Exponentialfunktionen. Nur Kurvendiskussionen und Integralrechnung. für die wichtigsten e-funktionen. Lösungen ohne CAS und GTR

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1 Eponentialfunktionen Nur Kurvendiskussionen und Integralrechnung für die wichtigsten e-funktionen Lösungen ohne CAS und GTR Alle Methoden ganz ausführlich Datei Nr. 45 Stand 5. Oktober 6 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK ANALYSIS Funktionentraining

2 45 Eponentialfunktionen Aufgabensammlung: Nur Kurvendiskussionen und Flächen Vorwort Diese Sammlung enthält reine Kurvendiskussionen und Flächenberechnungen zu den wichtigsten Arten von Eponential-funktionen. Die Grundlagen für diesen Stoff findet man in diesen Teten: 45 Nullstellen, Asymptoten, Verschiebungen und Streckungen 455 Ableitungen 454 Integration Wer umfangreichere Aufgaben (mit Tangenten, Flächenberechnungen oder Etremwertaufgaben) sucht, wird in diesen Teten fündig: Aufgabensammlungen mit e-funktionen 45 Nur Kurvendiskussionen vieler Arten von e-funktionen (dieser Tet) 45 Umfassende Aufgaben mit einfachen e-funktionen 45 Umfassende Aufgaben mit e-funktionen in Produkten 453 Umfassende Aufgaben mit komplizierteren e-funktionen 458 Aufgabensammlung: Eponentielles Wachstum 458 Aufgabensammlung: Begrenztes Wachstum 4583 Aufgabensammlung: Logistisches Wachstum 736 Abituraufgaben zum Wachstum 737 Abituraufgaben zum Wachstum (mit Differentialgleichungen) 73 Abituraufgaben zum Thema Krankheiten und Medikamente 73 Abituraufgaben mit speziellen e-funktionen Abituraufgabensammlungen von Beruflichen Gymnasien enthalten auch viele Aufgaben zum Thema e-funktionen: 74 BW Analysis ab 743 Analysis Teil 3 Anwendungsaufgaben 5 bis Analysis Teil 4 Anwendungsaufgaben ab Berufskolleg / Fachhochschulreife: 743 Analysis ganzrational (+ e-fkt..) Analysis ganzrational (+ e-fkt..) ab Analysis 3 Eponentialfunk. (+ ganzrat. Fkt.) Analysis 4 Eponentialfunk. (+ trigon. Fktr.) ab

3 45 Eponentialfunktionen Aufgabensammlung: Nur Kurvendiskussionen und Flächen 3 Inhalt Aufgabe Lösung A f e A A 3 f e 4 f e 4 A 4 / A 5 f 4 e 4 f e e 4 3 A A f e 5 4 f e 5 5 A 5 f e A 3 f e A 3 f e A 35 f 4 e A 36 A 4 A 45 A 5 A f 8 e 6 f 4 e 7 f 4 e 7 3 f() f() t e e 3 e e t

4 45 Eponentialfunktionen Aufgabensammlung: Nur Kurvendiskussionen und Flächen 4 Aufgabe Gegeben ist f e 4. Ihr Schaubild sei K. Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) Berechne die Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen. Aufgabe Gegeben ist f e Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) Berechne die Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen. Aufgabe 3 Gegeben ist f e. Ihr Schaubild sei K. Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) Berechne die Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen. / Aufgabe 4 Gegeben ist f 4 e Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) Berechne die Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen. Aufgabe 5 Gegeben ist f e e. Ihr Schaubild sei K. Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) Berechne die Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen. c) Berechne die Fläche zwischen K, der waagrechten Asymptote und der Geraden =.

5 45 Eponentialfunktionen Aufgabensammlung: Nur Kurvendiskussionen und Flächen 5 Aufgabe Gegeben ist f e a) Untersuche K auf Asymptoten, Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) K hat einen berechenbaren Schnittpunkt mit der -Achse. Begründe, warum es einen weiteren geben muss. c) Die Kurve K, die Asymptote und die y-achse begrenzen eine ins Unendliche reichende Fläche. Aufgabe Gegeben ist f e. Ihr Schaubild sei K. a) Untersuche K auf Asymptoten, Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) K hat einen berechenbaren Schnittpunkt mit der -Achse. Begründe, warum es einen weiteren geben muss. c) Die Kurve K, die Asymptote und die y-achse begrenzen eine ins Unendliche reichende Fläche. Aufgabe 5 Gegeben ist f e Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) K, die waagrechte Asymptote und die Gerade = r ( r < ) begrenzen eine Fläche. Berechne deren Inhalt A(r) sowie deren Grenzwert für r.

6 45 Eponentialfunktionen Aufgabensammlung: Nur Kurvendiskussionen und Flächen 6 Aufgabe 3 Gegeben ist f e Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) NUR für Grundkursniveau: Zeige, dass F e eine Stammfunktion von f ist. K und die -Achse begrenzen eine ins Unendliche reichende Fläche. Berechne ihren Inhalt. c) NUR für Leistungskursniveau: K und die -Achse begrenzen eine ins Unendliche reichende Fläche. Berechne ihren Inhalt mittels Intregralrechnung. Aufgabe 3 Gegeben ist f e Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) NUR für Grundkursniveau: Zeige, dass F 3 e eine Stammfunktion von f ist. Berechne die Fläche A, die von K und den Koordinatenachsen begrenzt wird. c) NUR für Leistungskursniveau: K und die -Achse begrenzen eine ins Unendliche reichende Fläche. Berechne ihren Inhalt und mittels Integral die benötigte Stammfunktion. Aufgabe 35 Gegeben ist f 4 e Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) Grundkursniveau: Zeige, dass F 4 e eine Stammfunktion von f ist. c) Berechne die Fläche, die von K, der -Achse und der Geraden = begrenzt wird. Aufgabe 36 Gegeben ist f 8 e. Ihr Schaubild sei G. a) Untersuche G auf Asymptoten, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Etrempunkte. Zeige, dass sich im Intervall 6 die Krümmung nicht ändert. Zeichne G. F 4 4 e mit b) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit der Gleichung eine Stammfunktion von f ist. Der Graph G und die -Achse begrenzen eine Fläche A vollständig. Berechnen Sie den Inhalt von A.

7 45 Eponentialfunktionen Aufgabensammlung: Nur Kurvendiskussionen und Flächen 7 Aufgabe 4 Gegeben ist f 4 e Symmetrieverhalten, Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. b) K, die -Achse und die Gerade = r ( r > ) begrenzen eine Fläche. Berechne deren Inhalt A(r) sowie deren Grenzwert für r. Aufgabe 45 Gegeben ist f 4 e Untersuche K auf Asymptoten, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Symmetrieverhalten, Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. Aufgabe 5 Gegeben ist f() e e 3 a) Bestimme den Definitionsbereich von f. Das Schaubild K von f hat zwei Asymptoten. Gib ihre Gleichungen an und begründe dies. Untersuche K auf Etrem- und Wendepunkte. Zeichne das Schaubild samt Asymptoten. Bestimme die Wertmenge von f. b) Zeige, dass K punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist. c) K, die Koordinatenachsen und die Gerade = ln 6 begrenzen eine Fläche. Berechne ihren Inhalt. Aufgabe 5 Gegeben ist e f() t e t für t und \ ln t a) Bestimme den Definitionsbereich von f t. Das Schaubild K t von f t hat zwei Asymptoten. Gib ihre Gleichungen an und begründe dies. Untersuche K t auf Etrem- und Wendepunkte. Untersuche das Monotonieverhalten und bestimme die Wertmenge von f. Zeichne K und die Asymptoten für 3 mit LE cm. b) Zeige, dass K punktsymmetrisch zu Z ist.

8 45 Eponentialfunktionen Aufgabensammlung: Nur Kurvendiskussionen und Flächen 8

9 45 Eponentialfunktionen Aufgabensammlung: Nur Kurvendiskussionen und Flächen 9 Lösung Aufgabe f e 4 Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. Bestimme die Wertmenge. Asymptote ist die Gerade y 4, denn wegen lim e gilt lim f 4. Schnittpunkt mit der -Achse: f e 4 ln4,39: Nln4 Schnittpunkt mit der y-achse: f e S 3 Ableitungen: f' e, f'' e. Etrempunkte gibt es keine, denn wegen Wendepunkte gibt es keine, denn wegen Wertmenge: W 4; b) Berechne die Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen. Da diese Fläche A unterhalb der -Achse liegt, muss man die Grenzen vertauschen: ln4 ln4 ln4 A e 4 d e 4 e e 4ln4 A 4 4 ln4 4 ln4 3,545 FE f' e für alle steigt f streng monoton. y f'' e für alle hat K immer Linkskrümmung. Weil diese Fläche ins Unendliche reicht, muss man zuerst eine variable linke Grenze r einführen. r r r r r r A r f 4 d e 44 d e d e e e e Nun lässt man r gehen, dann erhält man den Grenzwert, also den Inhalt der bis ins Unendliche reichenden Fläche: r A lim A r r denn lim e R

10 45 Eponentialfunktionen Aufgabensammlung: Nur Kurvendiskussionen und Flächen Lösung Aufgabe f e Etrem- und Wendepunkte. Zeichne K. Asymptote ist die Gerade y, denn wegen lim e gilt lim f. Schnittpunkt mit der -Achse: N ln Schnittpunkt mit der y-achse: f e S Ableitungen: f' e, f'' e. Etrempunkte gibt es keine, wenn wegen Wendepunkte gibt es keine, wenn wegen Wertmenge: W ; b) Berechne die Fläche zwischen K und den Koordinatenachsen. A e d e ln f e ln ln,693 : ln ln A e lne ln ln,386 FE y f' e für alle wächst f streng monoton. f'' e für alle hat K Rechtskrümmung. Weil diese Fläche ins Unendliche reicht, muss man zuerst eine variable rechte Grenze r einführen. r r r r r r A r f d e d e d e e e e Nun lässt man r gehen, dann erhält man den Grenzwert, also den Inhalt der bis ins Unendliche reichenden Fläche: r A lim A r r denn lim e r N WISSEN: Die Ableitung von e ist e, also ergibt sich für die Umkehrung: e e d e Man muss durch die innere Ableitung von e - dividieren.