n=10! Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der exakten Lösung! Lösung: Wir zerlegen das Intervall [a,b]=[1,2] in n Streifen der Breite h=.

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1 Lösungen zu Übungsblatt (Integralrechnung) Zu Aufgabe ) Berechnen Sie das Integral e x dx n! Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der exakten Lösung! näherungsweise nach der rapezformel für n, n5, Wir zerlegen das Intervall [a,b][,] in n Streifen der Breite h.(b-a)/n /n : und approximieren jedes eilintegral über einem Intervall [x i-,x i ] durch den Flächeninhalt des rapezes mit den 4 Eckpunkten P i-, P i, (x i-,),(x i,). Summieren wir die Flächeninhalte aller rapeze auf, so erhalten wir näherungsweise das gesuchte Integral (siehe Papula Mathematik für Ingenieure, Bd.. Kap. 5) Die rapezformel lautet: n (h/) x y e -,68 x,5 ye -,5, x ye -,5 Σ, 5 Σ,

2 e x dx (,5/ +,)/,4745/,75 n5 (h/5,) x y e -,68 x, ye -,, x,4 ye -,4,466 x,6 ye -,6,9 x4,8 y4e -,8,65 x5 y5e -,5 Σ,5 Σ,949 e x dx (,5/ +,949)/5,664/5,8 n (h/,) x y e -,68 x, ye -,,9 x, ye -,, x, ye -,,75 x4,4 y4e -,4,466 x5,5 y5e -,5, x6,6 y6e -,6,9 x7,7 y7e -,7,87 x8,8 y8e -,8,65 x9,9 y9e -,9,496 x ye -,5 Σ,5 Σ,757 e x dx (,5/ +,757)/,7/,7 Analytische Berechnung des Integrals: e x dx x [ e ] e + e,679,5, 6 Bereits für n5 erhält man das analytische Ergebnis bis auf Stellen nach dem Komma gerundet genau.

3 Zu Aufgabe ) Bestimmen Sie das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn die Funktion y x, x 4 a) um die x-achse rotiert wird! b) um die y-achse rotiert wird! Zu a) Das Volumen des Körpers, der bei Rotation von f(x) um die x-achse, x [a,b], entsteht ist: V x b ( f ( x)) dx a V x 4 ( x) dx x 8 4 Zu b) Das Volumen des Körpers, der bei Rotation von f(x) um die y-achse, y [c,d], entsteht ist: V y d ( f c ( y)) dy c, d 4, y f ( x) x x f ( y) y V y 4 5 y dy y 6, Zu Aufgabe ) i sin( t) für < t / Zu a) Ein Einweggleichrichter i( t), periodisch für / < t fortgesetzt, erzeuge den in der Skizze dargestellten Strom mit der Periodendauer.

4 Berechnen Sie den linearen Mittelwert Gleichrichtwert bezeichnet). i i( t) dt während einer Periode (er wird als i i( t) dt i o sin( t) dt Substitution.: u t du dt t : u : io i io sin( u) du sin( u) du i i [ cos( u)] [ + ] i Der lineare Mittelwert ist: i i. Zu b) Geben Sie (ohne Integralrechnung) den linearen Mittelwert Funktion f(x)sin(x)+ im Intervall [,] an! f f ( x) dx der Der lineare Mittelwert ist die Linie, die die Eigenschaft besitzt, dass f(x) genauso viel Fläche unter wie über dieser Linie im Periodenintervall besitzt. D.h., f. 4

5 Zu c) Geben Sie (ohne Integralrechnung) den linearen Mittelwert f f ( x) dx der / x Funktion f ( x), f(x)f(x+k), k Z im Intervall [,] an! / 4 < x Der lineare Mittelwert ist die Linie, die die Eigenschaft besitzt, dass f(x) genauso viel Fläche unter wie über dieser Linie im Periodenintervall besitzt. D.h., es muss gelten: ( / f ) ( f / 4) D.h., f /. Zu Aufgabe 4) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Funktionen y (x) x und y (x) -x+ eingeschlossen wird! Wir berechnen zunächst die beiden Schnittpunkte x / der beiden Kurven: 5

6 ! / y(x)-y(x) x + x x ± + ± x,44, x, 44. Damit erhalten wir für den Flächeninhalt: A x x ( x + x x (,44),77 + x ) dx x x x +,44 (,44) + (,44) +,44 (,44) 6