K b) x. Aufgabe 2: [3P] Bestimmen Sie die x-werte, bei denen die Tangente an die Funktion f ( x) 6 x durch R(-2/0) geht.

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1 Pflichtteil (etwa min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Aufgabe : [P] Leiten Sie ab: a) f( x) x b) f( x) x x x Lösungsvorschlag : a) Wir formen zuerst um: ab: x f ( x) x x 6x x f '( x) x 6x b) Wir formen wieder um x x x x Jetzt leitern wir x x x x x x x f ( x) und leiten x x x dann wieder ab: x f '( x) x x x Aufgabe : [P] Bestimmen Sie die x-werte, bei denen die Tangente an die Funktion f ( x) 6 x durch R(-/) geht. Lösungsvorschlag : Sei a der Punkt, dessen Tangente: t( x) f '( a) ( x a) f ( a) durch R(-/) geht. 6 Da f '( x) ist, gilt f ( a) 6 a f '( a). x x a Damit ist die Tangente t( x) ( x a) 6 a a Da R(-/) auf der Tangente liegt, gilt: ( a) 6 a. Wir lösen die a Gleichung nach a auf: Es muss a größer Null sein. Multipliziert man mit a, erhält man 6a6a a Damit geht die Tangente bei x= durch den Punkt R. Aufgabe : [P] Bestimmen Sie die Lösung von sin(x ) sin(x ) Lösungsvorschlag : Wir substituieren z sin(x ) und erhalten z z z z z z ( )( ). Die beiden möglichen Lösungen sind also z und z (selbstverständlich kann man dies auch mit der MNF berechnen) Resubstitution:

2 . Fall: z sin(x ) Diese Gleichung hat keine Lösung, da der sin nie kleiner als ist.. Fall: z sin(x ). Der Sinus ist genau dann, wenn das Argu- π ment ( + πk) ist. D.h. Die Lösung ist x (allgemein: 8 8 x k) x (allgemein: x k) ist. 6 6 Aufgabe : [P] Bestimmen Sie die x-werte der Extremstellen von f ( x) x x. (Entscheiden Sie, welche Extremumart vorliegt, die Bestimmung des Funktionswertes ist aber nicht verlangt.) Lösungsvorschlag : Die notwendige Bedingung für ein Extremum in x ist Es gilt: f '( x) x x f x.. Damit ist die notwendige Bedingung: Ein extremum kann also nur bei x und x/ vorliegen. Zu den hinreichenden Bedingungen: Es muss f ''( x) x von Null verschieden sein.. Fall: x : f ''(). Es liegt ein Maximum vor.. Fall: x : f ''() 8. Es liegt ein Minumum vor. x x.. Fall: x : f ''( ) 8. Es liegt ebenfalls ein Minumum vor. Bemerkung: Wenn f x ist, kann man nicht sagen, dass dies kein Extremum ist. Beispiel: punkt vorliegt. f ( x) x. Die zweite Ableitung ist, obwohl ein Tief- Aufgabe 5: [P] Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems x y z 9 Lösungsvorschlag 5: y z 6 x y Das Gaussverfahren ergibt (G durch dividiert) : G G Rückwärts einsetzen: G erlaubt z beliebig zu wählen, also z = t G ergibt damit y t = 6 y =,75t +,5 5 G G 9 6

3 G liefert: x + (,75t +,5) + t = 9 x = 9,5t. Damit ist x =,5t.,5t Für die Lösungen gilt also: x,5, 75t. Damit ist die Lösungsmenge eine t,5 6 Gerade g : x,5 t, 75 g : x,5 s (setze t = s)

4 Wahlteil (etwa min) Mit GTR und Formelsammlung nach Abgabe des Pflichtteils kann der GTR und die Formelsammlung verwendet werden. Aufgabe 6: [P] Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symetrisch zur y- Achse und hat in W( ) eine Wendetangente mit der Steigung Lösungsvorschlag 6: Die gesuchte Funktion ist vom Grad. Da sie symmetrisch zur y-achse ist, sind die Koeffizienten der Potenzen mit ungeraden Hochzahlen alle. Also ist f x ax cx e. Wir benötigen die ersten beiden Ableitungen: ' und f x ax cx f '' x ax c Da W(/) auf dem Graphen liegt, gilt G: 6a c e Da die Steigung bei x = den Wert hat, gilt G: ac 96ac a c Da bei x = ein WP ist, gilt G: 8ac xc Damit lautet das Gleichungssystem: 6 6 G G Rückwärts einsetzen ergibt: G: c c G: a a G: 6 e 8 5 e Damit ist das gesuchte Polynom: a 8 5 f ( x) x x 8 Aufgabe 7: [P] Gegeben ist die Ebene E durch die Punkte A( ), B( 5 9 ) und C( 6 7 ) a) Geben Sie die Ebenengleichung von E an. b) Für welches p liegt der Punkt R( p - ) auf der Ebene. Lösungsvorschlag 7: 5 6 Zu a) E : x r s 9 7 E : x r s 7 5

5 Zu b) Sei p so, dass der Punkt auf der Ebene liegt. Dann gibt es r und s mit: p r s p r s r s p. Damit gilt das LGS G G 9 8 Rückwärts einsetzen ergibt nun: G: s G: r r G: 6 p p 5 Damit ist der Punkt genau dann auf E, wenn p den Wert 5 hat. Aufgabe 8: [P] Prüfen Sie, ob die beiden Geraden g und h sich schneiden. Geben Sie, falls möglich, eine Parametergleichung der Ebene E an, die eindeutig durch die Geraden g und h bestimmt ist. g : x t und h : x r Lösungsvorschlag 8: Sei S(x/y/z) ein Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Dann gibt es Zahlen t und r x mit y t r. Die letzte Gleichung ist ein LGS mit den z Unbekannten t und r. t r G G G G zwei unabhängige Gleichungen. Rückwärts einsetzen ergibt G: t = G: r = r = Der Schnittpunkt ergibt sich mit r = zu S(//) Wir haben also nur

6 Wir wählen diesen Punkt als Stützpunkt und die Richtungsvektoren der beiden Geraden als Spannvektoren. Wir erhalten als Ebene E E : x r s Aufgabe 9: [P] Auf einem Hof sind Enten, Hühner und Kaninchen mit zusammen Füßen und 6 Köpfen. Es sind doppelt so viele Hühner wie Enten. Wie viele Enten, Hühner und Kaninchen sind es? Lösungsvorschlag 9: Es gibt e Enten, h Hühner und k Kanichen. Damit gilt G: e h k e h k 6 G: e h k 6 G: h e eh Das LGS lautet also G G G G Rückwärts einsetzen ergibt: G: k = G: h + 96 = h = h = 8 G: e = 6 e = Damit leben Enten, 8 Hühner und Kaninchen auf dem Bauernhof. Beschreibenden Text nicht vergessen.

7 A: als S. 7 Nr. a, b A6: alt S. Nr. d A7: Alt S. 8 Nr. a, b() A8: Alt S. 9 Nr. a A9: Alt s. Nr. 8a