Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis. 3
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- Gerda Holzmann
- vor 5 Jahren
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1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort 4 1 Grundsätzliche Tipps Erläuterungen zur Schreibweise Die Menüstruktur Wichtige Tasten Grad und Bogenmaß Zurücksetzen des Geräts Lineare Gleichungssysteme 7 3 Funktionen untersuchen Grafische Darstellung Wertetabellen Nullstellen berechnen Schnittstellen berechnen Extrempunkte berechnen Zeichnen der Ableitung Wendepunkte berechnen Integrale Flächenberechnung Stammfunktion zeichnen Kurvenscharen Kurvenscharen dynamisch darstellen Tangente an die Kurve legen Regression Matrizen 25 5 Die Binomialverteilung Die Umkehrfunktion der kumulierten Binomialverteilung Lösungen der Aufgaben
2 Vorwort Vorwort Dieses Heft ist die Fortsetzung des «Einstieg-Hefts». Themen, die schon im ersten Heft behandelt wurden, werden daher nur kurz wiederholt. Das Heft soll nicht die Bedienungsanleitung ersetzen, sondern an den Stellen anknüpfen, an denen Fragen in der Schule entstehen. Daher werden vor allem die für den Unterricht wichtigen Themen behandelt. In diesem Buch wird die Softwareversion 2.00 verwendet, die auf dem fx-9860gii bzw. dem fx- 9860GII SD bereits vorinstalliert ist. Für Geräte der Serie fx-9860g gibt es unter ein kostenloses Update. Aus technischen Gründen ist die Bildschirmsprache der Screenshots englisch, dies schränkt die Benutzung aber nicht wesentlich ein. Wie arbeitet man mit diesem Heft? Wenn du das Gerät zum ersten Mal in der Hand hältst, eignet sich das Heft, um einzelne Kapitel durchzuarbeitenundso den Rechner näher kennenzulernen. Wenn du das Gerät schon kennstund eine konkretefragestellung hast, kannst du aber auch jederzeit direkt im entsprechendenkapitel nachlesen. Zu Beginn jedes Kapitels wird kurz erläutert, worum es darin geht. Außerdem wird gezeigt, wo die entsprechenden Funktionen im Gerät zu finden sind. Anhand eines Beispiels wird das Thema dann konkret behandelt. Mit Hilfe der Übungen kannst du alle Funktionen des Geräts direkt ausprobieren. Wir wünschen dir viel Spaß mit dem Gerät. Robert Neumann und Helmut Gruber 4
3 2. Lineare Gleichungssysteme 2 Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme können zwar über die eingebaute Gleichungslöseanwendung gelöst werden, jedoch berechnet diese Anwendung nur Lösungen von eindeutig lösbaren Gleichungssystemen. Daher ist es sinnvoller, das Gleichungssystem im Rechenfenster als Matrix einzugeben und die Matrix mit dem Rref-Befehl 1 umzuformen. Beim Umformen der Matrix können drei Fälle auftreten: 1. Die Spalte ganz rechts enthält Werte und links davon stehen nur auf der Diagonalen Einsen: Die Zahlen in der Spalte rechts sind die Lösung des LGS. 2. Die unterste Zeile enthält nur Nullen: Es gibt unendlich viele Lösungen. 3. Die unterste Zeile enthält nur Nullen und ganz rechts eine Eins: Es gibt keine Lösung. Beispiel 1 Gesucht ist die Lösung des folgendenlinearen Gleichungssystems: x 1 + 2x 2 x 3 = 8 x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 x 1 5x 2 4x 3 = 12 Die Koeffizienten des Gleichungssystems werden als Matrix geschrieben und mit dem Befehl [OPTN] MAT Rref umgeformt: Zuerst fügst du den Rref-Befehl ein, anschließend wechselst du durch das zweimalige Tippen von [ EXIT] wieder zum Rechenfenster zurück. Über MATH MAT m n fügst du nun die Matrix ein. Die Größe von Matrizen wird immer als «Zeile Spalte» angegeben (das wird als «kreuz» ausgesprochen), du benötigst also eine 3 4-Matrix. Anschließend gibst du die Koeffizienten der Matrix ein. Mit [EXE] wird der Befehl ausgeführt. Das Ergebnis sollte so aussehen, wie rechts abgebildet. Dort steht nun 1 x 1 = 1, 1 x 2 = 3 und 1 x 3 = 1. Also lautet die Lösungsmenge für das lineare Gleichungssystem L = {(1; 3; 1)}. 1 Rref bedeutet reduced row echelon form. Die Matrix wird dabei so umgeformt, dass die Spalte ganz rechts noch Einträge enthält, die restliche Matrix sollte nach Möglichkeit nur Einsen auf der Hauptdiagonalen enthalten. 7
4 2. Lineare Gleichungssysteme Beispiel 2 Gesucht ist die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems: x 1 + 2x 2 x 3 = 4 x 1 + 2x 2 3x 3 = 6 2x 1 + 4x 2 2x 3 = 8 Das lineare Gleichungssystem wird, wie im ersten Beispiel, als Matrix geschrieben und mit dem Rref-Befehl gelöst: Als Lösung ergibt sich nebenstehende Matrix. Die Leerzeile bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Zum Bestimmen der Lösungsmenge gehst du genau so vor, als wenn du das Gleichungssystem «von Hand» lösen würdest: Die umgeformte Matrix entspricht folgendem Gleichungssystem: I x 1 + x 3 = 1 II x 2 x 3 = 2,5 III 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 0 Du setzt nun z.b. x 3 = t und setzt dies in die beiden ersten Gleichungen ein: I x 1 + t = 1 II x 2 t = 2,5 Auflösen von Gleichung II nach x 2 führt zu: x 2 = t + 2,5. Nun wird Gleichung I nach x 1 aufgelöst: x 1 = t 1. Damit ist die Lösungsmenge: L = {( t 1; t + 2,5; t) t IR}. Beispiel 3 Gesucht ist die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems: x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 4x 2 + x 3 = 7 2x 1 + 8x 2 2x 3 = 8 Das lineare Gleichungssystem wird, wie in den beiden vorangehenden Beispielen, als Matrix geschrieben und mit dem Rref-Befehl gelöst: 8
5 2. Lineare Gleichungssysteme Als Lösung ergibt sich nebenstehende Matrix. Die letzte Zeile ergibt einen Widerspruch, denn diese Zeile entspricht der Gleichung = 1. Daher hat dieses Gleichungssystem keine Lösung; man kann dazu auch sagen, dass die Lösungsmenge leer ist: L = { } Mit [F D] kannst du zwischen der Angabe des Ergebnisses in Dezimal- bzw. Bruchzahlen hin- und herschalten. Übungen Untersuche, ob die folgenden linearen Gleichungssysteme eine Lösungsmenge besitzen und bestimme diese gegebenenfalls. a) x 1 + 2x 2 2x 3 = 7 x 1 x 2 4x 3 = 9 x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 25 b) x 1 + 2x 2 3x 3 = 4 x 1 + 2x 2 3x 3 = 6 2x 1 + 4x 2 2x 3 = 8 c) 2x + y z = 6 x + 3y + 3z = 14 x + 2y + 4z = 8 d) x + y z = 1 2x y + z = 8 4x + y z = 1 9
6 3. Funktionen untersuchen 3.6 Zeichnen der Ableitung Mit dem GTR ist es nicht möglich, die Gleichung der Ableitungsfunktion zu bestimmen. Allerdings kann man die Ableitungskurve einer Funktion zeichnen lassen. Um die Ableitung einer Funktion zu zeichnen, benötigst du den Ableitungsbefehl d/dx, den du im Grafikeditor mit [OPTN] CALC erhälst. Mit diesem Befehl kannst du im Grafikeditor die Ableitungsfunktion definieren. Beispiel Es soll die Ableitung der Funktion f (x) = x 3 + 3x + 5 gezeichnet werden. Zuerst gibst du die Funktion im Grafikeditor ein, wie in den vorherigenbeispielen. Nun gibst du bei Y2 den Ableitungsbefehl ein mit: [OPTN] CALC d/dx und wählst anschließend Y1 mit den Tasten [F1] und [1] aus. Da nach x abgeleitet werden soll, musst du x bei «x =» mit [X,Θ,T] eingeben. Im Grafikfenster wird nun zuerst die Kurve der Funktion (x 3 -Kurve) und dann die ihrer Ableitung (Parabel) gezeichnet.! Man kann alle Berechnungen des G-Solver-Menüs auch an der Ableitung durchführen, also Nullstellen oder Extremwerte berechnen. Durch die numerische (also näherungsweise) Berechnung der Ableitung kann es dabei zu «merkwürdigen» Ergebnissen kommen. Rechts wurde das Maximum der Ableitungsfunktion des Beispiels berechnet. Der GTR liefert das Ergebnis x = 7, Dieses Ergebnis kannst du zu x = 0 abrunden, ebenso wie du den zugehörigen y-wert zu 3 aufrunden kannst. Bei komplizierteren Funktionstermen kann es relativ lange dauern, bis die Ableitung gezeichnet ist, du kannst das Zeichnen mit der Taste [AC] abbrechen. Im Grafikfenster kannst du den Cursor mit S [TRACE] auf der Kurve bewegen. Zwischen der Funktions- und der Ableitungskurve wechselst du mit den Tasten [ ] und [ ]. Übungen a) Zeichne den Graph der Ableitungsfunktion von f (x) = x 2 + 3x 5. b) Zeichne den Graph der Ableitungsfunktion von f (x) = 0,01x 3 0,8x
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