K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2. Aufgabe PT WTA WTGS Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

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1 K2 MATHEMATIK KLAUSUR Aufgabe PT WTA WTGS Gesamtpunktzahl Punkte (max Punkte Notenpunkte PT P. (max Punkte WT Ana A.a b c Summe P. (max Punkte WT Geo G.a b c S Summe P. (max Punkte GTR und Formelsammlung dürfen erst nach Abgabe des Pflichtteils abgeholt werden.

2 Pflichtteil ( Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x = x sin(2x + x (2 Berechnen Sie das Integral 2 ( x 2 x 2 dx. (3 Lösen Sie die Gleichung (2x 3 54(e 4x 6 = 0 (4 Geben Sie die Asymptoten der Funktion f(x = x 2 2x + an und skizzieren Sie das Schaubild von f. (5 Gegeben ist das Schaubild einer Funktion f. a Skizzieren Sie das Schaubild der ersten Ableitung f b Geben Sie eine Näherung für den Wert I(2 der Integralfunktion an. I(x = x 0 f(tdt c Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind, und begründen Sie Ihre Aussage: ( Die Integralfunktion I hat mindestens zwei Nullstellen. (2 Die Integralfunktion I hat in x = 0 eine Extremstelle. (3 Die Integralfunktion I besitzt zwei Wendepunkte.

3 (6 Lösen Sie das Gleichungssystem x x 2 + 3x 3 = 3 x 2x 2 + x 3 = 9 3x + x 2 2x 3 = 6 (7 Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Ebene und der Geraden E : 2x 2x 2 + x 3 = 3 g : x = ( t( 34 Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgeraden von g bei der Spiegelung an der Ebene E. (8 0 weiße und 0 schwarze Kugeln werden so auf zwei Urnen verteilt, dass in beiden Urnen gleich viele Kugeln enthalten sind und die erste Urne 4 weiße Kugeln mehr als schwarze enthält. Nun zieht man aus beiden Urnen jeweils eine Kugel. a Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man zwei gleichfarbige Kugeln? b Wie hätte man die Kugeln auf beide Urnen verteilen können, so dass die Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugeln genau 50 % beträgt? (9 Eine Skulptur besteht aus drei gleich großen Kugeln, von denen jede die beiden anderen berührt. Gegeben sind die Mittelpunkte der drei Kugeln. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung einer Symmetrieebene dieser Skulptur bestimmen kann. 2.

4 Wahlteil Analysis Eine Käferpopulation besteht zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt aus Exemplaren. Zwar kommen jedes Jahr durch Fortpflanzung neue Käfer hinzu, gleichzeitig wird die Population aber durch natürliche Feinde dezimiert. Die Entwicklung der Käferpopulation kann durch die folgende Funktion k beschrieben werden: k(t = ( t e 0,t. Hierbei ist die Anzahl der Jahre seit Beobachtungsbeginn, und k(t gibt die Anzahl der Käfer an. a Skizzieren Sie das Schaubild von f während der ersten 40 Jahre nach Beobachtungsbeginn. Wann ist die Käferpopulation am größten? Wann sinkt die Käferpopulation am schnellsten? Wie viele Käfer sind langfristig zu erwarten? b Zeigen Sie, dass die Funktion K mit eine Stammfunktion von k ist. K(t = ( t e 0,t Bestimmen Sie den Wert von 50 k(t dt und deuten Sie ihn im Sachzusammenhang. c Die Funktion k beschreibt die Entwicklung der Käferpopulation nur für die ersten 55 Jahre recht gut. Ab dem Zeitpunkt t = 55 bleibt bei einer verbesserten Beschreibung die zu diesem Zeitpunkt erreichte Änderungsrate konstant, sodass für t > 55 eine lineare Abnahme vorliegt. Ermitteln Sie die momentane Änderungsrate bei t = 55 und bestimmen Sie mithilfe der Funktionsgleichung, die ab diesem Zeitpunkt die Populationsgröße beschreibt, den voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation.

5 Wahlteil Geometrie / Stochastik Aufgabe B.. Anlässlich der documenta 6 wurde 977 in Kassel ein Laserkunstwerk errichtet, das historisch markante Punkte der Stadt durch deutlich sichtbare geradlinig verlaufende Laserstrahlen verbindet. In einer anderen Stadt soll ein ähnliches Kunstwerk installiert werden. Die drei geplanten Laserstrahlen verbinden wichtige Punkte der Stadt (Angaben in Metern: Laserfarbe Ausgangspunkt Zielpunkt Rot Museum M(0 0 0 Bahnhof B( Grün Funkturm F ( Schloss S( Blau Funkturm F ( Bahnhof B( a Ermitteln Sie, ob die Punkte M, B, F und S in einer Ebene liegen. b Zur Finanzierung des Kunstwerks soll wie damals in Kassel die Länge des längsten Laserstrahles in einzelnen Meterabschnitten für jeweils 0 Euro an Kunstfreunde verkauft werden. Berechnen Sie die Einnahmen unter der Annahme, dass für alle vollen Meterabschnitte des längsten Strahles Käufer gefunden werden. c Die blaue Laserlichtquelle im Funkturm kann stufenlos so gedreht werden, dass sie nicht mehr zum Bahnhof, sondern zum Schloss leuchtet. Schwenkt man die Lichtquelle sehr schnell, nimmt der Beobachter diese Strahlen als Teil einer Ebene wahr, welche die Koordinatengleichung x 6x 3 = 20 besitzt. Berechnen Sie den Winkel, um den die blauen Laserstrahlen im Funkturm schwenken. Im Punkt ( steht ein 50 Meter hoher Kirchturm. Ein künstlerischer Berater des Projekts befürchtet, dass der Kirchturm beim Schwenken die blauen Laserstrahlen unterbricht und die Wirkung des Kunstwerks stört. Untersuchen Sie, ob der Kirchturm im Schwenkbereich der Laserstrahlen steht.

6 Aufgabe B.2. Zur Fußballweltmeisterschaft 204 bietet ein Schokoladenhersteller zusätzlich zu jeder Tafel Schokolade ein (von außen nicht erkennbares Sammelbild an. Die Bilder zeigen Spieler aller beteiligten Nationen. Besonders beliebt sind die Sammelbilder mit den deutschen Nationalspielern. Nach Angaben des Herstellers enthält jede fünfte Tafel ein Bild eines Spielers der deutschen Nationalmannschaft. Die Bilder werden völlig zufällig in die Verpackungen gelegt. a Peter kauft im Supermarkt 20 Tafeln Schokolade. Es sollen folgende Ereignisse betrachtet werden: A: Er findet genau vier Bilder deutscher Nationalspieler. B: Es sind mindestens sechs Bilder deutscher Nationalspieler dabei. C: Peter findet in der letzten geöffneten Verpackung zum ersten Mal das Bild eines deutschen Nationalspielers. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der oben genannten Ereignisse. b Die Filialleiterin eines Supermarktes führt eine Werbeaktion durch. Sie verspricht jedem Kunden, der einen Karton mit 20 Schokoladentafeln kauft und dabei nicht mindestens zwei Bilder eines deutschen Nationalspielers bekommt, die Auszahlung von 0 Euro. An einem Karton mit 20 Tafeln Schokolade macht sie außerhalb der Werbeaktion einen Gewinn von 5 Euro. Berechnen Sie den zu erwartenden Gewinn pro verkauftem Karton während der Werbeaktion.

7 Lösungen ( Produktregel (u = x, v = sin(2x liefert (2 Es gilt 2 ( x 2 x 2 f(x = sin(2x + 2x cos(2x +. dx = x2 4 2 ln(x 2 = 2 ln(2 ( 2 ln( 4 = ln(2. (3 Satz vom Nullprodukt ergibt x 3 = 27, also x = 3, bzw. e 4x = 6, d.h. x 2 = ln(6 = ln(2. 4 (4 Senkrechte Asymptoten: x 2 2x = 0 ergibt x = 0 und x = 2. Waagrechte Asymptoten: der erste Term geht gegen 0 für x ±, also ist y = waagrechte Tangente. f(x = x 2 2x + an und skizzieren Sie das Schaubild von f. Abbildung. Skizze Aufg. 4, Ableitung f Aufg. 5 (5 Gegeben ist das Schaubild einer Funktion f. a Skizzieren Sie das Schaubild der ersten Ableitung f b Es ist I(2 3 c Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind, und begründen Sie Ihre Aussage:

8 ( Es ist I(0 = 0. Da f(x < 0 im Intervall [0, 2], wird I(x dort fallen, danach steigen. Also gibt es eine zweite Nullstelle rechts von 0. (2 Diese Aussage ist falsch, da f (0 = nicht 0 ist. (3 Diese Aussage ist wahr, da f zwei Extrempunkte besitzt. (6 Wir schreiben das LGS in der Form ( 2 ( ( 3 ( 3 x + x x = 9. 6 Danach berechnen wir das Kreuzprodukt ( ( 3 ( 3 2 = 2 und multiplizieren die Gleichung skalar damit. Dies ergibt also 20x = 80 und x = 4. (6 + 5x = , Damit erhalten wir das LGS x 2 + 3x 3 = 9 2x 2 + x 3 = 5 + x 2 2x 3 = 4 Addition der ersten und dritten Gleichung ergibt x 3 = ; Einsetzen ergibt x 2 = 2. (7 Einsetzen liefert 2 = 3, also sind Gerade und Ebene parallel. Zum Spiegeln berechnen wir den Lotfußpunkt von P (5 0 durch Schneiden der Ebene mit der Lotgeraden x = ( 5 + t 0 ( Einsetzen liefert t = und damit L(3. Spiegeln: OP = OP +2P L ergibt P ( 3 2. Da die gespiegelte Gerade parallel zur Ausgangsgeerade ist, ist ( g 3 34 : x = + t(. (8 a p(ww + p(ss = = = 0, 42. b ist n die Anzahl der weißen in der ersten Urne, so sind dort n weiße und 0 n schwarze, in der zweiten ist es umgekehrt. Also muss 2n(0 n = p(ww + p(ss = sein, was auf n(0 n =

9 und damit auf n = 5 führt. Es müssen also 5 weiße und 5 schwarze in die Urne. (9 Eine mögliche Symmetrieebene ist die Ebene durch die drei Mittelpunkte. Diese bestimmt man durch Aufstellen der Parameterform x = OM + sm M 2 + tm M 3.. Analysis Maximum von k: Die Population ist nach etwa 8 Jahren am größten. Minimum von g : nach 8 Kahren sinkt die Population am schnellsten. Asymptote von g: für t ist k(t 0: langfristig sterben die Käfer aus. b K (t = e 0,t + (25 000t e 0,t = ( t e 0,t = k(t k(t dt Dies ist der Mittelwert der Population im Zeitraum zwischen 20 und 50 Jahren. c Es ist k (t 480, sowie die Tangente y = 480, 2t Nullstelle der Tangente t 67, : nach etwa 67 Jahren stirbt die Population aus. Weitere Möglichkeit: Dreisatz. Es ist k(55 =, und die Käfer sterben mit einer Rate von 480 Käfern pro Jahr.

10 Geometrie a Hier bieten sich im wesentlichen zwei Möglichkeiten an:. Aufstellen einer Parameterform und Punktprobe mit GTR. ( ( ( MB E : x = t +u MF = t + u. Punktprobe mit S: ( 200 = t + u ( ( Eingabe in den GTR (Matrix; rref liefert als letzte Zeile 0 0, also die Gleichung 0 = : die Punkte liegen nicht in einer Ebene Aufstellen der Koordinatenform und Punktprobe. In diesem Fall ist es ratsam, die Ebene durch B, F und S zu wählen, weil diese im Aufgabenteil c angegeben ist. Aufstellen der Parameterform und Umwandlung in Koordinatenform liefert x 6x 3 = 20. Punktprobe mit M(0 0 0 ergibt, dass die Punkte nicht in einer Ebene liegen. b Hier erhält man MB = , 35 F S = F B = , Der längste Strahl ist der blaue; man nimmt daher 4030 Euro ein. c Offenbar geht es um Winkel zwischen zwei Vektoren: cos α = F S F B F S F. B Der GTR liefert α 22, 8. Der Kirchturm ist 40 m über der x x 2 Ebene; Einsetzen von x = 900 in die Ebene ergibt x 3 46, 7. Also liegt die Spitze unterhalb der Ebene.

11 Stochastik. a Sei X die Anzahl der Bilder deutscher Nationalspieler. Die Zufallsvariable X ist B 20, -verteilt. 5 p(a = p(x = 4 0, 28 (GTR p(b = p(x 6 = p(x 5 0, 96 p(c = ( (GTR. (GTR b Der Gewinn beträgt 5 Euro, falls der Karton mindestens 2 Bilder enthält, und 5 Euro andernfalls. Wegen p(x 2 = p(x 0, 93 haben wir G 5 5 p 0, 069 0, 93 Also ist E(G = = 4.3. Pro Karton kann sie also einen Gewinn von 4,3 Euro erwarten.