Demo: Mathe-CD. Integration Flächenberechnungen. Sammlung von Trainingsaufgaben. Friedrich Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

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Karola Schneider
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1 Integration Flächenberechnungen Tet noch nicht fertig Vorabversion! Weitere Aufgaben folgen! Sammlung von Trainingsaufgaben Lösungen in 486 Datei Nr Stand 8. Dezember 008 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben Inhalt Aufgabensammlung mit Lösungen Gruppe : Ganzrationale Funktionen Lösungen in 486 Gruppe : Gebrochen rationale Funktionen 3 Lösungen in 486 Gruppe 3: Wurzelfunktionen 4 Lösungen in 487 Gruppe 4: Eponentialfunktionen 5 Lösungen in 487 Gruppe 5: Logarithmusfunktionen 6 Lösungen in 487 Gruppe 6: Trigonometrische Funktionen 8 Lösungen in 487

3 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben. Gruppe: Granzrationale Funktionen Berechne jeweils die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse. A 30 ( ) 3 f (Ergebnis: A ) 3 4 A 40 ( ) 4 48 (Ergebnis: A 4 ( ) f A 6 ) f (Ergebnis: A ) 5 A 6 t ( ) 4 (Ergebnis: 3 f t + 4t A t ) Rechts einige Kurven der Schar zu (4) mit den Parametern t von bis 3, Step 0,.

4 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben A 9 f( ) + 6 A 3 Das Schaubild der Funktion f und die Gerade g: mit y + 6 schneiden sich in 4 Punkten. Sie begrenzen eine aus 3 Teilen zusammengesetzte Fläche. Berechne ihren Inhalt. A A 4 3 A 9 f( ) + und ( ) 6 g + 6 Das Schaubilder K von f begrenzt im. Feld mit der -Achse eine Fläche. Das Schaubild C von g zerteilt diese Fläche in zwei Teile. Berechne das Verhältnis dieser beiden Teile. 4 3 A 95 ft ( ) und ( ) 3 g 4 4t Das Schaubild K t der Funktion f t und die -Achse begrenzen eine Fläche. In welchem Verhältnis zerteilt das Schaubild G der Funktion g diese Fläche. In der Abbildung sind K und K dargestellt. Die eingefärbte Fläche gehört zu K. 4 C A A K A

5 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben 4 A f( ). Gruppe: Gebrochen rationale Funktionen Berechne die Fläche A () r zwischen K, der -Achse und lim A r den Geraden und r. Berechne auch ( ) r. A 6 f( ). Gesucht ist die Fläche zwischen K, der -Achse und der Geraden A 6 f( ) Berechne die Fläche zwischen K, der -Achse und der Geraden 5, sowie zwischen K, der -Achse und - 6. t A 7 ft ( ) für t>0. 3 K t, die schiefe Asymptote, die -Achse und die Gerade t begrenzen eine Fläche. 6 A 8 f( ) + 4 Gesucht ist die Fläche zwischen K, der -Achse und der Geraden 6. + A 8 f( ) + K, die -Achse und die Geraden und 4 begrenzen eine Fläche. Q 3 t K 8 A 83 f( ) + ( ) a) K und die -Achse und die Geraden und 4 begrenzen eine Fläche. Berechne deren Inhalt A. b) Welche Fläche A schließt K mit der -Achse ein? c) K, die waagerechte Asymptote und die Gerade - 3 begrenzen eine Fläche. Berechne deren Inhalt A 3.

6 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben 5 A 90 f( ) Berechne + a) die Fläche, die von K und der -Achse begrenzt wird. b) Fläche, die von K, der -Achse, der schiefen Asymptote und 5 begrenzt wird. r A 9 f( ) Die Fläche zwischen der Kurve, der schrägen Asymptote der y-achse und der Geraden r (r > 0) begrenzt eine Fläche. Berechne deren Inhalt A(r) und ihren Grenzwert für r A 9 f( ) + Berechne die Fläche zwischen dem Schaubild K, der schrägen Asymptote und der Geraden 4. r

7 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben 6 3. Gruppe: Wurzelfunktionen A 3 ( ) ( ) f 9 Welchen Inhalt hat die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse? A 3 f( ) a) Berechne die Fläche zwischen Kurve und -Achse. b) Bei welcher Steigung m halbiert die Gerade y m diese Fläche? A 33 f( ) 4 Berechne die Fläche zwischen der Kurve und den Koordinatenachsen. A 34 f( ) 6 Gesucht ist die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse. A 34 f( ) 4 Gesucht ist die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse. Zusatz: Welches Volumen entsteht, wenn man diese Fläche um die -Achse dreht? Mathe-CD A 35 f ( ) t, t t + R. a) Welche Fläche schließen K t und die -Achse ein? b) Durch Rotation der rechten Fläche um die -Achse entsteht ein Körper. Berechne dessen Inhalt. (Zusatz: Drehkörper) A 37 f( ) + 4 Demo: Berechne die Fläche zwischen K, der -Achse und 5.

8 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben 7 4. Gruppe: Eponentialfunktionen A 4 f( ) e Gesucht ist die Fläche A(r) zwischen K, den Koordinatenachsen und der Geraden r. Berechne auch A* lim A() r r A 4 ( ) f e K, die y-achse und die waagerechte Asymptote begrenzen eine ins Unendliche reichende Fläche. In welchem Verhältnis teilt die Tangente im Schnittpunkt mit der y-achse diese Fläche? A 43 ( ) f e + Berechne die Fläche zwischen der Kurve, der -Achse und der schiefen Asymptote. A 45 ( ) f 4 e a) Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen. b) Die Kurve begrenzt mit der Tangente in der Nullstelle, der waagerechten Asymptote und der Geraden r (r<0) eine Fläche. Berechne deren Inhalt A(r). und lim A(r). r (4)

9 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben 8 A 45 f( ) e Berechne die Fläche zwischen der -Achse, der Kurve und der Geraden 4. Kann man der Fläche auch dann noch einen endlichen Wert zuordnen, wenn man den rechten Rand ins Unendliche verschiebt? A 47 ( ) ( ) f e f a) K und die -Achse begrenzen im 3. und 4. Feld eine Fläche A. b) K, die -Achse und die Gerade r (r>) begrenzen im. Feld eine Fläche A (r). Berechne ( r ) 4e A 480 f( ) e + r lim A a) Berechne die Fläche zwischen der Kurve und den Koordinatenachsen und der Geraden - 4. Kann man der Fläche auch dann noch einen endlichen Wert zuordnen, wenn man den linken Rand ins Unendliche verschiebt? b) Wie groß ist die Fläche zwischen der Kurve, der y-achse, der Geraden y 4 und der Geraden r (r > 0)? Eistiert lim A(r)? r.

10 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben 9 5. Gruppe: Logarithmusfunktionen A 5 f( ) ln( 6 ) Berechne die Fläche zwischen K und den Achsen. A 54 f( ) + ln( + ) A 55 Welchen Inhalt hat die Fläche zwischen K, den Achsen und der Geraden 3? f( ) ln( ) a) Berechne die Fläche zwischen K, der -Achse und der Geraden 3. b) Berechne die Fläche zwischen K, der -Achse und der Geraden -3.

11 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben ln A 56 f( ) Gesucht ist die Fläche zwischen K, der -Achse und der Geraden e - ln+ A 563 f( ) ln+ bzw. f( ) Das Schaubild K von f, das Schaubild H der Funktion g( ) ln und die Geraden und r begrenzen eine Fläche vom Inhalt A(r). Berechne den Grenzwert von A(r) für r. ln A 57 f( ) Zeige, dass das Schaubild K zusammen mit der -Achse im. Feld eine bis ins Unendliche reichende Fläche mit endlichem Inhalt begrenzt. + A 58 f( ) ln 8 Das Schaubild K von f begrenzt mit den Koordinatenachsen eine Fläche. Berechne ihren Inhalt A. Kann man der ins Unendliche reichenden Fläche zwischen K, der -Achse und der Geraden 8 einen endlichen Inhalt zuordnen? z

12 485 Flächenberechnung Trainingsaufgaben A 60 f( ) sin Fläche siehe Abbildung. 6. Gruppe: Trigonometrische Funktionen ( A 6 f ( ) cos ( + π ) Fläche siehe Abbildung. A 65 f( ) sin Fläche siehe Abbildung. A 68 f( ) sin+ sin( ) 4 Fläche siehe Abbildung.

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