Abiturprüfung Mathematik 2014 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

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1 Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

2 Pflichtteil Aufgabe : Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f x = x e x. Lösung: Für f x = x / e x verwende die Produkt- und Kettenregel ( VP) f x = x e x + x e x = e x x + x

3 Pflichtteil Aufgabe : Berechnen Sie das Integral dx. ( VP) Lösung: x + x + dx = x + dx = x + = x + = 9 = 8 9

4 Pflichtteil Aufgabe : Lösen Sie die Gleichung x = + x. Lösung: x = + x x x x = Substitution z x z z = p-q-formel ( VP) z, = ± z =, z = Rücksubstitution x = x = ; x = bzw. x = Ergebnis: L = ;.

5 Pflichtteil 5 Aufgabe : Gegeben sind die Funktionen fund g mit f x = cos (x) und g x = cos π x. a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von g für x. ( VP)

6 Pflichtteil f x = cos (x) g x = cos π x 6 Lösung: a) Wie erhält man den Graphen von g aus demjenigen von f? Verdopple die Amplitude, d.h. aus cos (x) wird cos (x). Ändere die Frequenz, d.h. aus cos (x) wird cos π x. Verschiebe den Graphen um Einheiten nach unten und erhalte g(x). b) Nullstellen von g für x + : cos π x = cos π x = cos π x = cos = π x = x = ; cos π = π x = π x = Ergebnis: Die Nullstellen von g für x sind x = bzw. x =.

7 Pflichtteil 7 Aufgabe 5: Die Abbildung zeigt die Graphen K f und K g zweier Funktionen f und g. a) Bestimmen Sie f g. Bestimmen Sie einen Wert für x so, dass f g x = ist. b) Die Funktion h ist gegeben durch h x = f x g x. Bestimmen Sie h K g K f ( VP)

8 Pflichtteil 8 Lösung: a) Wert für f g Ergebnis: Wegen g = und f = 5 ist f g = 5. Wert für x, so dass f g x = ist Für f x = liest man x = und x = ab. Wir suchen also Werte für x, so dass g x = oder g x = ist. Für x = ist g(x) = und für x = ist g(x) =. Ergebnis: Für x = und x = ist f g x =.

9 Pflichtteil 9 b) Für h x = f x g x bestimme h Mit der Produktregel gilt K g K f h x = f x g x + f x g x und damit h = f g + f g Durch Ablesen erhält man f =, g = Da die Ableitung nichts anderes als die Steigung ist, liest man weiterhin ab: f =, g = Ergebnis: h = + =.

10 Pflichtteil Aufgabe 6: Gegeben sind die Ebenen E: x + x = und F: x + x + x =. a) Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F an. b) Die Ebene G ist parallel zur x -Achse und schneidet die x x -Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene F. Geben Sie eine Gleichung der Ebene G an. (5 VP)

11 Pflichtteil E: x + x = F: x + x + x = Lösung: a) Darstellung der Ebenen in einem Koordinatensystem Zunächst bestimmt man die Spurpunkte (= Schnittpunkte mit den Achsen) der beiden Ebenen. Für E erhält man, indem man x = setzt und nach x auflöst, den Spurpunkt E bzw., indem man x = setzt und nach x auflöst den Spurpunkt E ( ). Einen Schnittpunkt mit der x -Achse gibt es nicht, d.h. E verläuft parallel zur x -Achse. Analog erhält man die Spurpunkte für F (durch Nullsetzen zweier Koordinaten und Auflösen nach der dritten Koordinate), nämlich F, F und F.

12 Pflichtteil E: x + x = F: x + x + x = Durch Einzeichnen und Verbinden der jeweiligen Spurpunkte im Koordinatensystem erkennt man die Lage der beiden Ebenen. Die Schnittgerade erhält man durch Lösen des LGS (oder durch einfaches Ablesen) I. x + x = und II. x + x + x = II. I. liefert x =. E = F Übrig bleibt die Gleichung x + x = in der man z.b. x frei wählen kann, etwa x = t R. Dadurch erhält man x = t. Somit ergibt sich das F F E E = F Ergebnis: Die Schnittgerade ist gegeben durch x g: x = x = = x t t + t ; t R

13 Pflichtteil G parallel zur x -Achse G hat dieselbe Spurgerade in der x x -Ebene wie F b) Gleichung für G Wir nehmen u = F F = = als einen Richtungsvektor für G. Da G parallel zur x -Achse verläuft, können wir v = als zweiten Richtungsvektor F F G F verwenden. Der Punkt F ( ) liegt auf G und kann somit als Stützvektor dienen. Ergebnis: Eine Parameterform für G lautet G: x = + s + t ; s, t R

14 Pflichtteil Aufgabe 7: Gegeben sind die Punkte A( ), B( ) und C( ). Die Gerade g verläuft durch A und B. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes C von der Geraden g. ( VP)

15 Pflichtteil A B( ) C( ) 5 Lösung: Für die Geradengleichung von g verwende z.b. a = u = AB = Somit haben wir g: x = = + t als Richtungsvektor. als Stützvektor und mit t R als Geradengleichung. Im nächsten Schritt bilden wir eine Hilfsebene E, die senkrecht zu g steht, so dass C in E liegt.

16 Pflichtteil g: x = + t u = C( ) 6 Als Normalenvektor für E nehmen wir den Richtungsvektor u von g und erhalten damit zunächst E: x + x = d mit einem noch unbekannten d. Da C in E liegt, setzen wir die Koordinaten von C ein und erhalten: E: + = = d und damit die vollständige Ebenengleichung: E: x + x = Durch Einsetzen von g in die Ebenengleichung von E bestimmen wir den Schnittpunkt F. t + + t = 5t = 5 t =

17 Pflichtteil g: x = + t C( ) 7 Den soeben gefundenen Wert t = setzen wir in g ein und erhalten x = = 5 7, somit ist F(5 7 ) der Schnittpunkt von g mit E. Der Abstand von C zu g ist dann gegeben durch: d C, g = CF = 5 7 = = + + = 5 Ergebnis: Der Abstand von C zu g beträgt 5 LE.

18 Pflichtteil 8 Aufgabe 8 An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele. a) Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt: P A = b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal? ( VP)

19 WS := Wahrscheinlichkeit Pflichtteil 9 Lösung a) Ereignis A mit P A = Laut Aufgabe ist die WS für verlieren, also für gewinnen. 8 Der Teilausdruck 8 gewinnen und 8mal zu verlieren. Entsprechend ist 9 = zu gewinnen und 9mal zu verlieren. Ebenso ist Spielen. = gibt die WS an, in Spielen mal zu 9 die WS, in Spielen mal die WS für mal verlieren in

20 WS := Wahrscheinlichkeit Pflichtteil Alle Teilergebnisse zusammen führen zu folgendem Ergebnis: Der angegebene Ausdruck beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A = In Spielen höchstens mal gewinnen.

21 WS := Wahrscheinlichkeit Pflichtteil b) WS für genau mal verlieren bei Spielen WS für verlieren ist, WS für gewinnen ist. Damit gibt der Ausdruck die gesuchte WS an, wobei beschreibt, auf wie viele Arten sich die Gewinne (G) und die Niederlagen (N) in den Spielen verteilen können, nämlich auf diese 6 Arten: GGNN, GNGN, GNNG, NGGN, NGNG, NNGG. Damit ist P mal verlieren = 6 = = 8 7 Ergebnis: P mal verlieren = 8 7

22 Pflichtteil Aufgabe 9: Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene. Die Kugel berührt diese Ebene. Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann. ( VP)

23 Pflichtteil Lösung Bilde eine Gerade g senkrecht zur Ebene E durch den Mittelpunkt M der Kugel. M dient dabei als Stützvektor von g und der Normalenvektor von E als Richtungsvektor. Bestimme den Schnittpunkt F von g mit E. Dies ist der Berührungspunkt der Kugel mit der Ebene. Der Abstand d = MF ist schließlich der Radius der Kugel. g E F M

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