Zusammenfassung und Übungsblatt zu Steckbriefaufgaben

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1 Seite von 7 Bei einer Steckbriefaufgabe werden bestimmte Eigenschaften eines Funktionsgraphen vorgegeben und gesucht ist die Gleichung der Funktion, deren Graph die gewünschten Eigenschaften hat. Ans WBG 7

2 Seite von 7 Beispiel für eine Steckbriefaufgabe Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch den Koordinaten- ursprung geht, bei Lösung ein Minimum hat und im Punkt W einen Wendepunkt. 7. ganzrat. Funktion. Grades f a b c d mit zu bestimmenden a, b, c, d ihre Ableitungen f a b c, f 6a b. Aus den Bedingungen werden Gleichungen, siehe hierzu auch Kapitel Vokabular der Graph geht durch den Koordinatenursprung bedeutet liegt auf dem Graphen, also f a b cd d. (Das wird im Folgenden auch direkt verwendet und eingesetzt!) Minimum bei f a bc I a bc W 7 ist Wendepunkt 7 f 6a b II a b W liegt dann natürlich/zwangsläufig auch auf dem Graphen f a b c III a 6b 9c Das Gleichungssstem wird dann gelöst [] I a bc II a b III a 6b 9c IV III 9 I a b V IV 6II a a in II b b a und b in I c c zusammen f. Das Ergebnis wird schließlich überprüft (wirklich nachrechnen!) f stimmt! f und und f f (Bedingung für Minimum) stimmt! f stimmt! 7 Ans WBG 7

3 Seite von 7 Vokabular Vergleiche hierzu die entsprechenden Ansätze bei der Kurvendiskussion []. ganzrationale Funktion zweiten Grades f a b c mit zu bestimmenden a, b, c ganzrationale Funktion dritten Grades f a b c d mit zu bestimmenden a, b, c, d ganzrationale Funktion vierten, fünften, Grades analog. Achsensmmetrie alle a, b, bei mit ungeradem Eponenten sind Punktsmmetrie alle a, b,, die nicht bei einem mit ungeradem Eponenten stehen, sind Koordinatenursprung Punkt Punkt P p p liegt auf dem Graphen f p Punkt p P p p ist Min/Ma f p p und Punkt f p P p p ist Wendepunkt f p p und Punkt f p P p p ist Sattelpunkt f p p und und f p f p Nullstelle bei p f p Min/Ma/Etremstelle bei p Wendestelle bei p Sattelstelle bei p f p f p und f p f p der Graph (die Tangente an den Graph) hat bei der Graph (die Tangente) hat im Punkt p die Steigung m f p m P p p die Steigung m f p p und f p m die zweite Ableitung hat bei p den Wert w [ ] f p w Ans WBG 7

4 Seite von 7 Aufgaben Aufgabe. Hilf dem Sheriff Welche Funktion sucht er auf dem Steckbrief ganz am Anfang? Aufgabe. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, deren Graph bei eine Nullstelle aufweist und der in M ein Minimum hat. Aufgabe. Wir hätten gerne eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph in W einen Wendepunkt und ein Maimum in M hat. Aufgabe. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch den Koordinatenursprung und hat in S einen Sattelpunkt. Wie lautet die Funktion? Aufgabe. Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph achsensmmetrisch zur -Achse verläuft, diese bei schneidet und in M ein Maimum hat. Aufgabe 6. Welche ganzrationale Funktion kleinstmöglichen Grades hat einen Graphen, der punktsmmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft und in S einen Sattelpunkt hat? Aufgabe 7. Die Skizze zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. a) Lies relevante Punkte ab, stelle Bedingungen auf. b) Finde damit den Funktionsterm. c) Überprüfe Dein Ergebnis Aufgabe 8. Die Skizze zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion vierten Grades. a) Lies relevante Punkte ab, stelle Bedingungen auf. b) Finde damit den Funktionsterm. c) Überprüfe Dein Ergebnis Ans WBG 7

5 Seite von 7 Aufgabe 9. Zwei gerade Straßenstücke sollen durch eine Kurve miteinander verbunden werden Da steckt eine ganze Menge Mathematik drin! Am Übergabepunkt P, wo die Straße von der Geraden g in die Kurve k übergeht (und umgekehrt), müssen drei Bedingungen erfüllt sein g k g k. Das ist klar, denn andernfalls hätte die Straße dort einen Sprung.. Das bedeutet, dass die Straße hier keinen Knick hat andernfalls bräuchte man nämlich überhaupt keine Kurve und könnte die Straße einfach zur Seite wegknicken lassen. k. Richtig, die Kurve hat am Übergabepunkt P einen Wendepunkt! Das stellt sicher, dass ein Fahrer das Lenkrad langsam in die Kurve hineindrehen kann und es nicht plötzlich im Punkt P herumreißen muss (Unfallgefahr!). Im Folgenden müssen alle drei Bedingungen sowohl am Anfang als auch am Ende der Kurve erfüllt sein. Die Gerade g geht durch die Punkte A B, die Gerade h und durch die Punkte C und D 7. Die Kurve k soll B mit C verbinden Bestimme den Funktionsterm für k (Ansatz ganzrationale Funktion vom Grad, auch wenn das Ergebnis nur Grad haben wird) Ans WBG 7

6 Seite 6 von 7 Lösungen der Aufgaben Lösungshinweis Aufgabe. Punktsmm. b d Aufgabe. I ac 6 II 8a c I abc II ab III a b c Aufgabe. d I abc II a bc III 6a b Aufgabe. Achsensmm. b d e I 6a c II a c Aufgabe. WP b, d I ac II ac Aufgabe 7. z. Bsp. Nst., Ma, WP, Min6 Aufgabe 8. z. Bsp. Nst,, SP Aufgabe 9. Aufgabe 6. Grad Punktsmm. b d f I ac e II a c e III a 6c k, k, k, k, k, k Lösung Funktionsgleichung Aufgabe. f 9 Aufgabe. f f Aufgabe. f Aufgabe. Aufgabe. f 7 Aufgabe 6. 8 f 8 8 f Aufgabe f 8 Aufgabe k Aufgabe 9. Ans WBG 7

7 Seite 7 von 7 Literatur [] Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion (Übungsblatt, Ans) [] Übungsblatt zum Lösen von Linearen Gleichungssstemen (Übungsblatt, Ans) Ans WBG 7