Klausur Nr. 2. Skalarprodukt, Ebenen und Geraden (Darstellungen und Lage zueinander)

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Ingelore Ingeborg Lang
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1 Klausur Nr Pflichtteil Skalarprodukt, Ebenen und Geraden (Darstellungen und Lage zueinander) keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Gegeben sind die Vektoren und mit ( ) und ( ). a) Berechnen das Skalarprodukt der Vektoren und und vereinfachen Sie so weit wie möglich. b) Bestimmen Sie so, dass die Vektoren und linear abhängig sind. 2. Geben ist das Dreieck ABC mit A(2 1 1), B(5 5 2) und C(1 7 6). Zeigen Sie, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und berechnen Sie seinen Flächeninhalt. / 4 bitte wenden!

2 3. Gegeben ist die Ebene mit. Beschreiben Sie die Lage der Ebene im Koordinatensystem möglichst exakt. 4. Gegeben ist die Ebene mit [ ( )] ( ). a) Zeichnen Sie die Spurpunkte von in ein Koordinatensystem ein und verbinden Sie sie zu einem Dreieck. / 6 b) Erläutern Sie, wie man zeigt, dass mit ( ) ( ) nicht das von den Spurpunkten der Ebene gebildete Dreieck schneidet. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

3 Klausur Nr Erwartungshorizont Pflichtteil Skalarprodukt, Ebenen und Geraden (Darstellungen und Lage zueinander) 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Gegeben sind die Vektoren und mit ( ) und ( ). a) Berechnen das Skalarprodukt der Vektoren und und vereinfachen Sie so weit wie möglich. ( ) ( ) [1,5 ] b) Bestimmen Sie so, dass die Vektoren und linear abhängig sind. gilt bei und für, also ist [1,5 ] 2. Geben ist das Dreieck ABC mit A(2 1 1), B(5 5 2) und C(1 7 6). Zeigen Sie, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und berechnen Sie seinen Flächeninhalt. / 4 Rechtwinkligkeit: Wegen ( ) und ( ) gilt: Also hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei B. [2 ] Flächeninhalt: ( ). Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt. (FE). [2 ] bitte wenden!

4 3. Gegeben ist die Ebene mit. Beschreiben Sie die Lage der Ebene im Koordinatensystem möglichst exakt. Die Ebene steht senkrecht auf der x 1 x 2 -Ebene und beinhaltet die x 3 -Achse. Außerdem bildet sie mit den anderen beiden Koordinatenachsen jeweils einen Winkel von Gegeben ist die Ebene mit [ ( )] ( ). a) Zeichnen Sie die Spurpunkte von in ein Koordinatensystem ein und verbinden Sie sie zu einem Dreieck. / 6 [0,5 ] ( ) ( ) korrekt ( ) Restliche Zeichnung [1,5 ] b) Erläutern Sie, wie man zeigt, dass mit ( ) ( ) nicht das von den Spurpunkten der Ebene gebildete Dreieck schneidet. Für alle Punkte des Dreiecks S 1 S 2 S 3 gilt: Durch Einsetzen der Koordinaten von in die Koordinatenform von und auflösen nach kann man den zum Schnittpunkt S von und gehörenden Parameterwert von bestimmen. Setzt man diesen in ein, erhält man den Ortsvektor von S. Da (mindestens) eine seiner Koordinaten außerhalb der oben angegebenen Intervalle liegt, ist S außerhalb des Dreiecks. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

Wahlteil Klausur Nr. 2 Skalarprodukt, Ebenen und Geraden (Darstellungen und Lage zueinander) 2013-06-06 Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 5.

Bis Ende 2013 kann man noch in einer der 18 Kabinen die 890m lange Fahrt über den Rhein zurücklegen und dabei etwa 120 Höhenmeter überwinden.

5 Wahlteil Klausur Nr. 2 Skalarprodukt, Ebenen und Geraden (Darstellungen und Lage zueinander) Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 5. Für die Bundesgartenschau in Koblenz wurde die größte Seilbahn Deutschlands vom Deutschen Eck zur Festung Ehrenbreitstein errichtet. Bis Ende 2013 kann man noch in einer der 18 Kabinen die 890m lange Fahrt über den Rhein zurücklegen und dabei etwa 120 Höhenmeter überwinden. Die Seile lassen sich auf einer Teilstrecke durch Geradenabschnitte modellieren. Für die Bergfahrt begrenzen die Punkte K 1 ( ) und E 1 ( ) diesen Abschnitt, für die Talfahrt die Punkte E 2 ( ) und K 2 ( ). Die Spur des abgebildeten Containerschiffs auf dem Rhein ergibt sich im gleichen Koordinatensystem, es entsprechen einer Längeneinheit 10m in der Realität: / 13 ( ) ( ) Bestimmen Sie die Gleichungen für die Geradenabschnitte beider Seile. Woran können Sie erkennen, dass das Schiff rheinabwärts fährt? Welchen Winkel schließen die Kabinenhalterung und eines der Seile ein? In welchem Abstand verlaufen die Seile der Bahn zueinander? Berechnen Sie den Abstand des Bergfahrtseils von der Spur des Schiffes, wenn sich die Kabine direkt über der Schiffsspur befindet. Welchen Mindestabstand haben daher der Boden der Seilbahnkabine und das Dach des Schiffsteuerstands, falls sie sich direkt übereinander befinden? Schätzen Sie sinnvoll! Viel Erfolg! Notenschlüssel siehe Schule Notengebung Erwartungshorizont siehe von 31 Rückgabe am 12. Juni 2013 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel:

Erwartungshorizont Wahlteil Bergfahrt: ( ) ( ) Talfahrt: ( ) ( ) Das Schiff fährt flussabwärts, da die x 3 -Komponente des Richtungsvektors von c negativ ist, d.h. es geht bergab.

6 Erwartungshorizont Wahlteil Bergfahrt: ( ) ( ) Talfahrt: ( ) ( ) Das Schiff fährt flussabwärts, da die x 3 -Komponente des Richtungsvektors von c negativ ist, d.h. es geht bergab. Winkel Seil Kabinenhalterung ( ) Also gilt ( ) ( ) [2 ] Abstand Tragseile Abstand paralleler Geraden über Hilfsebene senkrecht zu den Seilen: [ ( )] ( ), ausmultipliziert: ( ) ( ) ( ), also Ortsvektor des Schnittpunkts S (auf der Verlängerung von h): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die Seile sind also etwa 15m voneinander entfernt.

7 Senkrechter Abstand Bergseil Schiffspur Ein Punkt G auf g hat die Koordinaten ( ), ein Punkt C auf c hat die Koordinaten ( ). Wenn sich Kabine direkt über der Schiffspur befindet, stimmen die x 1 - und die x 2 - Koordinaten überein:, einsetzen der Koordinaten liefert Umformen liefert Mit Hilfe des GTR: Einsetzen liefert Differenz der x 3 -Koordinaten: Der gesuchte Abstand beträgt demnach etwa 66m. Mindestabstand Kabinenboden Schiffsdach Abschätzung Kabinenhöhe = Länge der Halterung, daher Abstand Kabinenboden Seil: ca. 5m. Abschätzung Höhe Containerschiff: Höhe über Wasseroberfläche ca. 3 Containerhöhen à 2,5m: ca. 7,5m. Insgesamt Abstand Kabinenboden Schiffsdach: 66m 5m 7,5m = 53,5m. Der gesuchte Abstand beträgt etwa 54m. [2 ]

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