K2 MATHEMATIK KLAUSUR 4. Aufgabe PT Ana Geo Sto Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

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1 K MATHEMATIK KLAUSUR Aufgabe PT Ana Geo Sto Gesamtpunktzahl Punkte (max Punkte Notenpunkte PT * Summe P. (max Punkte WT Ana A.1a b c A 1. Summe P. (max Punkte WT Geo S.a b Summe P. (max Punkte WT Sto G.a b c Summe P. (max 6 10 Punkte GTR und Merkhilfe dürfen erst nach Abgabe des Pflichtteils abgeholt werden. 1

2 Pflichtteil (1 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion ( Gegeben ist die Funktion f(x = sin(x + f(x = x e 1 x 1 (x 1 ; x > 1. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F (0 = 3. (3 Lösen Sie die Gleichung e 5x 7e 3x + 6e x = 0. (4 Die Gerade g geht durch den Punkt A(5 5 1 und schneidet die Ebene E : x 1 x x 3 = 16 orthogonal. Bestimmen Sie die beiden Punkte P und Q auf g, die von E doppelt so weit entfernt sind wie der Punkt A. (5 Gegeben ist der Punkt P ( a Bestimmen Sie den Abstand von P zum Ursprung O. b Geben Sie den Punkt Q auf der x -Achse an, der den kleinstem Abstand zu P hat. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OP Q. (6 Beim Lotto 3 aus 5 tippt man, welche drei Kugeln aus einer Urne mit fünf Kugeln gezogen werden, die je eine der Zahlen von 1 bis 5 als Aufschrift tragen. Die Reihenfolge der Ziehung muss dabei nicht vorhergesagt werden und es wird ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man a alle drei Kugeln richtig vorausgesagt? b genau zwei Kugeln richtig vorausgesagt?

3 (7 Gegeben seien die Funktionen f(x = 1 und g(x = x x 1 x 1. Ordnen Sie den Funktionen f, f und g ihre Schaubilder zu und begründen Sie Ihre Aussagen. Geben Sie anschließend einen Term für die Funktion an, deren Graph in der noch nicht zugeordneten Abbildung abgebildet ist. * Heute feiern Millionen von Iren und Menschen mit irischen Vorfahren weltweit den St. Patrick s Day und gedenken damit des irischen Nationalheiligen Patrick, der an einem 17. März gestorben ist. So kann man berechnen, in welchem Jahr er gestorben ist: Multipliziere die kleinste Zahl mit Quersumme 0, in der keine Ziffer doppelt vorkommt, mit der größten Lösung der Gleichung x = x. Das Ergebnis entspricht der Anzahl der Jahre, die seit St. Patrick s Tod vergangen sind. In welchem Jahr ist er gestorben?

4 Aufgabe A 1.1 Auf einem Platz, wo zu bestimmten Zeiten ein berühmtes Glockenspiel zu hören ist, befinden sich um Uhr morgens 000 Personen. Die momentane Änderungsrate der Personenzahl auf dem Platz wird modellhaft durch die Funktion f beschrieben mit f(t = 50 sin(0,105t 10; 0 t 180 (t in Minuten nach Uhr, f(t in Personen pro Minute. a Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate der Personenzahl auf diesem Platz um Uhr. Zwischen welchen Werten schwankt die momentane Änderungsrate? Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Personenzahl auf dem Platz zum ersten Mal zu? Bestimmen Sie die Dauer einer Periode von f und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. b Untersuchen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Personenzahl auf dem Platz am größten ist. Geben Sie diese Personenzahl an. Bestimmen Sie einen integralfreien Funktionsterm F (t, der die Personenzahl auf dem Platz zum Zeitpunkt t näherungsweise beschreibt. Zu welchem Zeitpunkt befinden sich nur noch 500 Personen auf dem Platz? c Um Uhr erhält die Polizei den Befehl, den Platz zu räumen. Die momentate Änderungsrate der Personenzahl behält ab jetzt den Wert, den sie um Uhr hatte. Wann ist der Platz geräumt?

5 Aufgabe A 1.. Für jedes a mit 0 a 5 ist eine Funktion f a gegeben durch f a (x = 1 x ax a. a (3 VP Zeigen Sie, dass es keinen Wert von a gibt, für den der Tiefpunkt des Graphen auf der x-achse liegt. b (3 VP Die Tangente an den Graphen von f a an der Stelle x = 0 und die Koordinatenachsen begrenzen für jedes a > 0 ein Dreieck. Für welchen Wert von a ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks minimal? Aufgabe G 1 Gegeben ist die Ebene E mit E : 3x 1 + 6x + x 3 = 18. a (7 VP Skizzieren Sie die Ebene in einem geeigneten Koordinatensystem. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E mit der x 1 x - Ebene. Berechnen Sie den Winkel, den E mit der x 1 x -Ebene einschließt. Der Punkt P ( wird an E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide, die vom Ursprung und den Spurpunkten der Ebene gebildet wird. b (3VP Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt T ( 4 3 geht, zur Ebene E parallel ist und die x 1 -Achse schneidet.

6 Aufgabe S 1 Ein Bogenschützenverein veranstaltet einen Tag der offenen Tür mit Bogenschießen. a Ein Bogenschütze des Vereins trifft erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 %. Am Tag der offenen Tür schießt er 50-mal. (4 VP Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er höchstens 30-mal trifft. mindestens 40-mal trifft. mehr als 31 mal und höchstens 38 mal trifft. bei den ersten 5 Versuchen und bei den zweiten 5 Versuchen jeweils mindestens 18 mal trifft. ( VP Wie oft muss ein Schütze schießen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens 100 mal zu treffen? b ( VP Der Verein bietet allen Besuchern folgendes Spiel an: Für 3 Euro Einsatz darf man 3-mal schießen. Bei höchstens 1 Treffer wird der Einsatz einbehalten. Trifft der Besucher genau -mal, bekommt er seinen Einsatz zurück. Wenn der Besucher 3-mal trifft, erhält er einen Gewinn. Man geht davon aus, dass die meisten Besucher eine Trefferwahrscheinlichkeit von 50 % haben. Bestimmen Sie den Auszahlungsbetrag so, dass das Spiel für diese Besucher fair ist. c ( VP Ein Schütze möchte seine Trefferwahrscheinlichkeit so weit erhöhen, dass er bei 50 Versuchen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens 40 mal trifft. Wie groß muss die Trefferwahrscheinlichkeit dann sein?

7 Lösungen (1 Die Ableitung ist (Produktregel f (x = 1 x e 1 x x e x. ( Allgemeine Stammfunktion: F (x = 1 cos(x 1 x 1 + c; Einsetzen ergibt 3 = c, also c =,5. (3 Ausklammern und Satz vom Nullprodukt ergibt (e x 0 e 4x 7e x + 6 = 0. Substitution z = e x liefert z 1 = 1, z = 6 und damit x 1 = 1 und x = 1 ln(6. ( 55 (4 Geradengleichung g : x = + t 1 ( 1 1 (5 + t (5 t (1 t = 16 liefert t =, also den Lotfußpunkt L( OP = OL+ LA ( 17 =, OQ = OA+ AL = 3 Punkte sind also P (1 7 3 und Q( Schneiden mit E ( Die beiden Alternativ: Abstand von P zu E mit HNF ergibt d = 1 6. Laufender Punkt auf g ist B(5 + t 5 t 1 t; Abstand von B zu E muss gleich d sein, also (5 t (5 t (1 t 16 4 =. 6 6 Dies führt auf 1 + 6t = 4. Also ist 1 + 6t = ±4 und damit t 1 = und t = 6, was auf die obigen Punkte führt. (5 a OP = = 13. b Q(0 1 0; A = 1 OQ P Q = 30. Man muss irgendwie begründen, dass das Dreieck rechtwinklig ist; entweder indem man Q ausrechnet (Schnittpunkt von x - Achse mit Lotebene oder durch laufenden Punkt oder indem man ein Skalarprodukt hinschreibt. (6 Beim Lotto 3 aus 5 tippt man, welche drei Kugeln aus einer Urne mit fünf Kugeln gezogen werden, die je eine der Zahlen von 1 bis 5 als Aufschrift tragen. Die Reihenfolge der Ziehung

8 muss dabei nicht vorhergesagt werden und es wird ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man a alle drei Kugeln richtig vorausgesagt? b genau zwei Kugeln richtig vorausgesagt? a Wenn man z.b. 1,, 3 vorhergesagt hat, muss man (1,, 3, (1, 3,, (, 1, 3, (, 3, 1, (3, 1, oder (3,, 1 ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist p = = Besser: die Wahrscheinlichkeit für richtig - richtig - richtig ist 3 1 = b Hier geht es um p(rrf = 3 = 1, und weil es drei Pfade sind, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 3. 5 (7 Gegeben seien die Funktionen f(x = 1 x 1 und g(x = x x 1. Ordnen Sie den Funktionen f, f und g ihre Schaubilder zu und begründen Sie Ihre Aussagen. Geben Sie anschließend einen Term für die Funktion an, deren Graph in der noch nicht zugeordneten Abbildung abgebildet ist. Es ist f(0 = 1, also gehört f zum ersten Schaubild. Das Schaubild von f hat eine Nullstelle mit VZW von nach + in x = 0, also gehört f zum dritten Schaubild. Wegen g(0 = 0 gehört g zum zweiten. Offenbar ist der Funktionsterm des Graphen im letzten Schaubild gleich h(x = f(x. * Heute feiern Millionen von Iren und Menschen mit irischen Vorfahren weltweit den St. Patrick s Day und gedenken damit des irischen Nationalheiligen Patrick, der an einem 17. März gestorben ist. So kann man berechnen, in welchem Jahr er gestorben ist: Multipliziere die kleinste Zahl mit Quersumme 0, in der keine Ziffer doppelt vorkommt, mit der größten Lösung der Gleichung x = x. Das Ergebnis entspricht der Anzahl der Jahre, die seit St. Patrick s Tod vergangen sind. In welchem Jahr ist er gestorben?

9 Kleinste Zahl mit Quersumme 0 ohne doppelte Ziffern ist 389. Die Gleichung x = x hat die beiden Lösungen x 1 = und x = 4. Also ist Paddy im Jahre = 461 gestorben. Aufgabe A 1.1 a f(0 = 10: Änderungsrate 10 Personen pro Minute. Die momentane Änderungsrate schwankt zwischen dem Maximum 40 von f und dem Minimum von 60 Personen pro Minute. 1. Nullstelle von f: t 1,9: etwa um 10:3 h nimmt die Anzahl der Personen erstmals zu. Die Periode ist der Abstand zweier benachbarter Hochpunkte oder p = π 59,8: die Periode dauert knapp 60 Minuten. Vermutlich findet 0,105 das Glockenspiel jede Stunde zu einer bestimmten Uhrzeit statt. b Maximale Personenzahl. Zweite Nullstelle von f: t 8. Zu dieasem Zeitpunkt sind f(t dt 66 Personen auf dem Platz. Anzahl der Personen F (t = t 0 f(x dx 476, 476, cos(0,105t 10t. F (t = 500 liefert t 170,4: etwa um 13:0 h sind 500 Personen auf dem Platz. c Die Tangente an F in t = 40 ist y = 53,6t ; Nullstelle der Tangente ist t 83: etwa um 11:53 h ist der Platz geräumt. Aufgabe A 1.. a f a(x = x a; Extrempunkt bei x = a. f(a = 1 a a a = 1 a + 3, und dieser Ausdruck kann nie 0 werden. Einfacher: Es reicht zu zeigen, dass die Parabel keine Nullstellen hat. Aus f a (x = 0 folgt aber a ± a 4 1(3 + a x 1, = = a ± a 6, und weil der Ausdruck unter der Wurzel immer negativ ist, folgt die Behauptung.

10 b f a (0 = 3 + a, f a(0 = a; Tangente t(x = y = ax a. t(0 = 3 + a, Nullstelle ist x = a +3, also a A = 1 (a a a Minimum von A(a bei a = 1 (GTR. = (a + 3. a WT Geo Spurpunkte sind S 1 (6 0 0, S (0 3 0 und S 3 ( Die Schnittgerade mit( der x 1 x( -Ebene ist gegeben durch die Gerade 60 6 durch S 1 und S : x = + t. 0 Winkel mit x 1 x -Ebene: cos α = 7 ergibt α 73,4 (GTR. Lotfußpunkt durch Lotgerade (Richtungsvektor n x = 3 0 ( t( 36 Schneiden mit Ebene ergibt 3( 1 + 3t + 6( 5 + 6t + (1 + t = 18, also 49t = 49 und damit t = 1, sowie L( 1 3. Spiegeln an L ergibt OP = OP + P ( 1 ( L = 5 + ( =. 1 5 Die Pyramide hat Grundfläche G = = 9 und Höhe h = 9, also Volumen V = 1 Gh = 7. 3 b Schnittpunkt mit der x 1 -Achse sei A(a 0 0. DAnn muss AT parallel zur Ebene E sein, also senkrecht auf n stehen. Also ist 0 = AT ( a ( 36 n = 4 = 6 3a = 0, 3 ( 4 was a = 1 ergibt. Also ist die gesuchte Gerade x = + t Aufgabe S 1 3 ( a X beschreibt die Anzahl der Treffer; X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,7. p(x 30 0,085 (GTR p(x 40 = 1 p(x 39 0,079 (GTR. p(31 < X 38 = p(3 X 38 = p(x 38 p(x 31 (GTR. ;

11 Mit n = 5 ist jetzt die gesuchte Wahrscheinlichkeit p(x 15 p(x 15 (GTR p(x 100 = 1 p(x 99 0,9 führt auf n p 15 0, ,90866 Er muss also mindestens 153 mal schießen. b Sei Y die Anzahl der Treffer; Y ist binomialverteilt mit n = 3 und p = 0,5. Auszahlungsbetrag a. G beschreibt den Gewinn in Euro. 0 = E(G = p(y 1 ( 3 + p(y = 0 + p(y = 3 (a 3, was auf a = 15 führt. c X bezeichnet die Anzahl der Treffer; X ist binomialverteilt mit n = 50. Es muss p(x 40 = 1 p(x 39 0,9 sein. Schneiden liefert p 0,855 (GTR.