1 Ableitungen. Hinweise und Lösungen:

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Petra Acker
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Hinweise und Lösungen: http://mathemathemathe.de/analsis/analsis-grundagen Ableitungen Übung.

1 Hinweise und Lösungen: Ableitungen Übung.: Einfache Ableitungen - Bestimme die ersten Ableitungen a) f() = b) f() = a + a a K(t) = t t + 0 Übung.: Besondere Funktionen - Bestimme die erste Ableitung a) f() = sin() b) f() = cos() f() = e d) f() = Übung.: Kettenregel - Bestimme die erste Ableitung a) f() = ( + ) b) f() = ( ) f() = ( 8 ) 8 d) f() = ( ) e) f() = f) f() = + g) f() = sin( ) h) f() = e i) f() = e j) f() = e k) f() = e +

2 Übung.: Produktregel - Bestimme die erste Ableitung (während der Produktregel brauchst du oft auch die Kettenregel) a) f() = ( + )e b) f() = ( )e f() = ( )e d) f() = ( )e e) f() = e 7+ Übung.: Hier geht es ums grafische Ableiten. Wie müsste die Ableitung der Funktion f aussehen? Die Ableitung wird entweder durch g oder h korrekt beschrieben. Entscheide begründet, ob der Graph g oder der Graph h die Ableitung von f beschreibt.

3 a) b) f() 0 0 g() h() f() 0 g() h() 0 Lösung.: a) f () = f (X) = + 0 f () = b) f () = a + a f () = a f () = 0 K (t) = 0t K (t) = 80t K (t) = 0t

4 Lösung.: a) f () = cos() b) f () = sin() f () = e d) f () = Lösung.: a) f () = 0( + ) b) f () = 7( ) f () = ( ) 7 d) f () = ( ) e) f () = f) f () = g) f () = cos( ) h) f () = e i) f () = e j) f () = 0e f () = e k) + Lösung.: a) f () = e ( + ) Lösung.: a) Graph g Sowohl g als auch h haben eine Nullstelle an der Stelle, an der f einen Etrempunkt hat (bei = ). Der Graph von f fällt bis zum Etrempunkt (negative Steigung). Der Graph g liegt in diesem Intervall unter der -Achse (im negativen Bereich). Danach steigt der Graph von f (positive Steigung) und der Graph g verläuft über der -Achse (im positiven Bereich). b) Graph h Graph h hat im Gegensatz zu g Nullstellen an genau den Stellen, an denen f Etremstellen hat. Außerdem steigt f erst und h verläuft über der -Achse. Anschließend fällt f und h verläuft unter der -Achse. Am Ende steigt f wieder und h verläuft wieder über der -Achse. Nullstellen Übung.: Ganzrationale Funktionen - berechne die Nullstellen a) f() = 9 b) f() = + f() = + 9 d) f() = + e) f() = f) f() =

5 g) f() = h) f() = + i) f() = j) f() = + 0 k) f() = ( )( ) l) f() = ( + )( ) m) f() = 7 n) f() = + Übung.: e-funktionen - Berechne die Nullstellen a) f() = e b) f() = e 7 f() = e d) f() = e + 8 e) f() = e 8 f) f() = e g) f() = ( ) e 7+ Lösung.: a) = b) = = keine Nullstellen d) = 0 = e) = 0 = f) = 0 = g) = = 7 h) = = i) = 0 = = j) = 0 = = 8 k) = = = l) = = = m) = = n) = = = = Lösung.: a) keine Nullstellen b) keine Nullstellen = ln(), 9 d) = ln() 0, 9 e), f) = 0 g) = = Schnittpunkt mit -Achse Übung.: Berechne den Schnittpunkt mit der -Achse (-Achsenabschnitt). a) f() = + 8 b) f() = + e 7 f() = e 7 Lösung.: a) S (0 8) b) S (0 ) S (0 )

6 Grenzwerte - Globalverlauf Übung.: ganzrationale Funktionen - Bestimme die Grenzwerte lim f() und lim f() a) f() = + 8 b) f() = f() = + 7 d) f() = Übung.: e-funktionen - Bestimme die Grenzwerte lim f() und lim f() a) f() = e b) f() = e + f() = ( ) e d) f() = ( + 8 ) e e) f() = ( 7) e + f) f() = e 0, + Lösung.: a) lim lim b) lim f() = lim f() = lim f() = d) lim f() = lim lim f() = Lösung.: a) lim lim b) lim f() = 0 lim lim d) lim f() = lim lim e) lim f) lim f() = lim f() = lim f() =

7 Etrem- und Wendepunkte Übung.: Berechne die Etrem- und Wendepunkte der folgenden Funktionen: a) f() = + 8 b) f() = f() = 0, 0,, 0, Lösung.: a) HP( 8) TP(0 8) WP( 0) b) HP( ) TP(0 ) WP(0 0) HP( 0, 9) TP(, ) WP(0,, 8) Steigungswinkel Übung.: Berechne den Steigungswinkel im Punkt P. a) f() = 7 im Punkt P ( ) b) f() = + +8 im Punkt P ( f()) Übung.: In welchen Punkten hat die Funktion den gegebenen Steigungswinkel α? a) f() = mit α = 0 b) f() = + mit α = Lösung.: a) α = b) α 7 Lösung.: a) P (0,, 9) gerundete Werte b) P ( ) P ( ) 7 Smmetrie ganzrationale Funktionen 7

8 Übung 7.: Bestimme die Smmetrie der ganzrationalen Funktion (Achsensmmetrie zur -Achse und Punktsmmetrie zum Ursprung) a) f() = b) f() = f() = + d) f() = + 8 e) f() = + + f) f() = + g) f() = + 7 Lösung 7.: a) Punktsmmetrie zum Ursprung b) Achsensmmetrie zur -Achse weder Punktsmmetrie zum Ursprung noch d) weder Punktsmmetrie zum Ursprung noch Achsensmmetrie zur -Achse Achsensmmetrie zur -Achse e) Achsensmmetrie zur -Achse f) weder Punktsmmetrie zum Ursprung noch Achsensmmetrie zur -Achse g) Achsensmmetrie zur -Achse 8 Rekonstruktion - Funktionsgleichung aufstellen Übung 8.: a) Bestimme eine ganzrationale Funktion. Grades mit dem Hochpunkt H(0 ) und dem Wendepunkt W( ). b) Bestimme eine ganzrationale Funktion. Grades, deren Graph achsensmmetrisch zur -Achse ist, die -Achse bei = unter einem Winkel von α = schneidet und durch den Punkt P( -) verläuft. 8

9 Bestimme die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion f, die zu dem folgenden Graphen gehört: P( ) 0 f() Lösung 8.: a) f() = + b) f() = + 9 f() = Etremwertaufgaben 9

10 Übung 9.: a) Im Bild ist ein achsensmmetrisches Rechteck dargestellt. Die Punkte P und Q lie- b) gen auf dem Graphen der Funktion f. Bestimme die Koordinaten des Punktes P so, dass die Fläche des Rechtecks maimal wird. Wie groß ist die maimale Fläche? plus: Wiederholung lineare Funktion aufstellen Im Bild ist ein rechtwinkliges Dreieck gezeigt. Der Punkt P soll im ersten Quadranten auf dem Graphen der Funktion f liegen. Bestimme die Koordinaten des Punktes so, dass die Fläche des Dreiecks maimal wird. Wie groß ist die maimale Fläche? Stelle zunächst eine Funkti- onsgleichung für f auf. Q( f()) f() = + 9 P ( f()) P ( f()) 0 Lösung 9.: ( ) a) P bzw. gerundet P (, 7 ) A ma = b) P (,, ) A 0, 8 FE ma =, 87 FE 0 Ober- und Untersumme Übung 0.: 0

11 Berechne die Obersumme O (die im Inde steht dafür, dass du die Fläche durch Rechtecke annähern sollst) für die Funktion f() = + im Intervall I = [0; ]. Hierfür habe ich dir schon eine Skizze vorbereitet: f() = + 0 Übung 0.: Berechne die in der Skizze markierte Fläche näherungsweise einmal mit Hilfe der Obersumme und einmal mit Hilfe der Untersumme. Benutze hierfür jeweils Rechtecke. Was kann man anpassen, um die Näherung präziser zu machen? f() = + 0 Lösung 0.: O, 9 FE

12 Lösung 0.: O 8, 9 FE U, FE Um die Näherung genauer zu machen, kann die Einteilung feiner gewählt werden. Ganz konkret: Man kann die Fläche in mehr Rechtecke unterteilen. Die einzelnen Rechtecke werden dann natürlich schmaler. Je mehr Rechtecke, desto genauer wird die Näherung. Stammfunktionen Übung.: ganzrationale Funktionen - Bilde eine Stammfunktion a) f() = b) f() = f() = + + d) f() = + 8 Übung.: e-funktionen - lineare Substitution - Bilde eine Stammfunktion a) f() = e b) f() = e f() = e + d) f() = e e) f() = 7e +8 Übung.: Zeige, dass F eine Stammfunktion von f ist. a) F () = e b) F () = ( + ) e f() = ( + ) e f() = ( + + ) e Lösung.: a) F () = + C b) F () = + C F () = C d) F () = C Lösung.: a) F () = e + C b) F () = e F () = e + d) F () = e e) F () = 7 e +8 Lösung.: a) F () = ( + ) e = f() b) F () = ( + + ) e = f()

13 Integralrechnung Übung.: Berechne die Fläche, die der Graph der Funktion mit der -Achse im Intervall I einschließt. a) f() = + I = [ ; ] b) f() = I = [0; ] f() = I = [ ; ] Übung.: Berechne die Fläche, die der Graph der Funktion mit der -Achse einschließt. a) f() = + b) f() = Übung.: Bestimme die Fläche, die zwischen den Graphen der beiden Funktion f und g eingeschlossen wird. a) f() = b) f() = g() = + g() = + Übung.: Rotationsvolumen - Berechne das Volumen das entsteht, wenn die zwischen dem Graphen und der -Achse eingeschlossene Fläche im Intervall I um die -Achse rotiert. a) f() = + I = [0; ] b) f() = + I = [0; ] f() = e I = [0; ] Lösung.: a) A = FE b) A =, 7 FE A = 9 8, FE Lösung.: a) A =, FE b) A = FE Lösung.: a) A =, FE b) 7 A = 9 0, 9 FE Lösung.: a) V 9, 7 VE b) V, VE V 0 VE

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