Musterlösung zum 6. Aufgabenblatt Mathematik I (GST1100) WS 2017/2018

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Musterlösung zum 6. Aufgabenblatt Mathematik I (GST1100) WS 2017/2018"

Axel Winter
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Musterlösung zum 6. Aufgabenblatt Mathematik I (GST1100) WS 017/ Zuerst werden innerhalb jeder Gleichung mehrfach vorkommende Variablen zusammengefasst und auf die linke Seite gebracht sowie alle Konstanten zusammengefasst und auf die rechte Seite gebracht: x 1 + x = x 1 + x x = 16 x 1 x + x = 1 x 1 + x = 0 x + x x = 7 Dann wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt: x 1 x x x x R (a) Die erweiterte Koeffizientenmatrix hat eine durchgehende Stufenform. Das zugehörige LGS hat also genau eine Lösung. Diese Lösung findet man schrittweise, indem man beginnend mit der rechtesten Variablen die entsprechenden Gleichungen aus der erweiterten Koeffizientenmatrix betrachtet: Die dritte Zeile liefert die Gleichung x = 6, woraus sich durch Umstellen x = ergibt. Die zweite Zeile liefert die Gleichung x =, woraus sich durch Umstellen x = ergibt. Die erste Zeile liefert die Gleichung x 1 + =, woraus sich durch Umstellen x 1 = 0 ergibt. Als Lösungsmenge erhalten wir also L = {(0,, )}. (b) Die erweiterte Koeffizientenmatrix enthält eine offensichtlich nicht erfüllbare Zeile. Die Lösungsmenge ist also leer, d.h. L =. (c) Die erweiterte Koeffizientenmatrix hat eine abbrechende Stufenform. Das zugehörige LGS hat also eine unendliche Lösungsmenge. Da k = 1 Stufe fehlt, wird die Lösungsmenge durch einen reellwertigen Paramenter beschrieben. Die Beschreibung der Lösungsmenge findet man wieder schrittweise, beginnend mit der rechtesten Variablen: Die Variable x kann eine beliebige reelle Zahl t annehmen. Die dritte Zeile liefert dann die Gleichung x =, woraus sich x = ergibt. Die zweite Zeile liefert die Gleichung x + t = 1, woraus sich durch Umstellen x = 1 1 t ergibt. Die erste Zeile liefert die Gleichung x 1 t =, woraus sich durch Umstellen x 1 = + 1 t ergibt.

2 Als Lösungsmenge erhalten wir also L = {(x 1, x, x, x ) R : es existiert ein t R mit (x 1 = + 1 t x = 1 1 t x = x = t)}.. (a) In der gegebenen erweiterten Koeffizientenmatrix addieren wir die mit multiplizierte erste Zeile zur zweiten Zeile, die mit multiplizierte erste Zeile zur dritten Zeile und die mit multiplizierte erste Zeile zur vierten Zeile. x 1 x x R die mit multiplizierte zweite Zeile zur dritten Zeile und die mit multiplizierte zweite Zeile zur vierten Zeile. x 1 x x R die mit 1 multiplizierte dritte Zeile zur vierten Zeile. x 1 x x R Diese erweiterte Koeffizientenmatrix hat eine durchgehende Stufenform und somit eine eindeutige Lösung, die wir schrittweise bestimmen: x = 10, also x = 1x + = 7, also x = 8 x =, also x 1 = 7 8 Als Lösungsmenge erhalten wir also L = {( 7 8, 8, )}. (b) In der gegebenen erweiterten Koeffizientenmatrix addieren wir die mit 1 multiplizierte erste Zeile zur zweiten Zeile, die mit 1 multiplizierte erste Zeile zur dritten Zeile und

3 die mit 1 multiplizierte erste Zeile zur vierten Zeile. x 1 x x x R die mit multiplizierte zweite Zeile zur dritten Zeile und die mit multiplizierte zweite Zeile zur vierten Zeile. x 1 x x x R die mit 1 multiplizierte dritte Zeile zur vierten Zeile. x 1 x x x R Diese erweiterte Koeffizientenmatrix hat eine abbrechende Stufenform. Es fehlt k = 1 Stufe. Die Beschreibung der Lösungsmenge bestimmen wir wieder schrittweise, beginnend mit der rechtesten Variablen: x = t für ein beliebiges t R x + 9t = 7, also x = 9 t 7 1 x 9 t t, also x = 9 1 t x t t = 6, also x 1 = t 17 Als Lösungsmenge erhalten wir also L = {(x 1, x, x, x ) R : es existiert ein t R mit (x 1 = t 17 x = 9 1 t x = 9 t 7 x = t)}.. Man kann dadurch Rechenaufwand sparen, dass man das Gaußsche Eliminationsverfahren auf die Koeffizientenmatrix in der üblichen Weise anwendet, dabei aber beide rechten Seiten simultan mitführt. Wir gehen also von folgender erweiterter Koeffizientenmatrix mit zwei rechten Seiten aus:

4 x 1 x x x R 1 R Diese erweiterte Koeffizientenmatrix wird dann wie gehabt schrittweise äquivalent umgeformt, mit dem Ziel sie in eine Stufenform zu bringen, wobei beide rechten Seiten simultan mit umgeformt werden: x 1 x x x R 1 R x 1 x x x R 1 R x 1 x x x R 1 R Nachdem die Koeffizientenmatrix in Stufenform (hier sogar durchgehend) gebracht wurde, kann man die Lösungsmengen für beide LGS bestimmen.. Wir führen zuerst die folgenden Ersetzungen durch: x 1 = e x, x = y und x = z Damit erhalten wir aus dem gegebenen Gleichungsystem ein LGS mit folgender erweiterter Koeffizientenmatrix: x 1 x x R Dieses LGS hat als eindeutige Lösung (z.b. bestimmt mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren): x 1 = 8 16, x = 7 16, x = 8 Nun machen wir die Ersetzungen wieder rückgängig und erhalten: 8 16 = ex, also x = ln( 8 16 ) 7 16 = y, also y 1 = 7 und y = 7 8 = z

5 Die Lösungsmenge des gegebenen Gleichungsystems ist also {(ln( ),, 7 ), (ln( ),, 8 )}. 6. Wir führen für das gegebene LGS das Gaußsche Eliminationsverfahren durch. Dazu addieren wie in der gegebenen erweiterten Koeffizientenmatrix die mit 1 multiplizierte erste Zeile zur zweiten Zeile und die mit multiplizierte erste Zeile zur dritten Zeile. Damit ergibt sich die folgende äquivalente erweiterte Koeffizientenmatrix: x 1 x x R 1 a 0 0 ( a) 0 8a (a + 8) 0 Um die weitere Rechnung möglichst einfach zu halten, tauschen wir zunächst die zweite und die dritte Spalte: x 1 x x R 1 a 0 0 ( a) 0 (a + 8) 8a 0 die mit 1 (a+8) multiplizierte zweite Zeile zur dritten Zeile (Achtung: Das geht nur für a 8!) und erhalten: x 1 x x R 1 a 0 0 (1 a) (8 + a a ) (a + 8) Das Lösungsverhalten des LGS hängt nun davon ab, ob der Eintrag (8 + a a ) ungleich 0 ist oder nicht. Wir bestimmen daher die beiden Lösungen der Gleichung 8 + a a = 0: a 1 = 1 + und a = 1 Für diese beiden Werte von a ist die dritte Zeile also eine offensichtlich nicht erfüllbare Zeile und das LGS hat keine Lösung. Für a R \ { 8, 1+, 1 } erhalten wir dagegen eine durchgehende Stufenform, aus der wir die eindeutige Lösung schrittweise ablesen können: x = a a a 8a x = 8 + a a x 1 = a 8 + a a

6 Es bleibt noch der Wert a = 8 zu untersuchen, den wir oben ausschließen mussten. Für diesen Wert ergibt sich folgende erweiterte Koeffizientenmatrix: x 1 x x R Daraus können wir die eindeutige Lösung für a = 8 ablesen: x = 0 = a a a 8a x = 1 = 8 + a a x 1 = = a 8 + a a Für diese Lösung gelten also auch die oben gewonnenen Formeln. Fassen wir zusammen: Für a { 1+, 1 } hat das LGS keine Lösung. Für a R \ { 1+, 1 } hat das LGS die eindeutige Lösung x 1 = a 8 + a a, x = a a a und 8a x = 8 + a a.

Ähnliche Dokumente

A2.3 Lineare Gleichungssysteme

A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen