Trigonometrische Kurven / Funktionen

Transkript

1 Trigonometrische Kurven / Funktionen Teil Eigenschaften der Funktionen sin, cos und tan Verschiebung und Streckung von Sinuskurven Kurvendiskussion ohne Verwendung der Differenzialrechnung Geeignet ab Klasse 9 / 0. Die gezeigten Methoden werden zum Abitur vorausgesetzt! Datei Nr. 40 Stand: 4. Februar 04 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 40 Trigonometrische Funktionen Grundlagen Teil Vorwort und Hinweis auf den Inhalt und Zusatztete Der Inhalt dieses Tetes ist für Klasse 9/0 sowie für Abiturienten Pflicht- und meist auch Prüfungsstoff. Es geht darum, die Eigenschaften von Sinus- und Kosinusfunktionen ihren Gleichungen zu entnehmen. Im Unterricht nehmen sich Lehrer in der Regel dazu wenig Zeit und erklären an wenigen Beispielen, wie die Methoden dazu aussehen. Aber die Prais zeigt, dass man doch sehr viele Übungen und Beispiele benötigt. Daher schreibe ich diesen Tet und den Folgetet 4 mit einer Aufgabensammlung und sehr ausführlichen Musterlösungen. Bei nicht zu komplizierten Sinus- und Kosinuskurven kann man wichtige Kurveneigenschaften ganz schnell erkennen, wenn man gelernt hat, der Kurvengleichung anzusehen, dass sie aus einer der Grundkurven y = sin bzw. y = cos durch eine Abbildung entstanden ist. Solche Abbildungen sind Verschiebungen, Achsenspiegelungen, Streckungen. In diesem Tet lernt man vor allem, mit welch einfachen Mitteln man dies durchführen kann. Es gibt seit Januar 04 einen Tet, der kompakt zeigt, wie man mit Abbildungsgleichungen die Koordinaten eines abgebildeten Punktes und auch die Gleichung einer verschobenen und/oder gestreckten Kurve berechnen kann. Dieser Tet hat die Nummer 00. Mit diesem Wissen kann man dann auch umgekehrt Kurvengleichungen analysieren und so angeben, welche Abbildungen am Werk waren. In vorliegendem Tet wird ohne Abbildungsgleichungen gearbeitet. Man soll möglichst rasch die Methoden lernen, die zur Analyse von Kurvengleichungen benötigt werden. Es ist also ein praisorientierter Trainingstet. Die Fortsetzung des vorliegenden Tetes, also Teil, hat die Nummer 4 und enthält sehr viele Übungsaufgaben. Hinweis zur Schreibweise: cos schreiben, oder ebenso sin oder sin. Man kann cos oder auch Das, worauf sich der Sinus oder Kosinus bezieht, nennt man das Argument. Die traditionelle deutsche Schreibweise verwendet für Argumente nur dann Klammern, wenn es ein sin. Term ist, der eine Summe oder Produkt ist, also Die neuen Grafik- oder CAS-Rechner verwenden die internationale Notation, und die sieht stets eine Klammer vor. Ich verwende beide Schreibweisen, also sin und sin.

3 40 Trigonometrische Funktionen Grundlagen Teil Inhalt Zusammenfassung der Grundlagen aus 00 und 00 4 Symmetrie, Nullstellen und Etrempunkte 7. Die Kurve y sin / Die Funktion f sin. Die Kurve y cos / Die Funktion f cos. Die Kurve y tan / Die Funktion f tan Abbildung der Kurven y sin und y cos Streckung in y-richtung. Streckung in -Richtung. Streckung in beiden Richtungen.4 Spiegelung an der -Achse.5 Spiegelung an der y-achse 4. Verschiebungen 5.7 Verschiebungen und Streckungen verkettet 8 4 Strategien zur Kurvendiskussion 0 Beispiel f sin 0,5 0 Beispiel f cos Beispiel f sin Beispiel 4 f cos 5 Die Funktionen f sin und f 5. Umrechnung f sin cos 5. Umrechnung f cos cos cos Erzeugung von y sin durch Abbildungen Erzeugung von y cos durch Abbildungen

4 40 Trigonometrische Funktionen Grundlagen Teil 4 Zusammenfassung der Grundlagen Ausführlich nachzulesen in den Teten 00 und 00 Trigonometrie ist für Schüler in erster Linie ein Geometriebereich, in dem man mit Sinus, Kosinus und Tangens fehlende Stücke von Dreiecken berechnen kann. Dazu lernt man, dass im rechtwinkligen Dreieck diese Beziehungen gelten: Gegenkathete sin, Hypotenuse Ankathete cos, Hypotenuse Gegenkathete tan Ankathete Diese drei Funktionen besitzen einige Werte, die man gelernt haben sollte Gradmaß Bogenmaß sin cos tan = 0 o = = 0 o = 45 o 4 = 0 o = 90 o Die Tabelle enthält außerdem noch die Winkel im Bogenmaß. Dieses Winkelmaß verwendet die Länge des zu gehörenden Kreisbogens mit dem Radius. Dazu gibt es eine einfache Formel: b r. Diese berechnet den Bogen des Kreises als 0 Bruchteil des Kreisumfangs. Für r = folgt nach Kürzen:. o 80 Für das Bogenmaß verwendet man gerne den Buchstaben. Für Sinus, Kosinus und Tangens als Funktionen verwendet man in der Regel das Bogenmaß. Die Zusammenhänge mit den Sinus- und Kosinuswerten zu Winkel größer als 90 bzw. im Bogenmaß über werden in den Teten 00 ausführlich und in 0 (Grundlagentraining) kompakt dargestellt. Dabei ist es vor allem wichtig zu wissen, welche Vorzeichen die Werte in bestimmten Intervallen haben. sin cos

5 40 Trigonometrische Funktionen Grundlagen Teil 5 Die graphische Darstellung der Funktion f sin übernehme ich aus 0 / Seite 7: Sie macht auch deutlich, dass es sich um eine periodische Funktion handelt: Die Werte des Intervalls 0; wiederholen sich regelmäßig, was man periodisch nennt. Die Periodenlänge ist. Periodenintervall sin 0 für 0 sin 0 für Für das schnelle Zeichnen einer Sinuskurve verwendet man folgende Tabelle: cm 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5, Grad sin 0 0,5 0,87 0,87 0,5 0-0,5 0,87-0,87-0,5 0 So zeichnet man eine Sinuswelle: Man wählt den Startpunkt im Ursprung. Dann geht man Kästchen nach rechts ( bzw. 0 ) und um 0,5 nach oben (A). 7 Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw. 0 ) und um 0,87 nach oben (B). Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw.90 ) und um nach oben (Hochpunkt H). 5 Ab jetzt wiederholen sich die Werte wie folgt: Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw. 0 ) und um 0,87 nach oben (B ). 5 Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw. 50 ) und um 0,5 nach oben (A ). Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw.80 ) und um 0 nach oben (Nullstelle N). 7 Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw. 0 ) und um 0,5 nach unten (A*). 4 Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw. 40 ) und um 0,87 nach unten (B*). Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw.70 ) und um nach unten (Tiefpunkt). 5 Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw. 00 ) und um 0,87 nach unten (B+). Weiter um Kästchen nach rechts ( bzw. 0 ) und um 0,5 nach unten (A+).

6 40 Trigonometrische Funktionen Grundlagen Teil Die graphische Darstellung der Funktion f cos übernehme ich aus 0 / Seite 0: A cos 0 für cos 0 cos 0 für 5 für Auch hier gibt es ein Periodenintervall der Länge, das man zum Beispiel so angeben kann: 0; Die eingetragenen Punkte (Kosinuswerte) kann man der Tabelle von Seite 4 entnehmen und dann auf die ganze Kurve entsprechend übertragen, denn die Kosinuskurve entsteht aus der Sinuskurve durch eine Verschiebung um nach links. Die Grundwelle der Sinuskurve, die im Ursprung beginnt und die Länge hat, beginnt nach der Verschiebung in A, Eine punktweise Zeichnung erstellt man also wie zuvor bei der Sinuskurve, nur eben mit anderem Startpunkt, etwa bei A. Auf die Tangensfunktion gehe ich in diesem Tet kurz auf Seite 0 ein. Weitere Hinweise im Tet 0 ab Seite 0.

7 40 Trigonometrische Funktionen Grundlagen Teil 7 Symmetrie, Nullstellen und Etrempunkte. Die Kurve y = sin / Die Funktion f() = sin () Bedeutung der Perioden-Eigenschaft Die Sinuskurve hat die Periode, weil sich (egal wo man beginnt) nach dieser Strecke alles wiederholt. Das ist mathematisch unsauber formuliert. Machen wir es genauer: Im Schaubild unten ist der Punkt A eingezeichnet. Er hat die Koordinaten A A 0,7. Verschieben wir ihn um nach rechts (roter Pfeil), dann kommen wir zu A' A 0,7 Verschieben wir B B 0,7 um in -Richtung, entsteht B' B 0,7. C 0, kommt durch die Verschiebung um nach links zum Punkt C' 0.. C C. Die um die Periode verschobenen Punkte haben stets die gleichen y-koordinaten wie ihre Urbilder. Wie diese y-koordinaten die Funktionswerte, also die Sinuswerte sind, kann man diesen Sachverhalt auch so darstellen: sin + p = sin = 0,7 sin + p = sin =- 0,7 sin -p = sin = 0, Für A : ( A ) ( A) Für B : ( B ) ( B) Für C : ( ) ( ) C C Diese Zusammenhänge gelten für alle Punkte. Wenn man mehrfach um die Periodenlänge verschiebt, also um z ( z ), dann entsteht folgende Beziehung: sin( + z p ) = sin( ) Dieses Wissen hilft, Eigenschaften von einem Punkt auf andere zu übertragen. Kennt man H, dann kann man angeben, wo die anderen Hochpunkte beispielsweise den Hochpunkt liegen: H z z (Siehe auch Abb. Seite 8) () Das Symmetrie-Verhalten Die Kurve y=sin ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das besagt, dass die Sinuskurve bei Spiegelung am Ursprung auf sich selbst abgebildet wird. Die Darstellung zeigt den mathematischen Zusammenhang: Pa fa wird an gespiegelt und geht über in P' a f a. Wenn also für alle a gilt fa fa, dann liegt Punktsymmetrie vor. Hier heißt dies: sin sin Es gibt unzählige weitere Symmetrien für diese Kurve! f a y P -a f(a) P' a

8 40 Trigonometrische Funktionen Grundlagen Teil 8 () Die Nullstellen der Sinusfunktion Aussage für die Funktion (algebraische Eigenschaften): Im Grundintervall 0; gibt es drei Nullstellen: 0 0,,. Im Definitionsbereich D, gibt es unendlich viele Nullstellen: z z (z ). Aussage für das Schaubild K (geometrische Eigenschaften): K hat unendlich viele Schnittpunkte mit der -Achse: N z 0, z. Diese Schnittpunkte mit der -Achse sind auch die Wendepunkte der Kurve. Dort ändert sich das Krümmungsverhalten von Linkskrümmung nach Rechtskrümmung bzw. umgekehrt. (4) Die Etremwerte der Sinusfunktion / Etrempunkte des Schaubilds Aussagen für die Funktion: (algebraische Eigenschaften) Im Grundintervall 0; gibt es eine Maimumstelle: 0. Der Maimalwert ist. Im Definitionsbereich D gibt es unendlich viele Maimumstellen: 4z ma,z z z, z. Der Maimalwert ist. Im Grundintervall 0; gibt es eine Minimumstelle: 0. Der Minimalwert ist -. Im Definitionsbereich D gibt es unendlich viele Minimumstellen: 4z Min,z z z, z. Der Minimalwert ist -. Folgerung: Die Wertmenge der Funktion ist W ; Aussage für das Schaubild K: (geometrische Eigenschaften) 4z K hat unendlich viele Hochpunkte: z 4z K hat unendlich viele Tiefpunkte: z H z, z. T z, z. z Hinweise: () Man sollte streng zwischen den Eigenschaften der Funktion und denen des Schaubilds unterscheiden. Aussagen wie Nullstelle des Schaubilds oder Hochpunkt der Funktion ist unzulässig. Die Nullstelle ist eine Zahl, nämlich die -Koordinate eines Schnittpunkts des Schaubilds mit der -Achse. Eine Funktion kann die -Achse nicht schneiden. () In der berstufe muss man in der Lage sein, die Formeln für Nullstellen und Etremstellen bzw. Etrempunkte (also mit z) anzugeben!

9 40 Trigonometrische Funktionen Grundlagen Teil 9. Die Kurve y = cos / Die Funktion f() = cos kurz zusammengefasst. Die Kosinuskurve entsteht aus der Sinuskurve durch eine Verschiebung (siehe Abschnitt ). Daher kann man viele Eigenschaften der Sinuskurve auf die Kosinuskurve übertragen. () Bedeutung der Perioden-Eigenschaft Die Kosinuskurve hat die Periode : () Die Kosinuskurve ist symmetrisch zur y-achse. Es gilt daher für alle : cos cos () Nullstellen der Kosinusfunktion Im Grundintervall 0; cos( z ) cos, z D gibt es zwei Nullstellen:, und. Im maimalen Definitionsbereich D gibt es unendlich viele: Schnittpunkte von K mit der -Achse: o Im Grundintervall D 0; gibt es zwei: N 0 und N 0. z In D gibt es unendlich viele: Nz z 0 z 0 0, z. Die Schnittpunkte mit der -Achse sind auch hier zugleich Wendepunkte: (4) Minima und Maima der Kosinusfunktion f a P' -a y z, z N,z P f(a) a Algebraischer Sachverhalt: In 0; D hat die Kosinusfunktion zwei Maimumstellen: 0 und, der Maimalwert ist. In D gibt es unendlich viele Maimumstellen: Ma,z z, z. D hat die Kosinusfunktion eine Minimumstelle Min,z In D gibt es unendlich viele Minimumstellen: Min,z (z), z In 0;, der Minimalwert ist -. Folgerung: Der Wertebereich (Wertmenge) von f cos ist ; Geometrischer Sachverhalt: W. In D 0; hat die Kosinuskurve die Hochpunkte H0 und H In D gibt es unendlich viele Hochpunkte. H z, z. Hinweis: z z sind alle geradzahligen Vielfachen von. In D 0; hat die Kosinuskurve den Tiefpunkt T. In D gibt es unendlich viele Tiefpunkte: z z. T z z Hinweis: (z ) sind alle ungeradzahligen Vielfachen von.