p = X Y = Also gilt und, x 3 = freie Variable + R und p = p = X Y = {λ p + λ p λ + λ = } Dann ist 4

15 Aufgabe 3: Man bestimme eine Parameterdarstellung und ein lineares GLS von X Y a Falls X oder Y durch ein lineares GLS gegeben ist, bestimme man zuerst eine Parameterdarstellung von X bzw Y X = p + Rv + + Rv m Y = q + Rw + + Rw l b Gemäß 8 gilt: Falls X Y φ : T(X Y = m Rv i + l Rw j Falls X Y = φ : T(X Y = R(q p + Rv i + Rw j Auch im ersten Fall ist v = q p T(X Y In jedem Fall gilt also: i= j= T(X Y = R(q p + Rv i + Rw j Also hat man eine Parameterdarstellung X Y = p + Rv + Rv i + Rw j c Wie in beschrieben berechnet man aus der Parameterdarstellung ein lineares GLS für X Y Rechenbeispiel: X und Y seien die Lösungsmengen der GLSe x + x = 3x x + 3x 3 = 3, bzw a ( 3 3 x + x + x 3 = x + x x 3 = ( 7 3, also ist T(X = R

16 ( ( Dann ist auch T(X + T(Y und T(X + T(Y = R + R, also ist T(Y = R Bestimme zuerst X Y : x = 4, also X Y = {p 7 }, p = X = p + R Y = p + R x 3 =, x = 9 7, Es folgt: X Y = p + T(X + T(Y = p + R + R c T(X Y = U = R + R 6

17 ( Bestimme U : U = R Damit ist U = T(X Y Lösungsmenge der Gleichung x + x =, und Wegen p = 4/7 9/7 X Y : x + x = c X Y folgt c = = und X Y : x + x = 7