Analysis: Exponentialfunktionen Analysis

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Irmgard Bergmann
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1 Analysis: Eponentialfunktionen Analysis Klausur zu Eponentialfunktionen ohne Wachstum (Ableitung, Stammfunktion, Fläche, Rotationsvolumen, Etremwertaufgabe) Gymnasium ab J Aleander Schwarz Februar 4

2 Analysis: Eponentialfunktionen Pflichtteil (ohne GTR und Formelsammlung) Aufgabe P: Berechne die erste Ableitung der folgenden Funktionen: a) f () = e b) f() = ( ) e c) f () = 3 Aufgabe P: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung e 4= 3e Aufgabe P3: Bestimme die Stammfunktion F von Funktionswert 5 besitzt. f() = e, die an der Stelle = den Aufgabe P4: Das Schaubild mit der Gleichung f() = e 3schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. a) Wie lautet die Gleichung der Asymptote des Schaubildes der Funktion? b) Fertige eine Skizze von f() an und berechne den Inhalt dieser Fläche. c) Bestimme die Gleichung der Normale an das Schaubild von f() an der Stelle =. Wahlteil (mit GTR und Formelsammlung) Aufgabe W: Gegeben ist die Funktion f durch f() = e mit. Ihr Schaubild sei K. a) Zeichne K und gib die Wendestellen von K an. b) K wird an der y-achse gespiegelt. Wie lautet die Gleichung des Spiegelbildes? K wird so verschoben, dass sein Tiefpunkt (/) in den Punkt P(-/) übergeht. Wie lautet die Gleichung der Bildkurve? c) K rotiere im Bereich um die -Achse. Bestimme mit dem GTR das Volumen V des Drehkörpers. Rotiert die Strecke OH mit O(/) und H(/f()) um die -Achse, entsteht ein Drehkörper mit dem Volumen V. Wie viel Prozent von V ist V? d) P sei ein Punkt von K im.feld. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch P bilden mit diesen ein Rechteck mit dem Inhalt A. Wie groß wird A maimal?

3 Analysis: Eponentialfunktionen Lösungen Aufgabe P: a) b) f() = e = e Ableitung mit der Kettenregel: f() = ( ) e Ableitung mit der Produktregel: e f() = e ( ) = f() = e + ( ) e = e (+ ) = e ( ) c) ln(3 ) ln(3) e f() = 3 = e = Ableitung mit der Kettenregel: ln(3) = = f() e ln(3) 3 ln(3) Aufgabe P: e 4= 3e e 4e 3= 3 e 4= e e e 4e = 3 Substitution: u= e u 4u 3= 4± ± 8 Daraus folgt u, = = u = 6 und u = Rücksubstitution: e = 6 = ln(6) L = { ln(6) } e = besitzt keine Lösung Aufgabe P3: Es ist F() = e + C= e + C Bedingung: F() = 5 e + C= 5 + C= 5 C= 7 Die gesuchte Stammfunktion lautet F() = e + 7 Aufgabe P4: a) Für + strebt e +, folglich eistiert für diese Richtung keine Asymptote. Für strebt e, folglich strebt f() 3 ; für diese Richtung eistiert eine waagrechte Asymptote y = -3. 3

4 Analysis: Eponentialfunktionen b) Zur Berechnung der Fläche benötigt man die Nullstelle von f(). e 3= = ln(3) ln(3) ln(3) ln(3) f()d= e 3 = e 3ln(3) = 3 3ln(3) = 3ln(3) Da die Fläche unterhalb der -Achse liegt, ist das Integralergebnis negativ. Die gesuchte Fläche hat den Inhalt A= 3ln(3) c) Allgemeine Normalengleichung: Es gilt u = mit f() = und y = ( u) + f(u) f(u) f() = e = (da f() = e ist) Die Normalengleichung lautet y = ( ) + ( ) y= Aufgabe W: a) Zeichnung von K: Wendestellen von K: Hinreichende Bedingung: f () = und f () 4

www.mathe-aufgaben.com Analysis: Eponentialfunktionen Lösung mit dem GTR: Die Wendestellen befinden sich dort, wo die Ableitungsfunktion Etremstellen besitzt.

b) Spiegelung von K an der y-achse: Gleichung des Spiegelbildes: g() = f( ) = ( ) e = e ( ) Damit das neue Schaubild den Tiefpunkt in P(-/) übergeht, muss es um Einheiten nach links und eine Einheit

5 Analysis: Eponentialfunktionen Lösung mit dem GTR: Die Wendestellen befinden sich dort, wo die Ableitungsfunktion Etremstellen besitzt. Das Schaubild K besitzt zwei Wendestellen bei =,586 und = 3,44. b) Spiegelung von K an der y-achse: Gleichung des Spiegelbildes: g() = f( ) = ( ) e = e ( ) Damit das neue Schaubild den Tiefpunkt in P(-/) übergeht, muss es um Einheiten nach links und eine Einheit nach oben verschoben werden. Gleichung der Bildkurve: (+ ) h() = f(+ ) + = (+ ) e + c) Volumen Volumeneinheiten. V =π f() d,875 Der Hochpunkt hat die Koordinaten H(/,54). Rotiert die Strecke OH um die -Achse, entsteht ein Kreiskegel mit dem Volumen V = π r h. 3 Der Radius des Kegels ist r =,54. Die Höhe des Kegels ist h =. V = π r h= π,54 =,63 Volumeneinheiten. 3 3 V,63 Prozentualer Anteil: = =,7 = 7% V,875 d) Der Kreiskegel hat hinsichtlich des Volumens einen Anteil von 7%. 5

6 Analysis: Eponentialfunktionen Gesucht ist der maimale Flächeninhalt A des Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks berechnet sich mit der Formel A= OQ PQ Mit den gewählten (nur von der Variable u abhängigen) Koordinaten der Eckpunkte des Rechtecks ergibt sich für die Strecken OQ= u = u und PQ= f(u) = f(u) Die Zielfunktion lautet u 3 u A(u) = u f(u) = u u e = u e für u >. Bestimmung des globalen Maimums von A(u) mit dem GTR: An der Stelle u = 3 eistiert ein lokales Maimum mit A(3) =,34. Untersuchung der Randwerte: A() = liefert keinen höheren Flächeninhalt. Für u strebt A(u), also auch hier eistiert kein höherer Flächeninhalt. Die maimale Fläche A beträgt,34 Flächeneinheiten. 6

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