Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12 TRIGONOMETRISCHE GRUNDBEZIEHUNGEN

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1 ARBEITSBLATT TRIGONOMETRISCHE GRUNDBEZIEHUNGEN Ein paar wichtige Grundbeziehungen zwischen den Winkelfunktionen sollten Sie unbedingt auswendig wissen: Als Erstes zeichnen wir uns noch einmal einen beliebigen Winkel, den Einheitskreis und die Sinus- und Cosinuslängen. Radius sin cos Wir erkennen, dass die Längen sin, cos und Radius r ein rechtwinkeliges Dreieck bilden, für die folglich immer der pthagoräische Lehrsatz gelten muss. Wir erhalten also: Satz: sin cos = Anmerkung: Die Schreibweise sin und bedeutet in Wirklichkeit sin. ( ) ist nur eine vereinfachte Schreibweise Ein zweiter wichtiger Zusammenhang lässt sich in Bezug auf den Tangens feststellen. Wir zeichnen zunächst wieder einen Winkel, bei dem wir alle drei Winkelfunktionen einzeichnen:

2 C E A B D sin tan cos Radius Wir erhalten nun wieder zwei ähnliche Dreiecke: Das Dreieck ABC ist ähnlich dem Dreieck ADE, folglich müssen wieder entsprechende Seiten im selben Verhältnis stehen. Vom Dreieck ADE wähle ich die Seite tan und Radius. Die dazu entsprechenden Seiten des Dreiecks ABC sind sin und cos. Wir erhalten also: tan sin = cos Damit erhalten wir folgende Grundbeziehung zwischen den drei Winkelfunktionen: Satz: sin tan = cos Eine weiter Beziehung zwischen Sinus und Cosinus ist noch nennenswert: Komplementärwinkelsatz: cos = sin ( 90 ) sin = cos( 90 ) 0 90 Dadurch können wir Sinus in Cosinuslängen und umgekehrt darstellen: Beispiel: Stelle sin 30 durch den Cosinus dar: Es gilt: sin = cos( 90 ) Wir setzen unseren Wert für ein und erhalten: sin 30 = cos = cos 60 ( )

3 Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 96 Anmerkung: Überlegen Sie sich den Komplementärwinkelsatz geometrisch! Die Quadrantenregel Bisher haben wir uns stets mit Winkelgrößen zwischen 0 und 90 abgegeben. Was ist aber nun, wenn wir größere Winkelgrößen betrachten wollen. Dazu befassen wir uns zunächst einmal mit dem Sinus. Wir verlegen unseren Einheitskreis in den Koordinatenursprung: -Achse Der Einheitskreis wird durch das Koordinatensstem in vier Teilkreise zerlegt, welche man als Quadranten bezeichnet und folgendermaßen nummeriert sind. -Achse.Quadrant.Quadrant 3.Quadrant 4.Quadrant Im. Quadranten liegt die Winkelgröße also zwischen 0 und 90, im. Quadranten zwischen 90 und 80, im 3. Quadranten zwischen 80 und 70 und im 4. Quadranten zwischen 70 und

4 Wenn wir nun einen Winkel einzeichnen würden, so ist der Sinus dieses Winkels stets eine vertikale Größe. Nach oben gerichtet ist aber die -Achse positiv, nach unten negativ. Folglich definieren wir auch die Sinuslänge eines Winkels so: Ist Sie nach oben gerichtet, so ist der Winkel positiv (also > 0), nach unten negativ (also < 0). Liegt die Winkelgröße im. Quadranten (also zwischen 0 und 90 ) so erhalten wir Folgendes: sin Da im. Quadranten der Sinus eines Winkels stets nach oben gerichtet ist, ist sin also stets positiv (also > 0). Betrachten wir nun einen Winkel im zweiten Quadranten: sin Da im. Quadranten der Sinus eines Winkels stets nach oben gerichtet ist, ist sin also stets positiv (also > 0). 4

5 Nun betrachten wir einen Winkel für den 3. Quadranten (also zwischen 80 und 70. sin Jetzt sehen wir, dass für einen Winkel im dritten Quadranten unten gerichtet, also negativ ( < =) ist. sin stets nach Nun nehmen wir einen Winkel für den 4. Quadranten (also zwischen 70 und 360 ): sin Auch hier ist sin nach unten gerichtet, also negativ. Nun überlegen wir uns das Ganze für den Cosinus durch. Der Cosinus ist eine waagrechte Länge, bezieht sich also auf die. Nach rechts gerichtet ist die positiv, nach links negativ: 5

6 -Achse x x Folglich gilt auch für die Cosinuslänge eines Winkels: Ist sie rechts des Koordinatenursprungs, so ist sie positiv, links des Koordinatenursprungs ist sie negativ. Betrachten wir dies nun für einen Winkel im. Quadranten: -Achse x cos x Bei einem Winkel zwischen 0 und 90 ist also positiven gerichtet, also positiv (>0). cos stets in Richtung der Schauen wir uns nun das Ganze für den. Quadranten an: -Achse x cos x Da hier die Cosinuslänge in Richtung der negativen gerichtet ist, ist also der Cosinus eines Winkels im.quadranten stets negativ (kleiner 0). 6

7 Überlegen Sie sich bitte nun selbst, warum der Cosinus eines Winkels im 3. Quadranten stets negativ, im 4. Quadranten stets positiv ist. Nun müssen wir uns noch mit dem Tangens beschäftigen. Diesen kann man leider nicht geometrisch interpretieren wie Sinus und Cosinus. Stattdessen sin ergibt sich sein Vorzeichen immer aus dem Zusammenhang tan =. cos Wenn wir dies nun für einen Winkel im. Quadranten betrachten, so ist dort sowohl sin als auch cos positiv. Wenn wir nun in unsere Definition des Tangens einsetzen, so erhalten wir: sin tan = = = cos Der Tangens eines Winkels ist im. Quadranten also stets positiv. Für den. Quadranten gilt: sin ist positiv und cos negativ. Wir setzen wieder ein: sin tan = = = cos Der Tangens eines Winkels ist im. Quadranten also stets negativ. Für den 3. Quadranten gilt: sin ist negativ und cos negativ. Wir setzen wieder ein: sin tan = = = cos Der Tangens eines Winkels ist im 3. Quadranten also stets positiv. Für den 4. Quadranten gilt: sin ist negativ und cos positiv. Wir setzen wieder ein: sin tan = = = cos Der Tangens eines Winkels ist im 4. Quadranten also stets negativ. Diese Zuordnung, welches Vorzeichen die verschiedenen Winkelfunktionen in den einzelnen Quadranten haben, nennt man die Quadrantenregel. Zusammengefasst lautet diese also: 7

8 Quadrantenregel:. Quadrant. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant sin - - cos - - tan - - Was bedeutet dies aber nun für das praktische Rechnen. Wenn wir zu einem bestimmten Winkel die dazugehörige Sinus- Cosinus- oder Tangenslänge wollen, so haben wir keinerlei Probleme, da unsere Taschenrechner dies heutzutage problemlos berechnen. Beispiel: Berechne sin 30 = Wir geben alles wie üblich in den Taschenrechner ein, drücken also 30 sin, und erhalten: sin 30 = 0,766 Beachten Sie bitte, dass ein Winkel von 30 im 3. Quadranten liegt, wo also der Sinus negativ werden muss, was der Taschenrechner uns auch liefert. Übung: Übungsblatt, Aufgabe 97 Dies wäre ja nun alles ganz einfach gewesen. Wozu brauchen wir dann überhaupt die Quadrantenregel, wenn unser Taschenrechner ja schon alles weiß? Die Antwort darauf gibt die umgekehrte Fragestellung. Wir kennen zum Beispiel eine Sinuslänge und wollen den dazugehörenden Winkel wissen. Gehen wir dies an einem Beispiel durch. Beispiel: Berechne den Winkel, so dass gilt sin = 0, 3. Das Übel ist, dass es nicht nur eine, sondern zwei Lösungen gibt. Laut Fragestellung suchen wir einen Winkel, dessen Sinuslänge positiv ist und die Länge 0,3 hat. Dies kann aber ein Winkel im. und im. Quadranten sein, wie folgende Skizze deutlich macht: 8

9 sin = 0,3 sin = 0, 3 Es ist also zwar jedem Winkel eindeutig eine Sinuslänge zugeordnet, aber umgekehrt ist dies leider nicht so eindeutig. Der Sinuslänge sind zwei Winkel zugeordnet. Man spricht in diesem Falle, dass die Winkelfunktionen nicht bijektiv sind. Doch davon später noch mehr. Der Taschenrechner kann uns jetzt natürlich nicht zwei Lösungen liefern, sondern nur eine. Wenn wir also zunächst unsere Gleichung lösen wollen, so erhalten wir: sin = 0,3 = arcsin 0,3 Ausgetippt mit dem Taschenrechner erhalten wir die. = 7, 45 Die zweite Lösung müssen wir uns aber selbst mittels der Quadrantenregel selbst zusammendenken: Dass diese im. Quadranten liegt, geht aus der Tatsache hervor, dass der Sinus nur im.- und. Quadranten positiv ist. Wenn wir uns nun noch obige Zeichnung ansehen, so wird klar, dass die beiden Lösungen und zusammen 80 ergeben müssen. Ich stelle dies noch einmal kurz dar: Folglich ergibt sich also, indem wir von 80 abziehen. Wir erhalten also: 9

10 = 80 = 6, 55 Sehen wir uns dasselbe Problem noch für eine negative Sinuslänge an: Beispiel: Berechne den Winkel, so dass gilt sin = 0, 5. Da nun der Sinus negativ ist, können die beiden Lösungen nur im 3. und 4. Quadranten liegen. Wir berechnen uns zunächst einfach den Winkel im ersten Quadranten, lassen also das Vorzeichen weg: sin = 0,5 = arcsin0,5 = 30 Was bedeutet nun dies schon wieder, dass wir einen negativen Winkel erhalten? Um nun den Lösungswinkel im vierten Quadranten zu erhalten überlegen wir uns Folgendes: Wie an der Skizze ersichtlich erhalten wir den Lösungswinkel folgendermaßen: = = 330 Nun müssen wir uns noch die zweite Lösung im 3. Quadranten überlegen: 0

11 Wir erkennen, dass der Lösungswinkel im 3. Quadranten stets 80 sein muss: Wir erhalten also: = = 0 Sehen wir uns dazu nun ein Beispiel für den Cosinus an: Beispiel: Berechne den Winkel, so dass gilt cos = 0, 5. Als Erstes gilt, dass der Cosinus im. Und im 4. Quadranten positiv ist. Dort müssen also die beiden Lösungen sein. Die erste Lösung berechnen wir ganz normal: cos = 0,5 = arccos 0,5 = = 60 Wie bereits gezeigt gilt für den Lösungswinkel im 4. Quadranten = 360 : Wir erhalten folglich: = = 300

12 Sehen wir uns noch ein Beispiel für einen negativen Cosinus an: Beispiel: Berechne den Winkel, so dass gilt cos = 0,. Da der Cosinus im. Und 3. Quadranten negativ ist, müssen dort die Lösungen liegen. Wir berechnen uns zunächst wieder die Zwischenlösung für den. Quadranten. cos = 0, = arccos0, = 78, 46 Für die Lösung im. Quadranten überlegen wir uns: Es muss also gelten: = 80 Wir erhalten als erste = 80 78, 46 = 054., Für den 3. Quadranten haben wir uns bereits überlegt, dass gilt. Wir erhalten: = 80 = 58 46, = 80 Als Letztes bleibt uns noch der Tangens: Beispiel: Berechne den Winkel, so dass gilt tan =,. Da der Tangens im. Und 3. Quadranten positiv ist (Siehe Quadrantenregel!!), müssen dort unsere beiden Lösungen liegen. Die erste Lösung berechnen wir wieder mittels des Taschenrechners: tan =, = arctan, = 50, 9 Die zweite Lösung liegt im dritten Quadranten, dort gilt: = 80 = 80 = 30, 9

13 So, und als allerletzten Fall sehen wir uns noch einen negativen Tangenswert an: Beispiel: Berechne den Winkel, so dass gilt tan = 0, 9. Da der Tangens im. und 4. Quadranten negativ ist, müssen dort die Lösungen sein. Zunächst berechnen wir wieder die Zwischenlösung im.quadranten: tan = 0,9 = arctan0, 9 = 4, 99 Für den. Quadranten gilt nun: = 80 = , = 38 0, Für den 4. Quadranten gilt: = 360 = , = 38 0, Zusammenfassend kann man also folgenden Weg vorschlagen: Schritt : Überlege in welchem Quadranten die beiden Lösungen liegen müssen. Schritt : Berechne die Zwischenlösung (oder Lösung) im. Quadranten. Lass also gegebenenfalls ein negatives Vorzeichen weg. Schritt 3: Berechne die entsprechenden Lösungen in den Quadranten. Dabei gilt, wenn die Lösung im. Quadranten sei:.quadrant: = 80 3.Quadrant: = 80 4.Quadrant: = 360 Übung: Übungsblatt ; Aufgabe