Lineare Gleichungssysteme

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1 Kapitel 2 Lineare Gleichungssysteme 2 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Lernziele 2 Lineare Gleichungssysteme definieren Matrizen, Matrizen definieren lineare Abbildungen, Lösen von linearen Gleichungssystemen = Faserbestimmung der zugehörigen linearen Abbildung Zunächst wollen wir klären, was wir unter einem Gleichungssystem verstehen und was es bedeutet, ein Gleichungssystem zu lösen Bemerkung 2 Seien M, N Mengen und f : M N eine Abbildung Für jedes n N ist das zu f und n gehörige Gleichungssystem gegeben durch f(m) = n, und seine Lösungsmenge ist gerade die Faser f ({n}) = {m M f(m) = n} Das Lösen eines Gleichungssystems ist Bestimmung einer Faser einer Abbildung f Das Gleichungssystem f(m) = n für die Abbildung f : M N ist Immer lösbar, dh für jede rechte Seite n N, genau dann wenn f surjektiv ist Immer eindeutig lösbar genau dann wenn f bijektiv ist Ist f injektiv so hat für jedes n N das Gleichungssystem f(m) = n höchstens eine Lösung 9

2 20 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Beispiel M = N = R 2 = {(x, y) x, y R} f : M N, (x, y) (x 2 + y 2, x + 3y) Gesucht ist f ({(, )}) Wir suchen also die Paare (x, y) R 2 mit x 2 + y 2 = und x + 3y = Man rechnet leicht nach, dass dieses Gleichungssystem genau 2 Lösungen hat, die man als Schnittpunkte von einem Kreis und einer Gerade finden kann Beispiel 22 Wir betrachten folgendes lineares Gleichungssystem für (a, b, c) R 3 : ( ) 2b + c = 2a 2b + c = 2 Zu diesem linearen Gleichungssystem gehört eine reelle 2 3-Matrix, also ein rechteckiges Zahlenschema: ( 0 2 ) 2 2 Eine andere Betrachtungsweise ist es, dem Gleichungssystem (oder der Matrix) eine Abbildung zuzuordnen: α : R 3 R 2 : (a, b, c) ( 2b + c, 2a 2b + c) Dann bilden die Lösungen von ( ) gerade die Faser α ({(, 2)}) von α über (, 2) Definition 23 Ein lineares Gleichungssystem über dem Körper K mit m Gleichungen und n Unbestimmten x,, x n ist gegeben durch ( ) a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m wobei A = (a i,j ) K m n eine (fest vorgegebene) Matrix ist und b = b K m eine (fest vorgegebene) Spalte A heißt die Matrix von ( ), (A b) K m (n+) die erweiterte Matrix von ( ) Dabei ist (A b) definiert als (A, b) : m n + K : (i, j) { a ij j n b i j = n + c Eine Lösung von ( ) ist eine Spalte v := K n, derart, daß durch Einsetzen von c i für x i in ( ) für i =,, n alle m Gleichungen von ( ) erfüllt sind Das Gleichungssystem heißt homogen, falls b = = b m = 0 und inhomogen, falls mindestens ein b i 0 c n b m

3 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 2 Beispiel 24 Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem über R ( ) x + 3x 2 4x 3 + x 4 = 0 x x 2 + 8x 3 x 4 = 2 2x + 8x 2 4x 3 + 3x 4 = 3 Die erweiterte Matrix des Gleichungssystems ist Wir geben jetzt eine Abbildung von K n nach K m an, so daß die Lösungsmenge von ( ) die Faser dieser Abbildung über b ist Dafür brauchen wir ( ) nur zu kopieren: Definition 25 Sei A : m n K : (i, j) a ij eine m n-matrix, kurz A = (a ij ) K m n Die von A induzierte Abbildung ϕ A : K n K m c 2 c 2 : v = Av = A c c c n c n ist definiert durch ϕ A ( c c 2 ) := A c c 2 := a c + a 2 c a n c n a 2 c + a 22 c a 2n c n c n c n a m c + a m2 c a mn c n Ac heißt das Produkt der Matrix A mit der Spalte v Wir sehen also, dass ϕ A (v) dem Einsetzen der Einträge in der Spalte v in die linke Seite des Gleichungssystems entspricht Wir wollen nun verstehen, warum man ϕ A eine lineare Abbildung nennt Bemerkung 26 Seien A, v, ϕ A wie in Definition 25 Dann gilt: ) ϕ A (v) = Av = c S + c 2 S 2 + c n S n

4 22 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ist eine Linearkombination der Spalten S j := a j a 2j a mj von A mit den Koeffizienten c j, j =,, n Insbesondere ist das Gleichungssystem ( ) genau dann lösbar, wenn man die Spalte b als Linearkombination der Spalten von A darstellen kann 2) Die Matrix I n := : n n K : (i, j) δ ij := { falls i = j 0 falls i j heißt die Einheitsmatrix vom Grad n über K Sie induziert die Identität von K n als lineare Abbildung: ϕ In = Id K n In Definition 25 haben wir ϕ A als lineare Abbildung bezeichnet Wir definieren diesen Begriff nun ganz allgemein für Vektorräume Definition 27 Seien V und W Vektorräume über demselben Körper K Eine Abbildung ϕ : V W heißt linear, oder ein K- Homomorphismus, falls für alle u, v V und alle a, b K gilt ϕ(au + bv) = aϕ(u) + bϕ(v) Lemma 28 Sei A K m n Die von A induzierte Abbildung ϕ A : K n K m : v Av ist eine lineare Abbildung Bew: Übung (siehe Blatt 3) Man sieht, wie speziell lineare Abbildungen sind Trotzdem sind sie wichtig, denn sie kommen sehr häufig vor, sowohl in der Praxis als auch in der Theorie ZB versucht die Differentialrechnung eine sehr viel allgemeinere Klasse von Abbildungen K n K m durch lineare Abbildungen zu approximieren Ein großer Vorteil der linearen Abbildungen ist nämlich, daß sie vergleichsweise leicht zu handhaben sind

5 22 MATRIXMULTIPLIKATION Matrixmultiplikation Lernziele 3 Produkte von Matrizen und Komposition von linearen Abbildungen, injektive, surjektive und bijektive lineare Abbildungen Wir haben die Matrixmultiplikation bereits im Propädeutikum kennengelernt Warum wurde das Matrixprodukt so definiert? Definition 29 Seien A K m n, B K n l Matrizen Das Matrixprodukt von A und B ist definiert als die Matrix AB K m l mit den Spalten AS j für j =,, l, wobei S j die j-te Spalte der Matrix B ist, dh S j = a j a mj Es stellt sich jetzt ganz allgemein die Frage, ob Kompositionen linearer Abbildungen zwischen Spaltenvektorräumen linear sind und sich wieder als ϕ C für gewisse Matrizen C darstellen lassen Der folgende Satz zeigt, dass dies der Fall ist und gibt uns eine Erklärung, warum das Matrixprodukt wie oben definiert ist Satz 20 Seien A K m n, B K n l und ϕ A : K n K m und ϕ B : K l K n die induzierten linearen Abbildungen Dann gilt: (a) Die Komposition ϕ A ϕ B der linearen Abbildungen ϕ A und ϕ B ist wieder eine lineare Abbildung, ϕ A ϕ B : K l K m (b) Es gilt ϕ A ϕ B = ϕ AB Beweis (a) ϕ A ϕ B ist linear Bew: Seien a, b K, u, v K l Dann gilt (ϕ A ϕ B )(au + bv) = ϕ A (ϕ B (au + bv)) = ϕ A (aϕ B (u) + bϕ B (v)) = aϕ A (ϕ B (u)) + bϕ A (ϕ B (v)) = a(ϕ A ϕ B )(u) + b(ϕ A ϕ B )(v)

6 24 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (b) Ist γ : K l K m eine lineare Abbildung, so ist γ = ϕ G, wobei die Matrix G K m l die Spalten γ(e j ) hat, wobei e j die j-te Spalte von I l ist (Siehe Blatt 3) Sei nun C die Matrix, die ϕ A ϕ B induziert Dann müssen wir zeigen, dass C = AB Sei T j die j-te Spalte von C und S j die j-te Spalte von B Um zu zeigen, dass C = AB, müssen wir nach Definition 29 nur zeigen, dass T j = AS j, für j =,, l Bew: T j = (ϕ A ϕ B )(e j ) = ϕ A (ϕ B (e j )) = ϕ A (S j ) = AS j, womit der Satz bewiesen ist q e d Wir wollen Injektivität, Surjektivität und Bijektivität im Zusammenhang mit linearen Abbildungen und Matrizen wiederholen Lemma 2 Sei A K m n Dann gilt: ) ϕ A ist genau dann injektiv, wenn die Faser von ϕ A über der Nullspalte 0 m K m nur aus der Nullspalte 0 n K n besteht 2) ϕ A ist genau dann surjektiv, wenn sich alle Spalten aus K m aus den Spalten von A linearkombinieren lassen Beweis ) : Da ϕ A injektiv, enthält jede Faser von ϕ A höchstens ein Element, also gilt dies insbesondere für die Faser von 0 m : Seien u, v K n mit ϕ A (u) = ϕ A (v) Dann ist ϕ A (u v) = 0 m, also u v = 0 n, dh u = v 2) : Da ϕ A surjektiv, ist keine Faser von ϕ A leer Sei also w K m Dann existiert ein v K n mit ϕ A (v) = w Nun ist aber ϕ A (v) eine Linearkombination der Spalten von A nach Bemerkung 26 : Sei w K m Da sich w aus den Spalten S j von A linearkombinieren läßt, existieren c,, c n mit w = c S + +c n S n Setze v = c Also ist w = Av = ϕ A (v) und somit ist ϕ A surjektiv q e d c n Bemerkung 22 Sei ϕ A injektiv Dann besteht die Faser von ϕ A über der Nullspalte 0 m K m nur aus der Nullspalte 0 n K n Das bedeutet, dass 0 m sich nur trivial, dh nur mit Nullen als Koeffizienten, aus den Spalten von A linearkombinieren läßt Zuallererst müssen wir eine wichtige Folgerung aus der Assoziativität der Komposition von Abbildungen, vgl Gleichung (), für die Assoziativität der Matrixmultiplikation ziehen

7 23 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 25 Korollar 23 Matrixmultiplikation ist assoziativ, genauer: Sind A K m n, B K n l, C K l p, so gilt: (AB)C = A(BC) Beweis ϕ (AB)C = ϕ (AB) ϕ C (20) = (ϕ A ϕ B ) ϕ C (20) = ϕ A (ϕ B ϕ C ) () = ϕ A ϕ BC (20) = ϕ A(BC) (20) q e d Beim Verständnis der Matrixmultiplikation helfen uns Zeilen auch weiter Wenn wir die beiden Beweise des Satzes 20 analysieren, so kommen wir zu dem Schluß, daß der erste Beweis spaltenorientiert war, der Substitutionsbeweis aber zeilenorientiert Die folgende Bemerkung gibt ein ausgewogenes Bild Bemerkung 24 Sei A K m n, B K n l und C = AB K m l Weiter bezeichne Z i := (a i,, a in ) K n die i-te Zeile von A und S j K n die j-te Spalte von B gilt: ) c ij = Z i S j (Zeile mal Spalte) 2) die j-te Spalte von C ist AS j (spaltenorientiert) 3) die i-te Zeile von C ist Z i B (zeilenorientiert) Beweis Übung q e d 23 Der Gaußsche Algorithmus Lernziele 4 Gaußsches Eliminationsverfahren mit Anwendungen auf Bestimmung von Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme, Invertieren von Matrizen, Transponieren von Matrizen Wir wollen ein Verfahren kennenlernen (oder für die meisten wiederholen), welches die Faser über einem Punkt im Bildbereich unter der linearen Abbildung bestimmt Es handelt

8 26 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME sich um den Gaußschen Algorithmus, den Carl Friedrich Gauß vor etwa 200 Jahren für die Behandlung astronomischer Fragestellungen entwickelt hat Es hat sich gezeigt, daß man dieses Verfahren schon vor 2000 Jahren in China kannte, ist dort aber wohl wieder in Vergessenheit geraten Unsere Ausgangssituation ist das lineare Gleichungssystem ( ) Ax = b mit A K m n und b K m fest vorgegeben Gesucht ist die Faser von ϕ A über b, also alle x K n, die ( ) erfüllen Ausgeschrieben haben wir also ( ) a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m Statt dies immer auszuschreiben, arbeiten wir einfach mit der erweiterten Matrix (A b) des linearen Gleichungssystems Der senkrechte Strich deutet an, wo die Matrix des Gleichungssystems aufhört und die rechte Seite anfängt Es versteht sich von selbst, daß nicht alle linearen Probleme gleich in dieser Gestalt gegeben sind, sondern daß man manchmal etwas dafür arbeiten muß, damit man diese Gestalt erhält Zuerst beobachten wir, dass man in manchen Situationen die Lösungen eines Gleichungssystems fast direkt ablesen kann Hier ist ein Beispiel: Beispiel 25 x + 3x 2 4x 3 + x 4 = 0 x 2 + 2x 3 = x 3 + x 4 = x 4 = Dann sehen wir sofort, dass die Lösungen des Gleichungssystems die folgende Menge ist: 4 L = { 0 } Definition 26 Sei A K m n eine Matrix mit den Zeilen Z,, Z m ) Für i m ist der i-te Stufenindex St i (A) definiert als St i (A) := min{j n A ij 0} Falls Z i die Nullzeile ist, setzen wir St i (A) := n + i 2) A ist in Stufenform, falls die Folge St(A) := (St (A), St 2 (A),, St s (A)) Fang-Cheng-Algorithmus, vgl P Gabriel: Matrizen, Geometrie, lineare Algebra

9 23 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 27 streng monoton ansteigt, dh St (A) < St 2 (A) < < St s (A) Falls zusätzlich noch für jeden Stufenindex j := St i (A) n für die entsprechende Spalte S j von A gilt, dass S j die i-te Spalte von I m ist, so ist A in strikter Stufenform Beispiel 27 hat zugeordnete Matrix x + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 2x + 4x 2 + 4x x 4 = 3 ( hat Stufenfolge (, ), ist also nicht in Stufenform Hingegen ) ( hat Stufenfolge (, 3), ist also in Stufenform, jedoch nicht in strikter Stufenform Letztere liegt bei ( ) vor, wo die Stufenspalten entsprechende Einheitsspalten sind Das zugehörige lineare Gleichungssystem ist x + 2x 2 = 2 x 3 + 7x 4 = 2 Dieses Gleichungssystem kann man nun sehr leicht lösen: Man fügt für jeden Nichtstufenindex einen Parameter p i K und eine neue Gleichung ein Im vorliegenden Fall: x 2 = p, x 4 = p 2 Durch Addition geeigneter Vielfache dieser neuen Gleichungen bringt man das neue Gleichungssystem in die strikte Stufengestalt und kann alle Lösungen ablesen: x + 2x 2 = x 3 + 7x 4 = x 2 = p p x 4 = p p 2 Also p p p p 2 also ) x = 2 2p x 2 = p x 3 = 2 7p 2 x 4 = p 2 mit p, p 2 R beliebig Bei einem linearen Gleichungssystem in Stufengestalt ist somit die Gesamtheit der Lösungen ablesbar Leider ist nicht jedes Gleichungssystem in dieser Form gegeben Hier ist eine

10 28 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ganz allgemeine Strategie, die über den Fall der linearen Gleichungssysteme hinausgeht, wie man ein solches Problem angehen kann Einschub: Wir benötigen noch einige grundlegende Begriffe So wie man bijektive Abbildungen durch die Existenz einer inversen Abbildung charakterisieren kann, kann man surjektive resp injektive Abbildungen durch die Existenz von Rechts- resp Linksinversen charakterisieren Lemma 28 Seien M, N nicht-leere Mengen und f : M N eine Abbildung Dann gilt: Genau dann ist f surjektiv, wenn es eine Rechtsinverse von f gibt, also eine Abbildung g : N M mit f g = Id N 2 Genau dann ist f injektiv, wenn es eine Linksinverse von f gibt, also eine Abbildung h : N M mit h f = Id M 3 Genau dann ist bijektiv, wenn es eine inverse Abbildung von f gibt, also eine Abbildung g : N M gibt mit g f = Id M und f g = Id N g ist im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt Bezeichnung: g =: f Zum Beweis, siehe Präsenzaufgaben 4 Bemerkung 29 Sei f : M N und n N Für jede bijektive Abbildung g : N N gilt für die Faser von f über n: f ({n}) = (g f) ({g(n)}) Beweis Die erste Inklusion benutzt nicht die Bijektivität von g: Sei m f ({n}), d h f(m) = n Dann gilt g(f(m)) = g(n), d h m (g f) ({g(n)}) Für den Umkehrschluß braucht man ein Linksinverses von g, was wegen der Bijektivität von g natürlich existiert q e d Die sich ergebende Strategie ist somit, eine Folge von fasernerhaltenden Abbildungen anzuwenden, bis man die Lösungen hoffentlich ablesen kann Anstatt das Gleichungssystem f(m) = n zu lösen, lösen wir also das Gleichungssystem (g f)(m) = g(n) Wir bestimmen also die Faser (g f) ({g(n)}) Eine fasernerhaltende Abbildung ist also eine Abbildung, die die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändert Im Propädeutikum wurden solche Abbildungen schon eingeführt, die das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen addieren; 2 eine Gleichung mit einem Skalar in K multiplizieren; 3 zwei Gleichungen vertauschen

11 23 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 29 Wir wollen diese Abbildungen wieder als lineare Abbildungen verstehen, dh wir wollen sie wieder durch Matrizen beschreiben Hier ist eine Auswahl von Matrizen, die man von links an die erweiterte Matrix eines linearen Gleichungssystems heranmultiplizieren kann, ohne die Lösungsmenge zu verändern Zunächst eine kleine Erinnerung Definition 220 Eine Matrix A K n n heißt invertierbar, falls ϕ A : K n K n bijektiv ist In dem Fall heißt die eindeutig bestimmte Matrix B K n n mit AB = BA = I n die zu A inverse Matrix und wird mit A bezeichnet Übung: Verifiziere die in der Definition enthaltene Behauptung: Ist ϕ A : K n K n bijektiv, so ist (ϕ A ) : K n K n linear Hier ist eine Liste von invertierbaren Matrizen, die man üblicherweise zum Vereinfachen von linearen Gleichungssystemen benutzt Definition 22 Sei m N, e i K m die i-te Spalte und f i K m die i-te Zeile der Einheitsmatrix I m Jede Matrix, welche von einem der drei nachfolgenden Typen ist, heißt auch elementare Matrix oder elementare Umformungsmatrix ) Für i, j m mit i j und a K sei falls s = t Add m (i, j, a) := I m + ae i f j : m m K : (s, t) a falls (s, t) = (i, j) 0 sonst dh Add m (i, j, a) unterscheidet sich von Einheitsmatrix vom Grad m nur darin, dass der Eintrag in Zeile i und Spalte j das Körperelement a ist 2) Für i m und a K {0} sei falls s = t i Mul m (i, a) := I m + (a )e i f i : m m K : (s, t) a falls s = t = i 0 sonst dh Mul m (i, a) unterscheidet sich von Einheitsmatrix vom Grad m nur darin, dass der Eintrag in Zeile i und Spalte i das Körperelement a ist 3) Für i < j m sei Ver m (i, j) := (e e i e j e i+ e j e i e j+ e m ) : m m K : falls s = t {i, j} (s, t) falls (s, t) {(i, j), (j, i)} 0 sonst dh Ver m (i, j) unterscheidet sich von Einheitsmatrix I m vom Grad m nur darin, dass die i-te und die j-te Zeilen von I m vertauscht sind,

12 30 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Zunächst sehen wir, dass jede dieser Matrizen invertierbar ist Dies kann man leicht einsehen, indem wir die inversen Matrizen angeben Daher sind die zugehörigen induzierten linearen Abbildungen bijektiv Wir können sie also als fasernerhaltende Abbildungen auf unser Gleichungssystem anwenden Lemma 222 Sei m N Dann gilt: Add m (i, j, a) K m m invertierbar mit inverser Matrix Add m (i, j, a); 2 Mul m (i, a) K m m für a K {0} ist invertierbar mit Inverser Mul m (i, a ) 3 Ver m (i, j) K m m ist zu sich selbst invers Wir untersuchen nun, wie sich eine Matrix B K m n ändert, wenn wir sie von links mit einer dieser Elementarmatrizen multiplizieren Dabei erkennen wir, dass die drei oben genannten Operationen mit der (erweiterten) Matrix eines linearen Gleichungssystems durchführen Lemma 223 Seien t, m N und B K m t mit Zeilen Z,, Z m Dann gilt: Das Produkt Add m (i, j, a)b unterscheidet sich von B nur in der i-ten Zeile: die i-te Zeile von Add m (i, j, a)b ist Z i + az j Also addiert Add m (i, ja) das a-fache der j-ten Zeile von B zur i-ten Zeile Das Produkt Mul m (i, a)b unterscheidet sich von B nur in der i-ten Zeile Die i-te Zeile des Produkts ist az i Das Produkt Ver m (i, j)b unterscheidet sich von B darin, dass die i-te und die j-te Zeile von B vertauscht sind Der Gaußsche Algorithmus wird nun in zwei Teilen präsentiert Der erste Teil überführt eine (erweiterte) Matrix in Stufenform Der zweite Teil macht dann die Lösungen des Gleichungssystems explizit Dafür werden gegebenenfalls neue Gleichungen eingeführt, die aber die Lösungsmenge nicht ändern

13 23 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 3 Algorithmus 224 Gegeben: C = (c i,j ) = (A b) K m (n+) die erweiterte Matrix eines linearen Gleichungssystems Gesucht: Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Algorithmus: Teil: Überführe C in Stufengestalt Finde den kleinsten Spaltenindex j, so dass die j-te Spalte von C nicht 0 ist 2 Finde den kleinsten Zeilenindex i mit c i,j 0 3 Falls i,vertausche die erste und i-te Zeile, dh ersetze C durch Ver m (, i)c so daß wir i = haben 4 Falls c,j, ersetze C durch Mul m (, c,j )C, so daß wir mit c,j = weiterarbeiten können 5 Räume die j-te Spalte aus durch Subtraktion der c i,j -Vielfachen der ersten Zeile von der i-ten Zeile (dh ersetze C der Reihe nach durch Add m (i,, c i,j )C) für i = 2 m 6 Wiederhole Schritte 5 mit der Teilmatrix von C, die durch Streichen der ersten Zeile und der ersten j Spalten hervorgeht Am Ende hat man eine Matrix C in Stufengestalt mit derselben Lösungsmenge Letztere ist genau dann leer, wenn n + ein Stufenindex ist 2 Teil: Mache Lösungen explizit Falls n + kein Stufenindex ist, streiche die Nullzeilen von C 2 Füge für jeden Nichtstufenindex i l mit l =,, d der linken Seite eine neue Zeile (v, p l ) zu der Matrix hinzu, wo v die i l -te Zeile von I n ist und p l paarweise verschiedene Parameter sind 3 Bringe die resultierende Matrix durch die Linksmultiplikationen mit Ver n (i, j) und Add n (i, j, a) auf strikte Stufengestalt Die strikte Stufengestalt ist gegeben durch (I n, L), wo L eine Spalte ist, die die Lösungen in Abhängigkeit von den Parametern angibt Beweis Wir müssen zeigen, daß der Algorithmus nach endlich vielen Schritten terminiert und daß wir am Ende wirklich sehen, ob eine Lösung existiert und alle Lösungen ablesbar sind Ersteres ist klar, da nach spätestens m Übergängen zu Teilmatrizen die Stufenform erreicht ist Hat die relevante Matrix r Zeilen, so sind zu jedem Übergang maximal + + (r ) Zeilenumformungen notwendig Die Anzahl der Zeilenumformungen im zweiten Teil kann man auch abschätzen (Übung), so daß der Algorithmus nach endlich vielen Schritten terminiert Nach Bemerkung 29 und der Invertierbarkeit der Umformungsmatrizen aus Beispiel 29 ändert sich die Lösungsmenge nicht Das Weglassen von Nullzeilen ist kein Informationsverlust, das Hinzufügen der Zeilen mit den Parametern nur eine Namensgebung q e d

14 32 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Mit dem Gaußschen Algorithmus sind wir im Besitz einer Schlüsseltechnologie Mit seiner Hilfe können wir nicht nur Fasern von linearen Abbildungen bestimmen, sondern viele der Begriffe aus dem Abbildungsabschnitt konstruktiv beherrschen: Bestimmung des Bildes einer linearen Abbildung, von Rechts- und Linksinversen, Sur- und Injektivitätstests Wir begnügen uns jeweils mit Beispielen Übung: Stellt A K n n eine bijektive lineare Abbildung ϕ A : K n K n dar, so gibt es ein lineares Inverses von ϕ A, dh eine Matrix B K n m mit AB = I m Beispiel 225 Aufgabe: Finde die inverse Matrix B von A über F A = Lösung: Sei e i F 4 3 die i-te Spalte der Einheitsmatrix I 4 Sei S i die i-te Spalte von B Dann ist AS i = e i Da wir S noch nicht kennen, wollen wir die Einträge in S als Unbestimmte betrachten Um diese zu bestimmen, wenden wir den Gaußschen Algorithmus auf die Matrix an Die Lösung dieses Gleichungssystems gibt uns die erste Spalte S von B Analog können wir für die anderen Spalten von B vorgehen Da diese vier Gleichungssysteme dieselbe linke Seite, nämlich A, haben, kann man sie simultan lösen, indem man die vier rechten Seiten zu einer vierspaltigen rechten Seite I 2 zusammenfaßt und dann den Gaußalgorithmus anwendet: V er 4(,3) V er(2,3) Mul(2,2) V er(3,4) Mul(3,2),Mul(4,2) Add(,4,2) Add(4,,2) Add(4,2,) Add(,2,2) Add(2,3,),Add(3,4,)

15 23 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 33 Damit ist die inverse Matrix B = Wir wollen jetzt mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus das Bild einer linearen Abbildung bestimmen Man kann natürlich sagen, daß das Bild einfach aus allen Linearkombinationen der Spalten der Matrix besteht Aber oft ist diese Beschreibung recht unübersichtlich Wir gehen hier so vor, daß wir die rechte Seite mit Unbestimmten vorbesetzen, den ersten Teil des Gaußschen Algorithmus durchführen und dann durch die Lösbarkeitsbedingung ein lineares Gleichungssystem für die Lösungsmenge bekommen Beispiel 226 Aufgabe: Beschreibe Bild ϕ A, wo A gegeben ist durch A := Lösung: Wir wenden den Gaußschen Algorithmus auf die Matrix x y z an Also: Also x y z x y 2x z 3x x y + 2x z + x 2y Bild(ϕ A ) genau dann, wenn z + x 2y = 0 (was man direkt lösen kann) Als nächstes wollen wir an einem Beispiel diskutieren, wie man eine Rechtsinverse für surjektive lineare Abbildungen bestimmen kann Als Vorübung eine kleine Aufgabe: Übung: Stellt A K m n eine surjektive lineare Abbildung ϕ A : K n K m dar, so gibt es ein lineares Rechtsinverses von ϕ A, d h eine Matrix B K n m mit AB = I m Beispiel 227 Aufgabe: Sei A R 2 3 gegeben durch ( ) 2 3 A := Man überprüfe, ob ϕ A : R 3 R 2 ein Rechtsinverses hat und berechne alle linearen Rechtsinversen

16 34 KAPITEL 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Lösung: Gesucht sind alle Matrizen B R 3 2 mit AB = I 2 Seien S und S 2 die Spalten von B Somit haben wir zwei lineare Gleichungssysteme zu lösen, nämlich ( ) ( ) 0 AS = und AS 0 2 = Da diese beiden Gleichungssysteme dieselbe linke Seite, nämlich A, haben, kann man sie simultan lösen, indem man beide rechten Seiten zu einer zweispaltigen rechten Seite I 2 zusammenfaßt und dann den Gaußalgorithmus anwendet: ( ) ( ) a 2 + b a 2b 0 0 a b so daß alle linearen Rechtsinversen durch die Matrizen 3 + a 2 + b 2 2a 2b a b a b dargestellt sind mit a, b R beliebig Man nennt auch diese Matrizen die rechtsinversen Matrizen von A Man beachte jedoch, daß unter den rechtsinversen Abbildungen von ϕ A auch nichtlineare Abbildungen sind Man überlegt sich jetzt leicht: Das surjektive ϕ A ist genau dann bijektiv, wenn sein Rechtsinverses ϕ B eindeutig bestimmt ist In diesem Fall ist es gleichzeitig Linksinverses von ϕ A Linksinverse für injektive lineare Abbildungen kann man durch einen kleinen Trick auf die Bestimmung von Rechtsinversen zurückführen Definition 228 Ist A : m n K : (i, j) a ij eine Matrix, so heißt A tr : n m K : (i, j) a ji die transponierte Matrix oder einfach die Transponierte von A Lemma 229 Sind A K m n und B K n l, so sind B tr K l n und A tr K n m und (AB) tr = B tr A tr Ist ϕ A surjektiv mit Rechtsinversem ϕ B, so ist ϕ A tr injektiv mit Linksinversem ϕ B tr und umgekehrt Beweis Übung q e d