Klausur Nr. 2. Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper. keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.

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Emilia Berger
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1 Klausur Nr. 2 Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Bilden Sie die ersten Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich: a) 1 cos b) 2 / 5 2. Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz aber prägnant. a) Für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation einer Funktion auf dem Intervall [a; b] entsteht, gilt:. / 6 b) Die Ableitung von mit cos sin ist sin cos. c) Die Ableitung von mit 168 ist bitte wenden!

2 3. Mit 24 Fertigen Sie eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. / 3 4. Gegeben sind die Funktionen und mit und 15. a) Berechnen Sie b) Für welchen Wert von ist 4? / 4 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

3 Klausur Nr. 2 Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper Wahlteil Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 5. Gegeben ist die Funktion mit a) Skizzieren Sie den Verlauf des Schaubilds für x im Intervall [-10; 20]. b) Finden Sie alle Extremstellen von. Entscheiden Sie, welche Art von Extremstelle jeweils vorliegt. Begründen Sie Ihre Entscheidung. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an im Schnittpunkt mit der y-achse. Sie dürfen dabei die Koeffizienten auf zwei Dezimalen gerundet angeben. d) Erklären Sie, warum 5 die einzige Nullstelle von sein muss. / Ein Mathematiker möchte einen zylinderförmigen Körper bauen. Die verwendeten Materialien unterscheiden sich im Preis: Für Bodenfläche und Deckel muss pro m² mit 1 gerechnet werden, die Mantelfläche kostet 2 pro m². Der Zylinder soll maximal 100 kosten. Geben Sie das bei diesem Preis maximale Volumen des Zylinders in Liter an. / 7 Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe Viel Erfolg! Schule Notengebung von 38 Rückgabe am 15. Dezember 2010 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel:

4 Klausur Nr. 2 Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Bilden Sie die ersten Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich: a) 1 cos b) 2 1 cosx 1 sin x sin = / 5 2. Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz aber prägnant. a) Für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation einer Funktion auf dem Intervall [a; b] entsteht, gilt:. / 6 falsch Gegenbeispiel: 2, Rotation im Intervall [0;4] liefert einen Zylinder mit Grundkreisradius 2 und Höhe 4, also Die angegebene Formel liefert jedoch nur b) Die Ableitung von mit cos sin ist sin cos. falsch die Produktregel liefert sin sincos cos. c) Die Ableitung von mit 168 ist wahr, denn die Kettenregel besagt hier: Da ³ gilt 4³ bitte wenden!

5 3. Mit 24 Fertigen Sie eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. / 3 Es handelt sich um einen Kegel. 4. Gegeben sind die Funktionen und mit und 15. a) Berechnen Sie b) Für welchen Wert von ist 4? / 4 Einsetzen der Funktionsterme liefert: 154, gilt nur für 1. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

6 Erwartungshorizont Wahlteil 5. a) Die Funktionsgleichung kann in den GTR eingegeben werden, das Schaubild sollte beschriftete und mit Einheiten versehene Koordinatenachsen und eine zeichengenaue Darstellung des Graphen auf der Grundlage einer geeigneten, aber nicht unbedingt schriftlich fixierten Wertetabelle sowie die wesentlichen Punkte enthalten - siehe nebenstehende Abbildung. b) Mit Hilfe des GTR findet man die beiden Extremstellen und. Es handelt sich dabei um eine Maximal- bzw. eine Minimalstelle, da das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus bzw. von Minus nach Plus wechselt. [Nicht erwartet, aber der Vollständigkeit halber sei angegeben: Außer diesen beiden Stellen kann es keine Extremstellen geben, denn die Funktion h mit ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und diese haben maximal zwei Extremstellen. Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion kann sich die Anzahl der Nullstellen durch Wurzelziehen aus dem zweiten Faktor nicht erhöhen.] c) Mit Hilfe des GTR können 0 und 0 näherungsweise bestimmt werden: 08,17007 und 01,17502 Die Tangentengleichung hat die Form, wobei gilt: 008,17 und 01,18. Also heißt die Tangentengleichung im Schnittpunkt mit der y-achse näherungsweise:,, d) Wegen des Satzes vom Nullprodukt muss mindestens einer der beiden Faktoren und den Wert Null haben, damit gleich Null ist. Der erste Faktor ist Null für 5. Um zu prüfen, ob auch der zweite Faktor der Wert Null annimmt, genügt es zu prüfen, ob der Radikand Null wird. Die Diskriminante der abc-formel hat den Wert , daher gibt es keine reelle Lösung für die Gleichung Somit ist 5 die einzige Nullstelle von f.

6. Die zu optimierende Größe ist das Volumen des Zylinders. Für das Volumen eines Zylinders gilt:,², das ist die Zielfunktion. Für die Nebenbedingung (Kosten = 100) betrachtet man die Oberfläche.

7 6. Die zu optimierende Größe ist das Volumen des Zylinders. Für das Volumen eines Zylinders gilt:,², das ist die Zielfunktion. Für die Nebenbedingung (Kosten = 100) betrachtet man die Oberfläche. Sie setzt sich aus zwei Kreisen und einem Rechteck zusammen (siehe Abb.):,2²2. Wegen der unterschiedlichen Kosten für Boden und Deckel/Mantel gilt für die Kosten (in ): K(R,H)= 2² Es soll gelten K = 100, daher gilt: , also Damit kann aus der Zielfunktion die Variable H eliminiert werden: 50² 2 Der GTR liefert näherungsweise für 2,3033 und somit für das maximale Volumen 2,303338,3882. ². Alle Längen sind in m, die Flächen in m² und das Volumen somit in m³ angegeben. Das maximale Volumen beträgt also etwa Liter.

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