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1 Abiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit 4 f() = e + Aufgabe : ( VP) Lösen Sie für 0 π die Gleichung sin() cos() cos() = 0. Aufgabe 4: (4 VP) Gegeben sind die Funktion f mit f() = und g mit g() =. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden zugehörigen Graphen. Untersuchen Sie, ob sich die beiden Graphen senkrecht schneiden. Aufgabe 5: (5 VP) Eine der folgenden Abbildungen zeigt den Graphen der Funktion f mit f() =. Abb. Abb. Zuletzt aktualisiert:

2 Abb. Abb. 4 a) Begründen Sie, dass die Abbildung den Graphen von f zeigt. b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Funktion g mit g() = f( a) und eine zur Funktion h mit h() = b f() Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Geben Sie die Werte für a und b an. c) Die bis jetzt nicht zugeordnete Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion k. Geben Sie ohne Rechnung einen Funktionsterm für k an. Aufgabe 6: ( VP) 4 Gegeben sind die Ebene E: = 0 und F: + = 8. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. Aufgabe 7: (4 VP) Gegeben sind der Punkt A(//) und die Ebene E: 4 = 0. a) Welche besondere Lage hat E im Koordinatensystem? b) Der Punkt A wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes. Aufgabe 8: ( VP) Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g, die in E liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung einer Geraden h ermitteln kann, die orthogonal zu g ist und ebenfalls in E liegt. Zuletzt aktualisiert:

3 Abiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Lösungen Aufgabe : Die Funktion wird mit der Kettenregel abgeleitet. f() = ( sin() + 7) 5 f () = 5 ( sin() + 7) 4 cos() Aufgabe : Zur Berechnung einer Stammfunktion von umgeschrieben in 4 f() = e + 4 f() = e + wird die Funktionsgleichung 4 4 Die Gleichung einer Stammfunktion lautet F() = e + = e 4 Aufgabe : Ausklammern von cos() ergibt: cos() ( sin() ) = 0 Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt: cos() = 0 oder sin() = 0 π cos() = 0 = oder = π sin() = 0 sin() = ist nicht lösbar (da sin() maimal werden kann) Lösungsmenge: L = { π, π } Aufgabe 4: Die gemeinsamen Punkte ergeben sich durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: f() = g() = = = 0 ± ± 5, = = und damit = oder = -0, Mit f() = und f( 0,5) = 4 ergeben sich als gemeinsame Punkte P(/) und Q(-0,5/-4). Bedingung für einen senkrechten Schnitt in P: f () g () = Mit f () = = und g () = folgt f () g () = 0,5 =. Somit schneiden sich die Graphen in P senkrecht. Bedingung für einen senkrechten Schnitt in Q: f ( 0,5) g ( 0,5) = f ( 0,5) g ( 0,5) = 8 = 6 Somit schneiden sich die Graphen in Q nicht senkrecht. Zuletzt aktualisiert:

4 Aufgabe 5: a) Das Schaubild der Funktion f() geht durch den Punkt P(0/-). Das Schaubild in Abb. ist das einzige Schaubild, das diesen Punkt enthält. Somit muss Abb. der Graph von f sein. (Hinweis: Diese Lösung ist nicht eindeutig. Man könnte z.b. auch den Punkt P(/-4) verwenden oder nachweisen, dass der Graph von f einen Hochpunkt bei = - besitzt). b) Das Schaubild von g() = f( a) ergibt sich anschaulich aus dem Schaubild von f(), indem dies um a Einheiten nach rechts verschoben wird. Das Schaubild in Abb. 4 ist das einzige, das sich durch eine Rechtsverschiebung aus Abb. ergibt. Das Schaubild in Abb. 4 ist um nach rechts verschoben, somit gilt g() = f( ), also a =. Das Schaubild von h() = b f() ergibt sich anschaulich aus dem Schaubild von f(), indem dies mit dem Faktor b in y-richtung gestreckt wird. Da f(-) = 0 ist, gilt auch h( ) = b f( ) = b 0 = 0, egal wie b gewählt wird. Somit muss das Schaubild von h() den Punkt Q(-/0) besitzen. Folglich kann nur das Schaubild in Abb. das Schaubild von h() sein. Ermittlung des Wertes von b: Das Schaubild in Abb. geht durch R(0/), also gilt h(0) =. Es gilt f(0) = h(0) = b f(0) = b ( ) b = 0,5 c) Übrig bleibt als Schaubild noch die Abb. Das Schaubild in Abb. ergibt sich aus dem Schaubild aus Abb. durch eine Verschiebung um Einheiten nach oben. Folglich gilt k() = f() + = + Aufgabe 6: Zur Ermittlung der Schnittgeraden wird die Ebene E als Koordinatengleichung geschrieben. E: 4 + = d Einsetzen von P(//) ergibt 4 + = 4 = d Daraus folgt: E: 4 + = 4 Berechnung der Schnittgeraden der beiden Ebenen: Hierzu löst man folgendes Gleichungssystem: 4 + = 4 + = 8 Setze = t mit t Aus der.zeile folgt: + t = 8 = t + 8 Aus der.zeile folgt: 4 ( t + 8) + t = 4 4 = 4t = t Mit den Lösungen kann man nun die Gleichung der Schnittgerade g aufstellen: t g: = t + 8 = 8 + t t 0 4 Zuletzt aktualisiert:

5 Aufgabe 7: a) Der Normalenvektor der Ebene E lautet n = 0. Die zweite Koordinate des Normalenvektors (und damit das Fehlen der Variable in der Koordinatengleichung zeigt, dass die Ebene E parallel zur -Achse ist. Da zum Beispiel der Punkt P(0//0) nicht auf E liegt, wie man durch eine Punktprobe zeigen kann, liegt die -Achse nicht in der Ebene E, sondern ist echt parallel zu ihr. b) Zur Ermittlung des Bildpunktes wird eine Hilfsgerade h aufgestellt, die senkrecht zu E (Richtungsvektor von h ist Normalenvektor von E) und durch den Punkt A verläuft: h: = + r 0 Schnitt der Gerade h mit der Ebene E ergibt den Lotfußpunkt L: + r ( r) 4 = r = 0 r = Einsetzen von r = in die Geradengleichung ergibt L(4//0). 7 Berechnung des Bildpunktes A*: OA * = OA + AL = + 0 = Die Koordinaten des Bildpunktes lauten L(7//-). Aufgabe 8: Da in der Aufgabenstellung nicht vorgegeben ist, in welchem Gleichungstyp die Ebene vorgegeben ist, wird diese nun als Normalenform vorausgesetzt: p n = 0. Die Gerade g habe die Parameterform = p + r u Gesucht ist nun die Gleichung der Geraden h in der Parameterform = q + s v.schritt: Da die Gerade h in der Ebene E liegt und g orthogonal schneiden soll, kann der Ortsvektor von g auch für h übernommen werden. Es gilt also q = p.schritt: Der Richtungsvektor von h ist orthogonal zum Richtungsvektor von g. Somit muss gelten v u = 0 () Da die Gerade h in der Ebene E liegt, ist der Richtungsvektor von h auch orthogonal zum Normalenvektor von E. Somit muss gelten: v n = 0 () Aus () und () ergibt sich ein Gleichungssystem ( Gleichungen, Unbekannte) mit unendlich vielen Lösungen für v. Eine beliebige Lösung mit v 0 ist ein möglicher Richtungsvektor von h. (Alternativ könnte man auch das Vektorprodukt nutzen: v = u n ) 5 Zuletzt aktualisiert:

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