Gleichungssysteme mit zwei Variablen

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1 Gleichungssysteme mit zwei Variablen Eine alte chinesische Aufgabe lautet: In einem Stall befinden sich 5 Tiere, und zwar Hühner und Kaninchen. Die Tiere haben zusammen 9 Beine. Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen sind in dem Stall? Um erkennen zu können, wie ein Gleichungssystem gelöst werden kann, betrachten wir zunächst ein einfacheres Gleichungssystem: Die Addition der linken und rechten Seiten führt zu einer Gleichung, die nur noch eine Variable enthält und daher direkt gelöst werden kann. x = wird in eine Gleichung, z.b. x+y = 5, eingesetzt, um y = 1 zu erhalten. Betrachten wir nun ein allgemeineres Gleichungssystem: Durch geeignete Multiplikation kann erreicht werden, dass nach der Addition eine Variable herausfällt. Das folgende Gleichungssystem soll graphisch gelöst werden. x + y = 1 x y = 1 Lösungsansatz: Sei x die Anzahl der Hühner und y die Anzahl der Kaninchen. Die Fragestellung führt zu dem Gleichungssystem: x + y = 5 x + y = 9 x + y = 5 x y = 1 x = x = y = 1 5x + y = 9 x y = 15x + 6y = 7 x 6y = y = y Hierzu lösen wir die Gleichungen nach y auf und erhalten: y = x+ y = x 1 S( ) 1 Weitere Aufgaben: (rechnerische Lösung) a) 7x y = 11 5x + 8y = 18 b) x y = 9 5 x + 1 y = x -1 c) 0 (y +) x = 6 (y 5) d) (x ) = 8 y 5 (x ) = 6 y 1

2 Gleichungssysteme mit zwei Variablen Eine alte chinesische Aufgabe lautet: In einem Stall befinden sich 5 Tiere, und zwar Hühner und Kaninchen. Die Tiere haben zusammen 9 Beine. Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen sind in dem Stall? Um erkennen zu können, wie ein Gleichungssystem gelöst werden kann, betrachten wir zunächst ein einfacheres Gleichungssystem: Die Addition der linken und rechten Seiten führt zu einer Gleichung, die nur noch eine Variable enthält und daher direkt gelöst werden kann. x = wird in eine Gleichung, z.b. x+y = 5, eingesetzt, um y = 1 zu erhalten. Betrachten wir nun ein allgemeineres Gleichungssystem: Durch geeignete Multiplikation kann erreicht werden, dass nach der Addition eine Variable herausfällt. Das folgende Gleichungssystem soll graphisch gelöst werden. x + y = 1 x y = 1 Lösungsansatz: Sei x die Anzahl der Hühner und y die Anzahl der Kaninchen. Die Fragestellung führt zu dem Gleichungssystem: x + y = 5 x + y = 9 x + y = 5 x y = 1 x = x = y = 1 5x + y = 9 x y = 15x + 6y = 7 x 6y = y = y Hierzu lösen wir die Gleichungen nach y auf und erhalten: y = x+ y = x 1 S( ) 1 Weitere Aufgaben: (rechnerische Lösung) a) 7x y = 11 5x + 8y = 18 c) 0 (y +) x = 6 (y 5) b) d) x y = 9 5 x + 1 y = 5 (x ) = 8 y 5 (x ) = 6 y -1 1 x -1 Lösungen: a) x = ; y = 1 b) 0; y = c) ; y = 6 d) ; y = 0 Die Lösung der chinesischen Aufgabe lautet: x = ; y = 1

3 Gleichungssysteme mit dem GTR lösen 5x + y = 9 x y = Um Gleichungssysteme mit dem GTR zu lösen, wird zunächst die Koeffizientenmatrix eingegeben. Das Gleichungssystem muss in der Normalform vorliegen: Variablen links mit gleicher Reihenfolge, Zahlen rechts. 5 9 Der GTR liefert das Ergebnis in der Form: Dies entspricht dem Gleichungssystem in der sogenannten Diagonalform. 1x + 0y = 1 0x + 1y = oder kurz: y = Jedes Gleichungssystem kann durch wiederholtes a) Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl, b) Addieren zweier Gleichungen (jeweils rechte und linke Seiten) auf die Diagonalform gebracht werden. Löse mit dem GTR: 5x + y = 1 x + 7y = Ergebnis:, y = 6 Mit nd MATRIX EDIT werden die Matrix-Koeffizienten eingegeben. bedeutet: Zeilen (waagerecht), Spalten (senkrecht). Editor mit nd Quit verlassen. Mit nd MATRIX MATH B:rref([A]) wird das LGS gelöst. nd MATRIX NAMES 1: liefert z.b. [A], MATH 1: Frac versucht Brüche zu erzeugen. rref reduced row (Zeile) echelon form (Treppen- oder Stufenform)

4 Köpfe-Beine-Aufgabe Die chinesische Aufgabe kann einfacher gelöst werden, z. B. mit einer innerer Anschauung, die folgendermaßen aussehen könnte (auch große Mathematiker haben in Bildern gedacht): Gegeben: Anzahl Beine, Anzahl Köpfe Betrachte: Anzahl Beine Anzahl Köpfe (achte auf die Beine) und teile das Ergebnis durch : Anzahl Beine Anzahl Köpfe Dies ergibt die Anzahl der Vierbeiner. Eine Umformung liefert eine weitere Möglichkeit: Anzahl Beine Anzahl Köpfe = Anzahl Beine Anzahl Köpfe Betrachte: Anzahl Beine und vermindere das Ergebnis um Anzahl Köpfe :

5 Weg zum Additionsverfahren Vorüberlegung 1 + = + = = 10 } + a = b a = c 0 = b+c } + a = b c = d a+c = b+d } + Wende diese Überlegung auf die Gleichungssysteme an, so dass eine Variable beim Addieren herausfällt. Beachte, eine Gleichung (rechte und linke Seite) kann mit einer Zahl multipliziert werden. a) x y = 5 x + y = 11 b) x y = 1 x + y = 10 c) x y = x + y = d) x + 5y = 1 x + y = 10 5

6 a) x y = 5 x + y = 11 x = 8 y = b) x y = 1 x + y = 10 x = 7 y = c) x y = ( ) x + y = x = 5 y = 1 d) x + 5y = 1 (z.b.) x + y = 10 ( 5) y = 6

7 Gleichungssysteme mit Parametern 1. x + y = 1 (1 a)x ay =. ax + y = a x + 1 b y = 1 Ergebnisse 1. x = +a y = 1 a. x = ab a b = ab b a, y = a b a b a b 7