Mathematik IT 2 (Lineare Algebra)

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1 Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof Dr L Cromme Mathematik IT (Lineare Algebra für die Studiengänge Informatik, IMT und ebusiness im Sommersemester 3 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus - Teil Ein System von m linearen Gleichungen mit n Variablen x,, x n mit der Gestalt a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b ( a m x + a m x + + a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem, wobei a ij, b i R, i m, j n Das Gleichungssystem ( heißt homogen, falls b = b = = b m = Andernfalls ist ( ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Die Lösungen ( x,, x n sind Elemente des R n, die Gesamtheit aller Lösungen heißt Lösungsraum des Gleichungssystems Dabei kann der Lösungsraum auch leer sein, dh das System ( ist in diesem Fall unlösbar Statt für a ij, b i, x j R kann man ( auch für a ij, b i, x j K aus einem beliebigen Körper K formulieren, die folgenden Betrachtungen behalten über jedem Körper K ihre Gültigkeit Nachfolgend wird aber vereinfachend nur der Fall K = R angenommen Um die Rechnungen zur Lösung von ( übersichtlich zu halten, ist es zweckmäßig, nur die zu ( zugehörige Koeffizientenmatrix A R m n zu betrachten bzw die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b, wenn die rechte Seite b mit dazugenommen wird: a a a n a a a n b a a a n a a a n b A = und ( a m a m a mn a m a m a mn b m Mit Hilfe der Matrixmultiplikation kann man ( abkürzend als A x = b notieren, wobei x = ( x,, x n T Zwei Gleichungssysteme heißen äuivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben Eine wesentliche Strategie bei der Lösung linearer Gleichungssysteme ist es, durch geeignete Umformumgen äuivalente Systeme zu erzeugen, die weniger Variablen haben, dh man eliminiert Variable Die folgenden elementaren Umformungen ändern die Lösungsmenge nicht: Vertauschen zweier Gleichungen (Bezeichnung dieser Operation: p ik Addition des λ-fachen der Gleichung k zur Gleichung i (Bezeichnung: ik (λ Multiplikation einer Gleichung mit einer reellen Zahl λ (Bezeichnung: m i (λ Bezeichnen z,, die Zeilen der (erweiterten Koeffizientenmatrix in (, dann bewirken die genannten elementaren Umformungen folgendes: z p ik z, z ik (λ z + λz k bzw z m i(λ z λ Ggf nach kleineren Anpassungen, zb ist in Formel (7 statt mit in einem allgemeinen Körper K mit dem Inversen ( c c kk kk zu multiplizieren, vgl zb Restklassenkörper Z/pZ, p ist Primzahl In R gilt aber eben per Definition ( c kk = c kk

2 Bei der Elimination von Variablen hat man genauer zwischen Gaußelimination bzw Gauß-Jordan-Elimination zu unterscheiden Für die Freunde detaillierter Formeln seien diese beiden Verfahren kurz angegeben, die durch Anwendung der og elementaren Zeilenoperationen erhalten werden: Dazu sei die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems gemäß ( gegeben und es sei a ij für i m, j n Man sagt, die erweiterte Koeffizientenmatrix c c c n d c c c n d (C d = (3 c m c m c mn d m entsteht durch Gaußelimination mit Pivotelement a ij, falls (a c ij = a ij, d i = b i für i i und (b c ij = a ij a i j a ij a ij, d i = b i b i a ij a ij für i > i Das System (3 entsteht durch Gauß-Jordan-Elimination mit Pivotelement a ij, falls (a c ij = a ij a ij, d i = b i a ij für i = i und (b c ij = a ij a i j a ij a ij, d i = b i b i a ij a ij für i i Eine Variable x ri heißt Leitvariable der i-ten Gleichung in (/(, falls a iri und a ij = für alle j r i Die Idee des Lösungsverfahrens besteht darin, das Gleichungssystem so umzuformen, dass die Leitvariablen in den Gleichungen verschieden sind Die Lösung wird dann dadurch bestimmt, indem alle Nicht-Leitvariablen schrittweise als freie Parameter angesehen werden und die Leitvariablen schrittweise aus den Gleichungen bestimmt werden In der Sprache der Matrizen wird daher die Überführung der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b in eine Matrix (C d in Zeilenstufenform angestrebt Das dazu verwendete und hier vorgestellte Verfahren heißt Gauß-Algorithmus Eine Matrix ist dabei anschaulich in Zeilenstufenform, wenn die Anzahl der Anfangsnullen von Zeile zu Zeile zunimmt Die erweiterte Koeffiziententrix (C d hat also die folgende Form: c r c n d c r c n d (C d = c k,rk c kn d k (4 d k+ d m Sind dabei die Stufenspalten zusätzlich Einheitsvektoren (dh (C d entsteht durch Gauß-Jordan-Elimination, dann ist die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform Mit Hilfe der Zeilenstufenform läßt sich der Rang einer Matrix definieren: Der Rang einer Matrix A (übliche Notationen dafür sind rg(a, rang(a oder rank(a ist die Anzahl der Stufen in einer zugehörigen Zeilenstufenform von A Nachfolgend wird der Lösungsraum L(A, b = { x R n Ax = b des linearen Gleichungssystems ( mit erweiterter Koeffizientenmatrix (A b betrachtet Die Einträge d k+,, d m in (4 sind entscheidend für die Frage, ob das lineare Gleichungssystem ( überhaupt eine Lösung hat Gibt es ein d i mit k + i m, dann lautet die i-te Gleichung x + + x n = d i Diese Bedingung kann offensichtlich kein x R n erfüllen, es folgt L(A, b = Gilt dagegen d k+ = = d m =, dann hat das System mindestens eine Lösung Ein Lösbarkeitskriterium ist damit: L(A, b rg(a = rg(a b (5 Im diesem Fall kann man aus (4 durch Rückwärtseinsetzen beginnend mit der k-ten Zeile den Lösungsraum L(A, b berechnen Zur Vereinfachung sei angenommen, dass in (4 r =, r =,, r k = k gilt, dh die

3 ersten k Spalten sind Stufenspalten, und die letzten r := n k Spalten haben unterhalb der k-ten Zeile nur Nulleinträge Damit sind x k+,, x n freie Variablen, dh sie können beliebige Werte annehmen Die Variablen x,, x k werden als gebundene Variablen bezeichnet, die eindeutig dadurch festgelegt sind, welche Werte für die freien Variablen gewählt wurden Die Berechnung der Lösungen erfolgt dann wie folgt: Man wählt λ,, λ r R als Parameter, und setzt x k+ = λ, x k+ = λ,, x n = λ r (6 Zur Berechnung der x,, x k beginnt man mit der k-ten Gleichung c kk x k + c k,k+ λ + + c kn λ r = d k Daraus folgt x k = c kk ( dk c k,k+ λ c kn λ r = z kk d k + h k, λ + + h kr λ r (7 Setzt man dies in die (k - te Gleichung ein, dann erhält man analog ( x k = dk c k,k x k c k,k+ λ c k,n λ r c k,k = z k,k d k + z k,k d k + h k, λ + + c k,r λ r (8 Fährt man auf diese Weise fort, dann erhält man im letzten Schritt x = c ( d c x c k x k c,k+ λ c n λ r = z d + z d + + z k d k + h λ + + h r λ r (9 Die in (7 bis (9 auftretenden Zahlen j R und h ij R ergeben sich, indem die entsprechenden Werte für x,, x k ausmultipliziert und die entstehenden Summanden nach den Werten d,, d k, λ,, λ r sortiert werden Damit kann man die von λ,, λ r abhängige Lösung wie folgt darstellen (unter der Annahme r i = i, i =,, k in (4: k x j= x z jd j h h h r k j= z jd j h x 3 k j=3 z h h r 3jd j h 3 h 3 h 3r x k z kk d k h k = + λ x k+ h kr + λ + + λ r x k+ ( x n x n {{ =:s {{ =:s h k {{ =:s {{ =:s r Für das homogene Gleichungssystem Ax = ist offensichtlich auch d = d = = d m =, womit s = folgt Ist rg(a = k < n, so hat hat die Lösungsmenge die Gestalt { L(A, = x R n x = λ s + λ s + + λ r s r, λ,, λ r R ( Sind x, y L(A,, so sind x + y und µx für beliebiges µ R ebenfalls Lösungen des homogenen Systems Ax = Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist immer lösbar, denn es gibt insbesondere stets die triviale Lösung L(A, Falls rg(a = n gilt, so ist x = die einzige Lösung des Systems [ dh L(A, = { ] Ist das inhomogene Gleichungssystem Ax = b lösbar, so ist s für λ = = λ r = eine spezielle Lösung des Systems Die Lösungsmenge { L(A, b = x R n x = s + λ s + λ s + + λ r s r, λ,, λ r R = s + L(A, ( ist also die Summe einer speziellen Lösung s und der Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems 3

4 Beispiele: (A Zu lösen sei das lineare Gleichungssystem x + x + x 3 + x 4 = x = 4 x x 4 = 3 x 3 = Mittels Gauß-Algorithmus überführt man die zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix (A b in Zeilenstufenform (C d: 4 ( ( ( 6 3 = (C d Wegen rg(a = rg(c = 4 = rg rg(c d hat das System genau eine eindeutige Lösung Diese berechnet man durch Rückwärtseinsetzen wie folgt: Aus der letzten Zeile des Systems Cx = d folgt x 4 = Einsetzen in die dritte Gleichung und Umstellung nach x 3 liefert x 3 = 3 ( ( = Damit folgt x = 6 x 3 + x 4 = 6 + = 5, womit sich schließlich x = x x 3 + x = 5 + = 4 ergibt Die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax = b ist damit { (4 T L(A, b =, 5,, Alternativ kann man die reduzierte Zeilenstufenform verwenden: 4 ( (, ( 6 43(, 3( (, 4( 5 m 4( 5 = (C d Der Vorteil der reduzierten Zeilenstufenform ist offensichtlich, kann man die Lösung x = ( 4, 5,, T doch in diesem Fall ohne weitere Rechnungen direkt ablesen (B Es sei das lineare Gleichungssystem x + x + x 3 + x 4 = x = 4 x x 4 = 3 zu lösen, das sich aus Beispiel (A durch Streichung der letzten Gleichung ergibt So ist auch beim Gauß- Algorithmus lediglich die letzte Zeile zu streichen Die Zeilenstufenform (C d der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b ist damit auch bereits bekannt: = (C d 4

5 Wegen rg(a = rg(c = 3 = rg rg(c d hat auch dieses System eine Lösung Da die vierte Spalte keine Stufenspalte ist, kann die Variable x 4 beliebig gewählt werden, also zb x 4 = λ R Daraus folgt x 3 = 3 + λ, damit x = 3 t und schließlich x = 4 Als Lösungsmenge erhält man L(A, b = {x R 4 ( T ( T x = 4, 3, 3, + λ,,, Als reduzierte Zeilenstufenform (C d von (A b erhält man hier: woraus für beliebiges x 4 R die Lösung wieder einfach abgelesen werden kann (C Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x + x + x 3 = x = 4 x = 3 x 3 = = (C d, Da dieses aus (A durch Streichung der x 4 -Spalte entsteht, ist auch die Zeilenstufenform (C d der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b aus den obigen Rechnungen ablesbar, nämlich: = (C d Wegen rg(a = rg(c = 3 4 = rg rg(c d hat das Gleichungssystem keine Lösung (D Noch ein Beispiel zum Rückwärtseinsetzen zur Bestimmung der Lösungen eines linearen Gleichungssystems Dazu sei die Zeilenstufenform 3 (C d = 3 der erweiterten Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems Ax = b gegeben Aus der letzten Zeile ließt man x 6 = ab, woraus x 5 = 3 x 6 = 5 folgt Die Variablen x 3 und x 4 können beliebig gewählt werden, zum Beispiel x 3 = λ R und x 4 = λ R Damit folgt x = ( x x 3 x 6 = 3+λ λ Aus der ersten Zeile folgt dann x = x 3x 3 x 5 = 5λ + λ Die Lösungsmenge ist damit L(A, b = x R 6 x = λ 5 + λ, λ, λ R Fussnote: Diese Zusammenstellung ersetzt nicht den Besuch der Vorlesungen und Übungen! Sie soll aber vor allem den Wiederholern den Anschluss an die in früheren Semestern verwendeten Notationen und Bezeichnungen geben, wozu hier auch Notationen und Bezeichnungen aus früheren Vorlesungen an der BTU Cottbus zur Linearen Algebra für Studiengänge der Richtungen Informatik, IMT und ebusiness verwendet wurden, wie sie zum Beispiel in den Vorlesungsskripten B Martin: Mathematik IT-: Lineare Algebra, Sommersemester E Köhler: Mathamatik IT, Vorlesungsskript, Sommersemester 7 W Hochstättler: Lineare Algebra (für Informatiker und Informations- und Medientechniker, Wintersemester / zu finden sind Den Erstbesuchern sollen ggf ergänzend zur Vorlesung andere Sichtweisen zugänglich gemacht werden Darüber hinaus soll diese Übersicht ergänzend zur Übung weitere einfache, einführende Beispiele geben c Jens Kunath für BTU Cottbus, Lehrstuhl Numerische und Angewandete Mathematik, Stand: Juli 3 5