Pflichtteil - Exponentialfunktion

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Erich Kopp
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1 Pflichtteil - Eponentialfunktion Aufgabe (Ableiten) Bestimme die. und. Ableitung der folgenden Funktionen: a) f() = ln() + b) g() = e Aufgabe (Integrieren) Berechnen Sie die Integrale: a) e d b) c) h() = e d) i() = ln ( ) + e d c) Kann man t so bestimmen, dass das Schaubild einer Stammfunktion F t von f t () = +t e durch die Punkte P( ) und Q(,5) verläuft? d) Die Funktion f ist gegeben durch f() = ++e ; R. Das Schaubild von f begrenzt mit seiner schiefen Asmptote, der Geraden = z mit z > und der -Achse eine Fläche mit dem Inhalt A(z). Fertigen Sie eine Skizze und berechnen Sie A(z) und lim A(z). Aufgabe (Gleichungen) a) ln( + ) = b) e + = c) e + 8 e = 6 Aufgabe (Grafisches Differenzieren/Integrieren) a) Die Diagramme zeigen Ausschnitte der Schaubilder differenzierbarer Funktionen. Skizzieren Sie jeweils das Schaubild der Ableitungsfunktion in das Koordinatensstem b) Was bedeutet es für das Schaubild einer (dreimal differenzierbaren) Funktion f, wenn f() =, f () =, f () = und f () gilt? c) Abgebildet ist das Schaubild einer (stetigen) Funktion f. Begründen oder widerlegen Sie unter Verwendung des Schaubilds die folgenden Aussagen für die Integralfunktion I mit I() = f(t)dt : a) Die Funktion I hat ein lokales Maimum. b) Das Schaubild von I berührt die -Achse. c) Es gilt I() >.

2 Aufgabe 5 (Tangenten) Gegeben ist die Funktion f durch f() = e,5. Untersuchen Sie, wie viele Tangenten man vom Punkt P( 8 ) aus an das Schaubild von f legen kann. Pflichtteil: Analtische Geometrie Aufgabe 6 (Lineare Unabhängigkeit/LGS) a) Untersuchen Sie, ob die Vektoren voneinander linear unabhängig sind. ; b) Gegeben sind die Vektoren a =, b = und c t = t. t ;. Für welches t lässt sich c t als Linearkombination von a und b darstellen? Aufgabe 7 (Visualisierung) a) Eine Ebene ist gegeben durch die Punkte A( ), B( 8) und C( 8). Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene, die Spurpunkte und zeichnen Sie die Ebene in ein Koordinatensstem ein. b) Bestimme die Koordinatengleichung der abgebildeten Ebene. Aufgabe 8 (Abstände) a) Zeigen Sie, dass die Gerade g : = + t zueinander liegen. Bestimmen Sie ihren Abstand. und die -Achse windschief b) Zeigen Sie, dass die Gerade g und die Ebene E parallel sind. Bestimmen Sie den Abstand von g zu E. g : = + r und E : =. c) Bestimmen Sie alle Punkte, die von E und E den gleichen Abstand haben. E : + = ; E : + = 7

3 Lösungen Aufgabe a) f () = + ln() (+) = (+) ln() (+) f () = + + (+) ln() = + + ln() (+) (+) b) g () = ( ) e g () = e + ( ) e (+) c) h () = e e h () = e 8 e + e = ( 8 + ) e d) i () = = = ( )(+) i () = = ( ) (+) ( ) Aufgabe + + (alles richtig) a) e d = e b) e d = e 5 c) Ja, es ist möglich. Die Stammfunktion F() = t ep( ) + t verläuft durch den Punkt P( ). Setzt man die Koordinaten von Q ein und löst nach t auf, so erhält man, dass t = sein ( ) e muss. Der Term ist positiv, deswegen gibt es Lösungen für t. d) In der Skizze sollte die schiefe Asmptote = +, das Schaubild von f, das sich an die schiefe Asmptote annähert sowie die Gerade = z (Parallele zur -Achse) eingezeichnet sein. A(z) = e e z ; lim z A(z) = e. Aufgabe a) = e b) = oder = c) Substitution z = e, dann Durchmultiplizieren mit z. Mitternachtsformel liefert: = ln() oder = ln() Aufgabe a) Um das Schaubild der Ableitungsfunktion zu skizzieren, trägt man zunächst an den Hoch- /Tiefpunkten Nullstellen ein. Dann bestimmt man an verschiedenen charakteristischen Stellen (z.b. am Wendepunkt des Schaubilds, denn dort liegt ein Etrempunkt im Schaubild der Ableitungsfunktion) aus der Tangentensteigung die Steigung des Schaubilds. Das sind weitere Punkte im Schaubild der Ableitungsfunktion.

4 5 f b) Im Punkt P( ) liegt ein Sattelpunkt. f 5 f f c) a) Richtig. Die Integralfunktion beschreibt die orientierte Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion und der -Achse auf dem Intervall von - bis. Die Werte der Integralfunktion nehmen zwischen = und = zu, weil die Fläche eine positive Orientierung hat. Danach nehmen sie ab, weil ab = die Fläche negativ orientiert ist. Also liegt bei = ein lokales Maimum. Andere Begründung: An der Stelle = hat die Funktion f = I eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. Also muss die Funktion I dort ein lokales Maimum vorweisen. b) Richtig. An der Stelle = liegt ein Etrempunkt der Integralfunktion, denn die Funktion f() = I () hat dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Gleichzeitig ist I() = f(t)dt =. Also berührt das Schaubild von I bei = die -Achse. c) Falsch. I() = f(t)dt + f(t)dt. Der erste Summand ist positiv, weil die Kurve zwischen = und = oberhalb der -Achse liegt, der zweite Summand ist negativ, weil die Kurve in diesem Bereich unterhalb der -Achse liegt. Weil die Fläche unterhalb der Kurve größer ist als die Fläche oberhalb, überwiegt der negative Summand. Also muss I() negativ sein. Aufgabe 5 Allgemeiner Ansatz für Tangentengleichung: = f ( ) ( ) + f( ), wobei an der Stelle = der Berührpunkt liegt. f () = e,5 e.5 Setze( in die Tangentengleichung ) ein: = e,5 e.5 ( ) + e,5 Das lässt sich vereinfachen zu: = e,5 e,5 + e,5 Setze die Koordinaten von P( 8 ) ein, d.h. = 8, = : = e,5 e,5 + e,5 Die Gleichung lässt sich durch e,5 teilen, weil der Term nie sein kann: = + Multipliziere mit und teile durch : = Durch Ausprobieren findet man die Lösung =. Polnomdivision und Mitternachtsformel liefern zwei weitere Lösungen: = + und =.

5 Man kann also drei Tangenten von P aus an das Schaubild von f legen. (Gleichung der Tangenten ist nicht gefragt!) Aufgabe 6 a) Stelle LGS auf: r + s + t = bzw. als Matri: Als einzige Lösung ergibt sich r = s = t =. Also sind die drei Vektoren linear unabhängig. b) Aus dem Ansatz r + s = t ergibt sich t =. t Aufgabe 7 a) Koordinatengleichung von E z.b.: + + = 7 Spurpunkte: S ( 7 ); S ( 7 ); S (,5) Damit lässt sich die Ebene einzeichnen. b) Aus der Zeichnung lassen sich die Spurpunkte ablesen: S ( ), S ( ) und S ( ). Wähle im Ansatz n + n + n = b den Wert von b = kgv (,,) =. Durch Einsetzen der Punkte erhält man: E : = Aufgabe 8 a) -Achse: h : = s. Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Deswegen können die beiden Geraden nur windschief sein oder sich schneiden. Gleichsetzen der Geradengleichungen ergibt keine Lösung. Also liegen sie windschief. Ihr Abstand beträgt d(g;h) = ( = = ) 8. b) Die Gerade und die Ebene sind parallel, wenn der Richtungsvektor von g orthogonal zum Normalenvektor von E liegt. Überprüfung mit dem Skalarprodukt bestätigt dies: = + =. Um den Abstand zu berechnen, muss E in die Hessesche Normalenform umgewandelt werden: HNF(E): 6 = Weil g und E parallel sind, haben alle Punkte auf g den gleichen Abstand von E. Also genügt es, den Abstand eines Punktes auf g von E zu bestimmen, z.b. den Abstand von P( ) zu E: d(g;e) = d(p;e) = ( ) 6 = 6 = 6 6

6 c) Die Koordinaten eines solchen Punktes seien X( ). Der Abstand zu E bzw. E beträgt dann: d(x;e ) = + d(x;e ) = Damit beide Abstände gleich sind, muss entweder + = + 7 oder 5 + = + 7 erfüllt sein. 5 Daraus ergeben sich die möglichen Ebenen (einfach in diese Form bringen): F : = 8 bzw. G : = Alle Punkte auf diesen Ebenen sind gleich weit von E und E entfernt.

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