1.2 Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme

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1 . Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme Die Bestimmung einer Polynomfunktion zu gegebenen Eigenschaften erfordert oft das Lösen eines linearen Gleichungssystems LGS. Zur Berechnung der Koeffizienten eines Polynoms zweiten Grades y = a x + b x + c benötigt man drei Gleichungen. Bei einem Polynom dritten Grades muss man bereits vier Parameter mit vier Gleichungen bestimmen. Der Umfang des Gleichungssystems wächst mit dem Grad des Polynoms. Dementsprechend wird auch das Lösungsverfahren sehr aufwändig und fehleranfällig. Nach dem Mathematiker Gauß ist ein Verfahren benannt, das wegen seiner schematischen Organisation auf den Computer übertragen werden kann. Heute kann dieses Verfahren auch auf einem grafikfähigen Taschenrechner genutzt werden. Was Sie erwartet Carl Friedrich Gauß Gauß-Algorithmus am Beispiel Es soll das Polynom zweiten Grades y = a x + b x + c bestimmt werden, dessen Graph durch die Punkte A 6, B und C 6 verläuft.. Schritt: Einsetzen der Koordinaten der Punkte in die allgemeine Gleichung der Parabel liefert drei Gleichungen mit den drei Variablen a, b und c. Einsetzen A 6 a b + c = 6 Einsetzen B a + b + c = Einsetzen C 6 9 a + b + c = 6. Schritt: Umformen des Gleichungssystems in ein gestaffeltes Gleichungssystem mithilfe der Äquivalenzumformungen. Multiplikation einer Gleichung auf beiden Seiten mit einer reellen Zahl ungleich Null. a b + c = 6 a + b + c = 9 a + b + c = 6 Addition zweier Gleichungen und anschließendes Ersetzen einer Gleichung durch das Ergebnis. + Gleichung * 9 + Gleichung * Aufgaben --System Ein gestaffeltes Gleichungssystem ist ein System in Dreiecksform. Äquivalenzumformungen verändern die Lösungsmenge nicht. a b + c = 6 * 6 b + c = * b + 8 c = 8 * + * Gleichung ** a b + c = 6 * 6 b + c = ** c = 6. Schritt: Die Lösung des Gleichungssystems kann nun schrittweise von unten nach oben ermittelt werden: c = 6, also c = 6 b + =, also b = a + = 6, also a = a Rechenprobe: Setzen Sie die errechneten Werte für a, b und c in die drei Gleichungen ein. Problemprobe: Wie lautet die Gleichung der gesuchten Funktion? Prüfen Sie, ob die drei Punkte A, B und C auf dem Graphen der ermittelten Funktion liegen. b Bestimmen Sie nach dem obigen Verfahren das Polynom zweiten Grades, dessen Graph durch die Punkte P, Q 9 und R 8 verläuft. c Übertragen Sie das Verfahren auf die Bestimmung des Polynoms dritten Grades, dessen Graph durch die Punkte P,, Q,, R und S verläuft. Lösung zu c, x x 9

2 Modellieren mit Funktionen Kurvenanpassung Basiswissen Lineare Gleichungssysteme lassen sich systematisch mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Der Gauß-Algorithmus in Kurzfassung Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu werden alle Informationen, die selbstverständlich sind, weggelassen. Nur die Koeffizienten werden notiert. Wichtig ist, dass die Koeffizienten, die zur gleichen Variablen gehören, in die gleiche Spalte geschrieben werden. LGS Tabelle Matrix a + b + c = a b c a b c = 7 7 a + b c = 7 Dreiecksform: unterhalb der Diagonalen stehen nur Nullen Nicht jedes lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung. siehe Übung 8 Durch Äquivalenzumformungen wird die Matrix in die Dreiecksform überführt: Durch Rückwärtseinsetzen werden die Variablen bestimmt: 6 c =, also c = b = 9, also b = a + =, also a = 7 Die Lösung des LGS ist das Zahlentripel a; b; c = 7; ;. Das Verfahren lässt sich auf größere Gleichungssysteme übertragen. Auch hier wird die Matrix mit passenden Äquivalenzumformungen in eine Dreiecksform überführt. Der Rechenaufwand wird dann entsprechend höher. Beispiel A Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. x + x = x + x x = x + x + x = Lösung: Matrix des Gleichungssystems + Vertauschen der. und. Zeile. steht an passender Stelle. Multiplikation der. Zeile mit und anschließend Addition + der. Zeile. Multiplikation der. Zeile mit 7 und anschließend Additon zur. Zeile. Rückwärts einsetzen c =, also c = b + =, also b = a + =, also a = Das System hat die Lösung ; ;. 6

3 . Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme Training per Hand Wenden Sie den Gauß-Algorithmus an, um die Gleichungssysteme zu lösen. a x + y + z = b x + y z = c x y + z = x y + z = x + y + z = x + y + z = x + y + z = x + y z = x y + z = Training per Hand Übersetzen Sie zunächst die Matrix in ein Gleichungssystem und lösen Sie dann mithilfe des Gauß-Algorithmus. a b c 6 9 Zeilentausch In Beispiel A auf der vorherigen Seite wurde zu Beginn des Verfahrens ein Zeilentausch Vertauschen der Gleichungen und vorgenommen. a Warum war hier ein Zeilentausch sinnvoll? b Begründen Sie, dass ein Zeilentausch die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems nicht verändert. Übungen Lösungen: ; ; ; ; ; ; Zur Kontrolle: Die Lösungen in ungeordneter Reihenfolge Lösungen: ; ; ; ; ; ; --System: Gleichungen mit Unbekannten Gauß-Algorithmus beim --System a + b c + d = b + c d = a b d = a + b + c + d = Die Schritte zur Überführung in die Dreiecksform erfolgen hier analog zu denen beim --System: Zunächst werden in der ersten Spalte drei Nullen erzeugt, dann zwei in der zweiten Spalte und schließlich eine in der dritten Spalte. Dann ist die Dreiecksform erreicht. Füllen Sie bei der Notation der Äquivalenzumformungen die Lücken Faktoren, mit denen die jeweiligen Gleichungen multipliziert werden aus und führen Sie die Äquivalenzumformungen selbst durch. ** ** ** *** wird übernommen wird übernommen, da bereits vorhanden * 8 + * n 6 wird übernommen wird übernommen n + n * n + n * wird übernommen wird übernommen ** wird übernommen ** + n ** Geben Sie die Lösung an und machen Sie die Probe. Übertragen des Gleichungsystems in die Matrix. 6

4 Modellieren mit Funktionen Kurvenanpassung Übungen LGS mit dem grafikfähigen Taschenrechner lösen Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS schnell bestimmen. Dazu gibt man die erweiterte Koeffizientenmatrix mithilfe des Matrix-Editors ein. WERKZEUG Mit wird der Typ der Matrix festgelegt: Zeilen, Spalten, kennzeichnet die Position der Zahl in der. Zeile und der.spalte Koeffizientenmatrix a 6 b + c = a b + c = 7 a + b c = Erweiterte Koeffizientenmatrix Mit dem Befehl ref erzeugt man eine Dreiecksform, aus der man die Lösungen durch Rückwärtseinsetzen bestimmen kann. a b + c = 7 b c = c = Der GTR besitzt einen weiteren Befehl rref, mit dem man aus der Koeffizientenmatrix eine Diagonalform erzeugt, aus der man das Ergebnis direkt ablesen kann. a = b = c = 6 Training mit dem GTR Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungssysteme aus den Übungen und mit dem GTR. Vergleichen Sie gegebenenfalls mit Ihren händisch ermittelten Lösungen. 7 Von der Dreiecksform zur Diagonalform a Zeigen Sie, dass die Matrix in die angegebene Dreiecksform überführt werden kann. Geben Sie die dabei vorgenommenen Umformungsschritte an. Überprüfen Sie auch mithilfe des GTR. b Aus der Dreiecksform der Matrix lässt sich durch geeignete Äquivalenzumformungen auch die Diagonalform herstellen. Geben Sie die dabei vorgenommenen Umformungsschritte an. Überprüfen Sie mit dem GTR. _ _ _ 8_ _ _ 6

5 . Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme 8 Nicht immer gibt es eine eindeutige Lösung Auch die aus der Mittelstufe bekannten --Systeme lassen sich mit dem Gauß-Algorithmus bearbeiten. Zu den vier Gleichungssystemen wurde mithilfe von rref die Diagonalform erstellt. Zusätzlich wurden die Graphen zu den einzelnen Gleichungen dargestellt. Ordnen Sie jeweils die drei passenden Karten Gleichungssystem, Matrix, Graph einander zu. Ein lineares Gleichungssystem kann genau eine, unendlich viele oder keine Lösung haben. x + y = 7 x + y = x + y = 6x + y = x y = x + y = x + y = x + y = A, B _ 9 C D _ I II III IV Wie erkennt man an der Diagonalform der Matrix die gegenseitige Lage der beiden Geraden im Koordinatensystem? 9 Parabel zu drei Punkten In jedem der drei Fälle soll die Parabel y = a x + b x + c so bestimmt werden, dass der Graph durch die drei gegebenen Punkte verläuft. Die Einträge in den letzten beiden Spalten der Tabelle sind etwas durcheinander geraten. Sortieren Sie richtig und begründen Sie mithilfe der Diagonalform der jeweiligen Matrix. Punkte Matrix LGS Lösung Grafik rref _ _ Es gibt keine Lösung rref f x = x + rref,, f x = _ x + x + _ Fragen zum Verstehen des Gauß-Algorithmus a Ein Zeilentausch verändert die Lösungsmenge eines LGS nicht. Gilt das auch bei einem Spaltentausch? b Warum muss zur schematischen Ausführung des Gauß-Algorithmus in dem Gleichungssystem ein Zeilentausch vorgenommen werden? c Man könnte aus der oberen Matrix auch die nebenstehende Diagonalform herleiten. Was sind nun die Lösungen? 6

6 Modellieren mit Funktionen Kurvenanpassung Ist Gauß der Erfinder des Gauß-Algorithmus? Wie oft in der Mathematikgeschichte, wurde das nach Gauß benannte Lösungsverfahren von ihm nicht als Erstem entwickelt. Bereits vor über Jahren verwendeten chinesische Mathematiker Zahlenschemata Garben guter Ernte, Garben mittlerer zur Lösung linearer Gleichungssysteme. In einem für die und Garbe schlechter Ernte geben Ausbildung von Beamten geschriebenen Buch Chiu 9 dou; Chang Suan Shu Mathematik in neun Büchern traten Garben guter, Garben mittlerer und Beispiele für --Systeme auf, die in einer der Matrix Garbe schlechter Ernte dou; ähnlichen Kurzform notiert wurden und durch Über Garbe guter, Garben mittlerer und führung in eine Dreiecksform gelöst wurden. In der neuzeit Garben schlechter Ernte 6 dou. lichen europäischen Mathematik wurden zunächst andere effektive Verfahren Determinanten zur Lösung linearer Gleichungssysteme entwickelt, bevor Gauß dann in seinen umfangreichen Arbeiten zur angewandten Mathematik der Verwendung von Dreiecksmatrizen großes Gewicht verlieh. Dies geschah insbesondere im Rahmen der Regressionsrechnung mit der Methode der kleinsten Quadrate, die heute auch mit seinem Namen verbunden ist. Aufgaben Alte Aufgabe in neuem Gewand Übersetzen Sie das im Exkurs gegebene Beispiel aus dem chinesischen Buch in ein Gleichungsystem und bestimmen Sie die Lösung. Die Tennisballpyramide Mit Polynom und LGS zur Formel Tennisbälle werden in der Form eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet, so dass sich darauf eine Pyramide aufbauen lässt. Erste Experimente verdeutlichen den stufenweisen Aufbau der Pyramiden und die schnell wachsende Anzahl von benötigten Tennisbällen. Stufen Bälle y = a x + b x + c oder y = a x + b x + c x + d oder In der Tabelle ist die notwendige Anzahl von Tennisbällen für die ersten zehn Aufbaustufen festgehalten. Wie viele Bälle benötigt man für eine Pyramide der. Stufe? Passen die Bälle einer Pyramide der. Stufe auf einen Kleintransporter? Die Darstellung der Tabellenwerte in einem Koordinatensystem x-achse: Stufenzahl, y-achse: Anzahl der Bälle könnten zum Graphen einer ganzrationalen Funktion passen. Versuchen Sie, eine Kurvenanpassung für ein Polynom mit möglichst niedrigem Grad zu erstellen. Falls dies gelingt, liefert die Funktionsgleichung die gesuchte Formel für die Anzahl benötigter Tennisbälle für eine n-stufige Pyramide x = n. 6