Lineare Gleichungssysteme

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1 Lineare Gleichungssysteme Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 27/28 Definition (a ij ) 1 j n 1 i n heiÿt eine m n-matrix mit Komponenten a ij K Dabei bezeichnet i den Zeilenindex und j den Spaltenindex Betrachtet man die m Zeilen als n-tupel v 1,, v m, dann nennt man span(v 1,, v m ) den Zeilenraum der Matrix Entsprechend bilden die n Spalten als m-tupel den Spaltenraum der Matrix dim K (span(v 1,, v n )) heiÿt der Zeilenrang von (a ij ) und dim K (span(w 1,, w m )) der Spaltenrang Der Zeilenraum von (a ij ) ändert sich nicht bei (a) Multiplikation der i-ten Zeile mit λ (b) Addieren eines λ-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile (wobei i j) (c) Vertauschen der i-ten mit der j-ten Zeile Behauptung Durch iterierte Anwendung von (a)-(c) kann man jede Matrix in eine Stufenmatrix der folgenden Gestalt überführen: Beschreibung des Gauÿ-Algorithmus (1) Suche erste Spalte j 1 mit einem a ij1 (2) Dividiere die i-te Zeile durch a ij1, vertausche sie mit der ersten Zeile und mache mit (b) alle anderen Komponenten der j 1 -ten Spalte zu (3) Suche eine Spalte j 2 rechts von j 1 mit einem a ij2 für i 1 (4) Dividiere die i-te Zeile durch a ij2, vertausche sie mit der zweiten Zeile und mache mit (b) alle anderen Komponenten der j 2 -ten Spalte zu (5) Suche eine Spalte j 3 rechts von j 2 mit einem a ij3 für i 1, 2 (6) usw Behauptung Die ersten r Zeilen der neuen Matrix sind linear unabhängig r Seien w i = (b i1,, b in ) die ersten r Zeilen der neuen Matrix, i = 1,, r Dann Also α 1 = = α r = = α 1 w α r w r = (,,, α 1,,,, α 2,,, α 3 j 1 j 2 j 3,, α r j r, ) Folgerung Die (neuen) ersten r Zeilen bilden eine Basis des Zeilenraums

2 Definition Seien K ein Körper, a ij K, X 1,, X n Unbestimmte Das System ( ) a 11 X a 1n X n = a m1 X a mn X n = heiÿt ein homogenes (lineares) Gleichungssystem (über K) in den Unbestimmten X 1,, X n Die zugehörige Koezientenmatrix ist (a ij ) 1 j n 1 i m := a 11 a 1n a m1 a mn Beispiele (1) ( x 1 + 2x 2 = 1 2 x 1 x 2 = 1 1 ) = x 1 = x 2 = (2) x 1 + 2x 2 = hat als Lösungsmenge alle Vektoren (x 1, x 2 ) R 2 mit (x 1, x 2 ) (1, 2) Diese ist gerade R(2, 1) (3) x 1 + 2x 2 = x 1 + 2x 2 + x 3 = hat als Lösungsmenge {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x (1, 2, ) und x (1, 2, 1)} Die Lösungsmenge von ( ) ist gerade {(x 1,, x n ) K n (x 1,, x n ) (a i1,, a in ) für i = 1,, m} x löst ( ) a 11 X a 1n X n = a m1 X a mn X n = a 11 a 1n a m1 a mn x 1 x m A (i) x = für jede Zeile A (i) A (i) x für jede Zeile A (i) = Definition Sei K ein Körper, n N Dann setzen wir (a 1,, a n ) (b 1,, b n ) := a 1 b a n b n Wir schreiben a b für a b = Für M K n setzen wir M := {x K n x a für alle a M} (1) Für K = R ist das euklidische Skalarprodukt (2) Für K = C ist nicht das Hermitesche Skalarprodukt, denn zb ist (1, i) (1, i) = i ( i) = 2 = i i = (1, i) (1, i)

3 Behauptung Für gelten folgende Rechenregeln: (1) a b = b a (2) (αa + α a ) b = α(a b) + α (a b) (3) a b αa βb (1) a b = (a 1,, a n ) (b 1,, b n ) = a 1 b a n b n = b 1 a b n a n = (b 1,, b n ) (a 1,, a n ) = b a (2) (αa + α a ) b = α(a b) = (αa 1 + α a αa n + α a n) (b 1,, b n ) = αa 1 b 1 + α a 1b αa n b n + α a nb n = α(a 1 b a n b n ) + α (a 1b a nb n ) = α(a 1,, a n ) b + α (a 1,, a n) b = α(a b) + α (a b) (3) a b a b = (αa) (βb) = α(a (βb)) = α((βb) a) = αβ(b a) = αβ(a b) = αβ = (αa) (βb) Lemma Für M K n ist M ein Untervektorraum des K n und M = (span(m)) Seien x, y M, α K Dann gilt: (1) a = a für alle a M, also M (2) (x a = und y a = ) x a + y a = (x + y) a = x + y M (3) x a = (αx) a = αx M Also ist M ein Untervektorraum des K n Weiter gilt: M span(m) M (span(m)) und umgekehrt x a = für alle a M x (α 1 a α m a m ) = für alle a 1,, a m M, α 1,, α m K M )(span(m)) Folgerung Bezeichne M den Zeilenraum von (a ij ) Dann ist der Vektorraum M gerade die Lösungsmenge von ( ) M wir der Lösungsraum von ( ) genannt Bestimmung einer Basis des Lösungsraums von ( ) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem ( ) a 11 X a 1n X n = a m1 X a mn X n = mit zugehöriger Koezientenmatrix (a ij ) := a 11 a 1n a m1 a mn Durch elementare Zeilenumformungen (a)-(c) wird (a ij ) auf Stufenform transformiert: j 1 j 2 j 3 j r k 1 k 2 k 3 k 4 k n r r =: (a ij),

4 dh {1,, n} = {j 1,, j r } {k 1,, k n r } Dann hat das zu (a ij ) gehörige Gleichungssystem ( ) X j1 + a 1k 1 X k1 + + a 1k n r X kn r = X j1 + a 2k 1 X k1 + + a 2k n r X kn r = X jr + a rk 1 X k1 + + a rk n r X kn r = den gleichen Lösungsraum wie ( ) Spezielle Lösungen (x 1,, x n ) K n von ( ) sind dann: (1) x k1 = 1, x jl = a lk 1 (2) x k2 = 1, x jl = a lk 2 (n r) x kn r = 1, x jl = a lk n r für 1 l r, x i = sonst Wir bezeichnen diese Lösungen mit c (1),, c (n r), dh es gilt: c (i) := (c (i) 1,, c(i) n ) mit c (i) k i = 1, c (i) j l = a lk i für 1 l r und c (i) k s = für s i Lemma (c (1),, c (n r) ) ist eine Basis des Lösungsraums von ( ) bzw ( ) (1) Lineare Unabhängigkeit: (,, ) = (α 1 c (1) + + α n r c (n r) ) = (, α 1 k 1,, α n r, ) α 1 = = α n r = k n r (2) Erzeugendensystem: Sei b = (b 1,, b n ) eine beliebige Lösung von ( ) Dann ist auch x = (x 1,, x n ) := b b k1 c (1) b k,n r c n r eine Lösung von ( ), also x ki = für alle k i Da x auch ( ) löst, sind auch alle x jl =, dh x = Also b = b k1 c (1) + + b k,n r c n r Beispiel , k 1 j 1 j 2 k 2 k 3 j 3 = k 1 k 2 k 3 c (1) = (1,,,,, ) c (2) = (, 5, 1, 1,, ) c (3) = (, 1, 3,, 1, ) Beispiel x 1 + 2x 2 x 3 2x 4 x 6 = 2x 1 + 2x 2 2x 3 x 4 + x 5 + 2x 6 = 2x 1 + 4x 2 + (5/2)x 3 + 4x 4 2x 5 + 2x 6 = x 1 x 3 x 4 + x 6 =

5 Spezielle Lösungen sind c (1) = ( 5 6, 1 4, 4 ) 3, 1 2, 1, (5/2) (9/2) (3/2) (1/2) 2 (9/2) (25/9) (5/9) (35/9) 1 (3/2) (1/2) 2 1 (16/9) (4/9) (8/9) (5/6) (1/9) 1 (1/4) (1/2) 1 (4/3) (8/9) 1 (1/2) 1 und c (2) = ( 19, 12, 89 ), 1,, 1 Ein homogenes Gleichungssystem ( ) in n Unbestimmten besitzt genau dann nur die triviale Lösung (x 1 =,, x n = ), wenn der Spaltenrang der zugehörigen Koezientenmatrix n beträgt ( ) ist genau dann nur trivial lösbar, wenn der Lösungsraum von ( ) der Nullraum ist Da die einzige Basis des Nullraums die leere Menge ist, kann es keine Lösungen der Gestalt c (i) geben, dh n = r Lemma Für jeden Untervektorraum des K n gilt: (1) dim U + dim U = n (2) (U ) = U (1) Sei U = span(v 1,, v m ) mit v i = (a i1,, a in ) Dann gilt: dim U = n Zeilenrang von (a ij ) = n dim span(v 1,, v m ) = n dim U (2) u U u v für alle v U u (U ) U (U ) Wegen dim U + dim U = n und dim U + dim(u ) = n folgt dim U = dim(u ) Also (U ) = U Definition Sei U ein Untervektorraum von V Für v V heiÿt v + U := {v + u u U} der um v verschobene (ane) Unterraum Also ist v + U genau dann ein Untervektorraum von V, wenn v U

6 Definition Seien K ein Körper, a ij, b i K, X 1,, X n Unbestimmte Das System (+) a 11 X a 1n X n = b 1 a m1 X a mn X n = b m heiÿt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem (über K) in den Unbestimmten X 1,, X n mit einfacher Koezientenmatrix a 11 a 1n (a ij ) := a m1 a mn und erweiterter Koezientenmatrix Das System ( ) (a ij b i ) := heiÿt das zugehörige homogene System a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b m a 11 X a 1n X n = a m1 X a mn X n = Sei A = (a ij ) die einfache Matrix von (+) A (i) bezeichne die i-te Zeile von A und X = (X 1,, X n ) dann besagt (+) gerade: A 1 X = b 1,, A m X = b m Lemma Bezeichne M den Lösungsraum von ( ) Sei x eine spezielle Lösung von (+) Dann ist der Lösungsraum von (+) gerade der ane Raum x + M x K n löst (+) A 1 x = b 1,, A m x = b m A 1 x = A 1 x,, A m x = A m x A 1 (x x ) =,, A m (x x ) = x x M x x + M Bezeichne (A (i), b i ) die i-te Zeile der erweiterten Matrix (a ij b i ) und (X, X n+1 ) = (X 1,, X n, X n+1 ) Betrachte das homogene System (++) (A 1, b 1 ) (X, X n+1 ) =,, (A m, b m ) (X, X n+1 ) = Dann gilt: x = (x 1,, x n ) löst (+) (x, 1) löst (++) a i1 x a in x n = b i a i1 x a in x n + b i ( 1) =

7 Wir betrachten die erweiterte Matrix (a ij b i ) Durch elementare Zeilenumformungen erhalten wir 1 b 1 1 b r =: (a ij b i) b r+1 b m j 1 j r (+) ist genau dann lösbar, wenn b r+1 =,, b m = Eine spezielle Lösung ist dann x = (,,, b 1,,,, b r,,, ) : Seien b r+1,, b m = Dann löst x := (x, 1) das homogene System (++), denn? + +? + b 11 +? + +? + b 2 +? + + +? + b r +? + +? b 1 =? + +? + b 1 +? + +? + b 21 +? + + +? + b r +? + +? b 2 =? + +? + b 1 +? + +? + b 2 +? + + +? + b r1 +? + +? b 3 = Also löst x das System (+) und damit auch (+) : Sei etwa b r+1 Wir multiplizieren die (r + 1)-te Zeile mit (b r+1) 1 und erreichen: 1 b 1 1 b r 1 b m Also fordert die (r + 1)-te Zeile des zugehörigen inhomogenen Gleichungssystems: Widerspruch = X 1 + X X n = 1, Das inhomogene lineare Gleichungssystem (+) ist genau dann lösbar, wenn der Zeilenrang von (a ij ) mit dem Zeilenrang von (a ij b i ) übereinstimmt Wir zeigen: b r+1 =,, b m = Zeilenrang(a ij ) = Zeilenrang(a ij b i ) : Klar : Sei (etwa) b r+1 Zeilenrang(a ij b i ) = r + 1 > r = Zeilenrang(a ij )

8 Definition (+) heiÿt universell lösbar, falls (+) bei jeder Wahl der b i lösbar ist (+) heiÿt eindeutig lösbar, falls (+) zu jeder Wahl der b i höchstens eine Lösung hat Beachte also: Ein System, das für gar keine Wahl der b i lösbar ist, wird auch eindeutig lösbar genannt (+) ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Spaltenrang von (a ij ) gleich der Spaltenzahl n ist (+) ist genau dann universell lösbar, wenn der Zeilenrang von (a ij ) gleich der Zeilenzahl m ist Eindeutiger Fall: Für b 1,, b m K beliebig gilt: Spaltenrang(a ij ) = n ( ) ist nur trivial lösbar Also ist die Lösungsmenge von (+) entweder x + {} = x oder Universeller Fall: : Zeilenrang(a ij ) = r = Zeilenzahl = m Zeilenrang(a ij b i ) = r = Zeilenrang(a ij ) : Sei der Zeilenrang r von (a ij ) kleiner als die Zeilenzahl m Wir bezeichnen die r linear unabhängigen Zeilen von (a ij ) mit A (i1),, A (ir) 1, i=i Wähle i {1,, m}\{i 1,, i r } und setze b i := {, i i Dann (A (i), 1) / span((a (i1), ),, (A ir, )), dh der Zeilenrang(a ij b i ) > r = Zeilenrang(a ij ), also ist (+) nicht lösbar