Lineare Algebra I (WS 12/13)

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1 Lineare Algebra I (WS 12/13) Bernhard Hanke Universität Augsburg Bernhard Hanke 1 / 9

2 Wir beschreiben den folgenden Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das sogenannte Gaußsche Eliminationsverfahren. Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem der Form a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2.. a m1 x a mn x n = b m aus m Gleichungen in n Unbekannten x 1,..., x n mit Koeffizienten a ij R, b i R, wobei 1 i m, 1 j n. Wir erhalten die Koeffizientenmatrix A := (a ij ) 1 i m, 1 j n := a 11 a a 1n a 21 a a 2n.... a m1 a m2... a mn mit m Zeilen und n Spalten. Wir sprechen auch von einer (m n)-matrix. Bernhard Hanke 2 / 9

3 Wir betrachten daneben auch die erweiterte Koeffizientenmatrix a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 (A b) :=..... a m1 a m2... a mn b m Dies ist eine (m (n + 1))-Matrix. Wir werden später Matrizen im Zusammenhang mit linearen Abbildungen noch genauer untersuchen. Hier dienen sie nur der bequemen Notation. Es ist klar, dass jede (m (n + 1))-Matrix die erweiterte Koeffizientenmatrix genau eines lineares Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Unbekannten ist. Bernhard Hanke 3 / 9

4 Wir betrachten nun die folgenden Operationen, genannt elementare Zeilenumformungen auf der erweiterten Koeffizientenmatrix Vertauschung zweier Zeilen. Addition des λ-fachen der i 1 -ten Zeile zur i 2 -ten Zeile, wobei λ R und 1 i 1, i 2 m, i 1 i 2. Diese ändern die Lösungsmenge des zugrunde liegenden Gleichungssystems nicht: Proposition Angenommen, die erweiterten Koeffizientenmatrizen (A b) und (A b ) gehen durch elementare Zeilenumformungen auseinander hervor. Dann stimmen die Lösungsmengen der entsprechenden linearen Gleichungssysteme überein. Bernhard Hanke 4 / 9

5 Definition Ein lineares Gleichungssystem ist in Zeilenstufenform, falls die (nicht erweiterte) Koeffizientenmatrix A in Zeilenstufenform vorliegt: Entweder hat diese Matrix nur 0 als Einträge oder es gibt ein 1 r m und eine Folge 1 j 1 < j 2 <... < j r n mit den folgenden Eigenschaften: Für alle 1 i r gilt a ij = 0, falls j < j i. Es gilt a ij = 0, falls i > r Für alle 1 i r gilt a iji 0. Insbesondere sind alle Zeilen unterhalb der r-ten Zeile gleich 0. Die von Null verschiedenen Elemente a iji, i = 1,..., r heißen Pivotelemente des Gleichungssystems, bzw. der Koeffizientenmatrix. Proposition Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen. Bernhard Hanke 5 / 9

6 Ist ein lineares Gleichungssystem in Zeilenstufenform gegeben, so lässt sich dieses sehr einfach lösen. Angenommen es existiert ein b i 0 mit i > r. Dann ist die Lösungsmenge leer. Andernfalls bestimmen wir die Lösungsmenge wie folgt: Für jede beliebige Wahl der n r Zahlen x j R für 1 j n, j j 1, j 2,..., j r, genannt freie Parameter, existiert genau eine Wahl der verbleibenden Komponenten x j1,..., x jr, so dass (x 1,..., x n ) das Gleichungssystem löst. Denn durch die r-te Gleichung ist wegen a rjr 0 und a rj = 0 für j < j r die Komponente x jr eindeutig durch die Komponenten x jr +1,..., x n, b r festgelegt: x jr = 1 a rjr (b r a r jr +1x jr a rn x n ). Danach legt die (r 1)-te Gleichung die Komponente x jr 1 eindeutig fest und so weiter. Umgekehrt sind natürlich durch jede Lösung (x 1,..., x n ) des Gleichungssystems die Komponenten x j, j j 1,..., j r eindeutig bestimmt. Bernhard Hanke 6 / 9

7 Zusammengefasst erhalten wir also: Satz Es sei wie oben ein lineares Gleichungssystem über R in Zeilenstufenform gegeben. Es sei L R n die Lösungsmenge. Dann existiert eine eineindeutige Beziehung zwischen Elementen von R n r und von L: Zu jedem (n r)-tupel (λ 1,..., λ n r ) R n r können wir die durch diese Elemente eindeutig bestimmte Lösung (x 1,..., x n ) des Gleichungssystems berechnen, bei der die freien Parameter x j, j j 1,..., j r gleich λ 1,..., λ n r gesetzt wurden. Umgekehrt bestimmt jedes n-tupel (x 1,..., x n ) L eindeutig die Komponenten x j, j j 1,..., j r. Bernhard Hanke 7 / 9

8 Dieses Theorem erlaubt es, die Lösungsmenge des Gleichungssystems in der sogenannten Parameterform anzugeben, wobei die Parameter λ 1,..., λ n r R frei gewält werden können. Da wir jedes lineare Gleichungssystem auf Zeilenstufenform bringen können ohne die Lösungsmenge zu ändern, haben wir somit eine Methode gefunden, beliebige lineare Gleichungssystem zu lösen. Als Beispiel betrachten wir das lineare Gleichungssystem 3x 6 + x 7 = 2 2x 2 + 4x 4 + 6x 5 + 5x 7 = 3 2x 2 + x 3 + 7x 4 + 8x 5 + x 6 + 5x 7 = 4 2x 2 + 4x 4 + 6x 5 + 3x 6 + 6x 7 = 5 über R. Dieses hat die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) := Bernhard Hanke 8 / 9

9 Durch elementare Zeilenumformungen wird daraus die erweiterte Koeffizientenmatrix deren (nicht erweiterte) Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform vorliegt. Die Lösungsmenge L dieses Gleichungssystems ist in Parameterform gegeben durch L = λ λ 2 3λ λ λ 2 2λ λ 4 λ 2 λ λ 4 λ 4 λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 R R 7 wobei wir die Elemente in R 7 in Spaltenform notieren (d.h. die Komponenten untereinander statt nebeneinander schreiben). Bernhard Hanke 9 / 9