Lineare Algebra und analytische Geometrie I Lösungsvorschlag zum 8. Tutoriumsblatt

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1 Mathematisches Institut der Universität München Wintersemester 24/5 Daniel Rost Lukas-Fabian Moser Lineare Algebra und analytische Geometrie I Lösungsvorschlag zum 8. Tutoriumsblatt Aufgabe T-. a) Die MengeU ist nicht leer, denn es gilt U wegen =. Sindu,u U, alsou = u u 2 und u = u u 2, so gilt auch (u+u ) = u +u = u u 2 +u u 2 = (u +u ) (u 2 +u 2) = (u+u ) (u+u ) 2, alsou+u U, und für jedes λ R auch (λu) = λ u = λ (u u 2 ) = λ u λ u 2 = (λu) (λu) 2, alsoλu U. Das zeigt, daßu ein Untervektorraum ist; der Nachweis fürw läuft ganz analog. b) Dies läßt sich am Einfachsten durch Ausprobieren lösen: Wir müssen jeden der Einheitsvektoren darstellen als Summe eines Vektors aus U und eines Vektors aus W. Dies ist beispielsweise auf die folgende Art und Weise möglich: e = = +, U W e 2 = = +, U W e = = +, U W wodurch die Behauptung bewiesen ist. Möchte man nicht raten, sondern rechnen, so kann man beispielsweise hier im Fall des Einheitsvektorse dargestellt das folgende lineare Gleichungssystem mit sechs Unbekannten u,u 2,u,w,w 2,w lösen: u +w = u 2 +w 2 = u +w = u = u u 2 w = w

2 c) Ein Vektor v R liegt genau dann in U W, wenn v = v v 2 und v = v ist. Dies ist ein homogenes lineares Gleichungssystem fürv mit der Koeffizientenmatrix ( ) ( ) ( ). Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems (die nach Konstruktion genau U W ist) ist also λ L = λ R = λ λ R = R, λ also tut v := das Gewünschte. Aufgabe T-2. Um festzustellen, obv eine Linearkombination vonv,v 2,v ist, fassen wir das Problem des Auffindens vonλ,λ 2,λ R mit λ v +λ 2 v 2 +λ v = v als lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten λ,λ 2,λ auf. Dieses hat die erweiterte Koeffizientenmatrix (die man sich leicht merken kann, weil auf ihrer linken Seite einfach die Vektoren v,v 2,v stehen, auf der rechten Seite der Vektorv) Dieses Gleichungssystem ist lösbar, also läßt sich v als Linearkombination von v,v 2,v schreiben. Eine solche Darstellung erhalten wir z.b., indem wir den (frei wählbaren) Parameter λ = wählen; dann ist λ 2 = undλ =, also erhalten wir die Darstellung v = v + v 2 + v = v +v 2, von deren Richtigkeit man sich ohne weiteres direkt überzeugen kann. Für den Vektor w wiederholen wir genau die gleiche Rechnung; da das zugehörige lineare Gleichungssystem mit der erweiterten Koeffizientenmatrix sich jedoch als unlösbar erweist, ist w keine Linearkombination der Vektorenv,v 2,v. Aufgabe T-. a) Hier gehen wir so vor wie in Aufgabe T-2, nur daß diesmal die Fragestellung eine andere ist: Wir schreiben einen allgemeinen Vektor v = ( ) T b 4 auf die rechte Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix und untersuchen, welche Eigenschaften dieser Vektor haben muß, damit das Gleichungssystem lösbar wird. Wir betrachten also die folgende, aus der Gleichung 4 8 λ v +λ 2 v 2 +λ v! = v = b 4

3 gewonnene erweiterte Koeffizientenmatrix: b b b b Diese Koeffizientenmatrix ist in Zeilenstufenform; das zugehörige lineare Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn die Nullzeile auf der linken Seite auch einem verschwindenden Eintrag rechts gegenübersteht, wenn also b = oder äquivalent = + +b 4 ist. Die Menge aller Vektoren in R 4, die sich als Linearkombination von v,v 2,v schreiben läßt, ist also v,v 2,v = = + +b 4. b 4 (Als kleine Rechenkontrolle kann man überprüfen, daß die Vektorenv,v 2,v selbst ebenfalls diese Gleichung erfüllen denn sie müssen natürlich in ihrem Erzeugnis v,v 2,v liegen. b) Der Vektor u läßt sich nicht als Linearkombination von v,v 2,v schreiben (er liegt nicht in v,v 2,v ), weilu u 2 +u +u 4 ist, denn Der Vektor w dagegen läßt sich als Linearkombination von v,v 2,v schreiben, denn es ist = + +. Um eine solche Darstellung zu ermitteln, setzen wir die Einträge von w in die bereits auf Zeilenstufenform gebrachte erweiterte Koeffizientenmatrix ein: 2 w w 2 w w 2w +2w 2 = w 4 +w w +w 2 2. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt sich zuλ =,λ 2 = +2λ = 5 und λ = 2λ 2 λ = 4, so daß wir w = 4v 5v 2 v erhalten daß das stimmt, ist leicht zu überprüfen; mit bloßem Raten hätte man es aber kaum herausgefunden. Aufgabe T-4. a) Um nachzuweisen, daß w und w 2 in v,v 2,v liegen, müssen wir zeigen, daß sich w und w 2 als Linearkombination von v,v 2,v schreiben lassen. Wie gehabt, läuft das darauf hinaus, die Lösbarkeit derjenigen linearen Gleichungssysteme festzustellen, die man symbolisch als ( ) ( ) v v 2 v w bzw. v v 2 v w 2.

4 schreiben könnte. Um Arbeit zu sparen, schreibe ich einfach (etwas unorthodox) die Vektoren w undw 2 beide rechts vom Trennstrich in eine gemeinsame Koeffizientenmatrix und interpretiere sie nach dem Umformen dann einzeln; ich betrachte also die Matrix ( ) v v 2 v w w 2 = Die Matrix auf der linken Seite hat Zeilenstufenform, so daß wir die Lösbarkeit daran ablesen können, ob auf der rechten Seite dort Nullen stehen, wo sie stehen müssen (nämlich auf der Höhe der Nullzeilen der linken Seite). Das ist der Fall, und zwar sowohl für die zuw gehörende linke als auch für die zuw 2 gehörende rechte Spalte. Also gilt w,w 2 v,v 2,v. Ebenso zeigt man, daß v,v 2,v w,w 2 gilt. Dafür formen wir die folgende (auch hier unorthodox vergrößerte) erweiterte Koeffizientenmatrix um: ( ) w w 2 v v 2 v = Auch hier stehen in dem Moment, in dem links Zeilenstufenform erreicht ist, rechts die Nullen überall dort, wo sie benötigt werden (nämlich in der unteren Zeile); also sind alle drei linearen Gleichungssysteme lösbar, und das bedeutet v,v 2,v w,w 2. Die Behauptung v,v 2,v = w,w 2 folgt dann wie in der Vorlesung: Nach der Charakterisierung von v,v 2,v als dem kleinsten Untervektorraum vonr, derv,v 2,v enthält, folgt aus v,v 2,v w,w 2 automatisch v,v 2,v w,w 2 ; die andere Teilmengenbeziehung sieht man analog. b) Wir beschreiben zunächst alle Elemente von v,v 2,v und gehen dazu vor wie in Aufgabe T- a): Ein Vektor x = ( ) T liegt genau dann in v,v 2,v, wenn das folgende lineare

5 Gleichungssystem lösbar ist: ( v v 2 v x ) 2 = Dieses Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn +7 = ist, also gilt v,v 2,v = +7 + =. Ebenso ermitteln wir eine Gleichung für w,w 2 : ( w w 2 x ) 4 5 = Dieses Gleichungssystem ist ebenfalls genau dann lösbar, wenn + 7 = ist, und das bedeutet w,w 2 = +7 + = = v,v 2,v..