Aufgabe 1: Geben Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = sin (3x 2

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Kora Melanie Lenz
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1 Etra-Mathematik-Übung: Aufgabe : Geben Sie die Nullstellen der Funktion f() sin ( * Pi) an! Skizze: Wertetabelle: X - ½ Pi ½ Pi sin ( ½ Pi) -,0-6,0 -,57-7,57-0,96 -,5 -,5 -,57-6,07 + 0, -,0 -,0 -,57 -,57 +,0-0,5 -,5 -, 57 -,07-0,07 0,00 0,00 -,57 -,57 -,0 + 0,5 +,5 -, 57-0,07-0,07 +,0 +,0 -,57 +, +,0 +,5 +,5 -,57 +,9 + 0, +,0 + 6,0 -,57 +, - 0,96 Die Nullstellen der Funktion der Sinusfunktion sind diejenigen -Werte, an denen das Argument der Sinusfunktion ein ganzzahliges Vielfaches von Pi ist. * Pi k * Pi k Z k * Pi + Pi (k + ) * Pi k Z k + * Pi k Z 6 Vgl. Lösungsweg Übungsblatt 7 / Aufgabe von Dozent Dr. Hoff.

2 Etra-Mathematik-Übung: sin sin Aufgabe : Skizzieren Sie die Funktion f() tan. sin cos Geben Sie die Periode dieser Funktion sowie ihre Nullstellen und Polstellen an. Skizze: Wertetabelle: sin sin sin cos / Pi /8 Pi 0,6 0,855 0,75 / Pi /8 Pi 0,5 0,5 / Pi /8 0,855 0,6 5,08 Pi ½ Pi 0 POLSTELLE 5/ Pi 5/8 Pi 0,855 0,6 5,08 6/ Pi 6/8 Pi 0,5 0,5 7/ Pi 7/8 Pi 0,6 0,855 0,75 Pi Pi 0 0 Nullstellen: k * Pi k Z Polstellen: (k +) * Pi k Z Periode (s. Zeichnung): *Pi durch / verlängert sich die Periode von Pi auf Pi

3 Etra-Mathematik-Übung: Aufgabe : Stellen Sie den Ausdruck f(t) cos ( wt + Pi ) + sin (wt 7 Pi) durch eine einzige Sinusfunktion dar. ) Vorgegebene Funktion f(t) cos ( wt + Pi ) + sin (wt 7 Pi) ) Umformung (s. Papula, Bd., Kap. 9., S. 8f.) cos sin ( + Pi) ) Ergebnisfunktion f(t) sin ( wt + Pi + Pi ) + sin (wt 7 Pi) f(t) sin ( wt + Pi) + sin (wt 7 Pi) ) Superposition zweier gleichfrequenter Schwingungen Formel (s. Papula, Bd., S. 5) A ( A* A) + ( A * A) + *( A* A) *cos( winkel winkel) A 7 ( * ) + (*) + *(*) *cos[( Pi ) ( + Pi)] A 0 5 ( ) + () + *() *cos( Pi) + + *cos( Pi) 5 + * 0) 5 A, 5) Berechnung von tan - -Winkel Formel (s. Papula, Bd., S. 5) tan - Winkel ( A*sinWinkel _) + ( A *sinwinkel _ ) ( A* coswinkel _) + ( A *coswinkel _ )

4 Etra-Mathematik-Übung: tan - Winkel 7 *sin( Pi) + * sin( Pi) 7 *cos( Pi) + * cos( Pi) *0,707 + * 0,707 *( 0,707) + * 0,707, 0,707 - tan - Winkel * ( * *( * ) + * ( + ) + * ( + ) ) *( * ) tan - - An dieser Stelle liefert der Taschenrechner den Wert tan ,57. Im Zeigerdiagramm sehen wir, dass der Vektor in Richtung der y-achse zeigen muss. Der richtige Winkel ist also -7, ,57 (s. Skizze). Im Bogenmaß sind 08,57 5 * Pi. 6) So gilt für die resultierende Schwingung f(t), * sin (wt + 5 Pi) Zeigerdiagramm: Besondere Werte Grenzwerte - Umwandlungen 0 Pi/6 Pi/ Pi/ Pi/ sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 sin ( *Pi ) 0,707 > 5 * Wurzel sin - 7 *Pi -0,707-5

5 Etra-Mathematik-Übung: Aufgabe : Skizzieren Sie die Funktion f() e + * sin() und geben Sie alle Nullstellen dieser Funktion an. Eine Nullstelle ergibt sich immer dann für die Gesamtfunktion, wenn durch die Sinusfunktion sin() ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Die e- Funktion besitzt keine Nullstellen, die e- Funktion e + stellt eine Hüllfunktion der Sinusfunktion sin () dar (s. Wertetabelle). Nullstellen: k * Pi > k * Pi k Z Skizze: Wertetabelle: X X+ e X+ X SIN (X) e X+ *SIN(X) - - 0, ,989-0, , ,79 + 0, , , ,78-0, , 906-0,909 0,7 0 0,00 0,00 + 7, , ,7 + 0, ,7568-5, + 5, ,79-5, , , ,8 5

6 Etra-Mathematik-Übung: Aufgabe 5: Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichungen a) - Substitution Z Z Z 5b) Formeln: Z Z 0 * Z Z Z 0 ln n m m ln n n m ln P-Q-Formel Z / p ± Z / p ( ) q ± ( ) ( ) ln n m m ln n ln (u*v) ln u + ln v ln v u ln u ln v Z / + ± + ( ± ) > ±, > Z, und Z -0, Rücksubstituieren und anschließend Logarithmieren log Z log ( ± ) Aufgabe: ln + ln ln () ln + ln ln + ln ln ( * ) ln + ln ln ln ln ln log (Z ) ln Z 0,887 ln 0, 69,76 Z geht nicht, da negative Zahl nicht definiert; keine R.-Subst. e ln ln ln ln e-funktion hebt Logarithmus auf: e e e ln 6

7 Etra-Mathematik-Übung: Aufgabe 6: Winkelberechnung a) Winkel phi arcsin ( b) Winkel phi cos - ( ) c) Winkel phi sin - ( ) d) Winkel phi tan - Pi ) Besondere Werte Grenzwerte - Umwandlungen 0 0 Pi/6 0 Pi/ 5 Pi/ 60 Pi/ 90 sin 0 cos 0 tan 0 cot Bsp. sin 0 Aufgabe a) ) Taschenrechner DEG : Taste & Taste / & Taste & Taste 5 ) Berechnung ) Lösung phi 5 Pi und phi 5 Pi & Taste & Taste SHIFT & Taste sin Aufgabe b) Winkel phi,07 Pi und phi - Pi RAD : Taste & Taste / & Taste & Taste & Taste SHIFT & Taste cos & Taste,07 Aufgabe c) Aufgabe d) Winkel phi 9,7 0,*Pi und phi 99,7,*Pi Taste & Taste - & Taste / & Taste & Taste SHIFT & Taste sin & Taste 9,7 Winkel phi 6, 0,6*Pi und phi 6,,6*Pi Taste SHIFT & Taste EXP (Pi) & Taste / & Taste & Taste SHIFT & Taste tan & Taste 9,7 7

8 Etra-Mathematik-Übung: Aufgabe 7: Welche geometrische Figur wird durch die Gleichungen dargestellt? 7b) - + y +8y AB A*B * > 0 7c) (0 ) y y a) -y -0 A0 und B - A*B * - - > 0 Beispiele für Musterlösungen dieser Art: Papula, Bd., S

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