Einführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005

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1 Einführung in die Integralrechnung Mag. Mone Denninger. November 5

2 INHALTSVERZEICHNIS 8. Klasse Inhaltsverzeichnis Einleitung Berechnung einfacher Stammfunktionen. Integrationsregeln Bestimmtes Integral 7 Umkehraufgaben 8 5 Flächeninhalt krummlinig begr. Flächen 5. Flächeninhalt zwischen einer Funktion und der x-achse Unter- und Obersumme Negativer Flächeninhalt Flächeninhalt von Fkt., die teils oberhalb, teils unterhalb der x- Achse liegen Flächeninhalt oberhalb der Kurve 7 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven 5 8 Volumsberechnungen 8 Integralrechnung

3 EINLEITUNG 8. Klasse Einleitung Eine Funktion F (x) heißt Stammfunktion einer reellen Funktion f(x), wenn an jeder Stelle von D f gilt: F (x) f(x). Das Aufsuchen einer Stammfunktion von f(x) heißt unbestimmtes Integrieren und kann als Umkehroperation zum Differenzieren gedeutet werden. differenzieren f(x) x f (x) x integrieren f(x)... Stammfunktion (die Stammfunktion wird oft mit einem Großbuchstaben gekennzeichnet: F (x) f(x).) Schreibweise: x dx x Problem: Differenziere: y x y x y x + 5 y x + C y x Eine Ableitung kann mehrere (nur von einer Konstanten C unterschiedliche) Stammfunktionen haben. Allgemein: Integral {}}{ Integrand {}}{ Integrationsvariable {}}{ dx f(x) } {{ } unbestimmtes Integral F (x) + C }{{} Integrationskonstante (C R) Integralrechnung

4 BERECHNUNG EINFACHER STAMMFUNKTIONEN 8. Klasse Berechnung einfacher Stammfunktionen Beispiel. dx x + C Beispiel. x dx x + C Beispiel. k x 5 dx k x6 6 + C Beispiel. cos x dx sin x + C. Integrationsregeln Umkehrung der Potenzregel: (x n ) n x n x n dx xn+ + C (n Q, n ) n + Konstanter Faktor: (k x) k k dx k x + C allgemein: (a f(x)) a f (x) a f(x) dx a f(x) dx Summenregel: (f(x) ± g(x)) f (x) ± g (x) f(x) ± g(x) dx f(x) dx ± g(x) dx Trigonometrische Funktionen: Sinus und Kosinus (sin(x)) cos x cos x dx sin x + C (cos(x)) sin x sin x dx cos x + C Siehe Formelheft S + 5!!! Integralrechnung

5 BERECHNUNG EINFACHER STAMMFUNKTIONEN 8. Klasse Spezialfall: x n dx für n : x dx x dx Welche Funktion ergibt abgeleitet x? dx ln x + C (x ) x Beispiel 5. Berechne die unbestimmten Integrale! x 7 dx x8 8 + C x 9 x dx C 5 5 6x dx 6 6 x 6 dx 5 6 x 5 ( 5) + C 6x + C 5 Beispiel 6 (d). Das gegebene unbestimmte Integral ist zu berechnen! S6 abc 7 5 x dx 7 x 5 dx 7 x C x C 5 x 5 x + C Integralrechnung 5

6 BERECHNUNG EINFACHER STAMMFUNKTIONEN 8. Klasse Beispiel 7. Berechne das unbestimmte Integral! 7 8 (x sin x + cos x) dx x + cos x + sin x + C Beispiel 8. Berechne das unbestimmte Integral! x x dx x x x dx x dx x x + C x + x + C Beispiel 9. Berechne das unbestimmte Integral! 5 6 ( ) x dx x dx x x dx x ln x + C Integralrechnung 6

7 BESTIMMTES INTEGRAL 8. Klasse Bestimmtes Integral Ist f(x) eine auf [a; b] beschränkte reelle Funktion und F (x) auf [a; b] Stammfunktion von f(x), so wird dem Symbol b a f(x) dx der Zahlenwert F (b) F (a) zugeordnet: b a f(x) dx F (b) F (a) Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Man liest b a f(x) dx als Integral von f von x dx zwischen (den Grenzen) a und b. Man schreibt als Zwischenergebnis für F (b) F (a) auch F (x) b a oder [F (x)]b a. Bei bestimmten Integralen wird wegen [F (b) + C] [F (a) + C] F (b) F (a) die Stammfunktion F ohne Integrationskonstante C angeschrieben. Integralrechnung 7

8 UMKEHRAUFGABEN 8. Klasse Umkehraufgaben Wir haben beim Differenzieren in der 7. Klasse gelernt, dass man nicht nur nach x ableiten kann, sondern auch nach anderen Variablen. Selbige gilt beim Integrieren! Die Integrationsvariable gibt an, nach welcher Variable integriert wird. Beispiel (7). Welcher Interschied besteht zwischen ax dx und ax da? 8 9 ax da a x ax dx a x a a x x Beispiel (b). Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung p dp 7 in R! x p x 7 x 7 x x ± L { ; } c d Beispiel (d). Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung x ( + y) dy 6 e in R! dz z ] x [y + y 6 [ln z ] e x + x 6 [ln e ln ] }{{}}{{} x + x 6 x + x x, ± + x x 6 L { 6; } bis 5a Integralrechnung 8

9 UMKEHRAUFGABEN 8. Klasse Beispiel (c). Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung ( x y y + ) dy 7 in R! ( y y + ) dy 7 x [ ] y y + y 7 x ( ) ( ) 8 x + 6 x + x 7 x x + x 7 x x + 9x 7 erste Lösung erraten: x Polynomdivision: ( x x + 9x 7 ) : (x ) x x + 7 x x x + 9x x + x 7x 7 7x 7 R. x x + 7 x, ± 7 ± 6 / R keine weiteren Lösungen L {} Integralrechnung 9

10 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse 5 Flächeninhalt krummlinig begr. Flächen 5. Flächeninhalt zwischen einer Funktion und der x-achse Beispiel. Berechne den Flächeninhalt der Fläche zwischen y x und der x-achse von x bis x : f(x) x. Möglichkeit: Kästchen abzählen. Möglichkeit: Flächeninhalt Trapez A 6 cm A A (a + c) h ( + ) 6 cm. Möglichkeit: bestimmtes Integral b a f(x) dx F (b) F (a) x dx x 6 6 cm Integralrechnung

11 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse 5. Unter- und Obersumme Um den Flächeninhalt zwischen einer Kurve und der x-achse berechnen zu können, kann ich diesen Flächeninhalt näherungsweise durch Rechtecke berechnen. Man teilt das Intervall [a; b] in n gleiche Teile der Länge h. In der folgenden Abbildung habe ich den Flächeninhalt der Funktion f(x) (x ) + im Intervall [ ; 6] durch ein Rechteck, das unterhalb der Funktion liegt (grün) und ein Rechteck, das genau so hoch ist wie der größte Funktionswert dieser Funktion im Intervall [ ; 6], angenähert. Das grüne Rechteck (Untersumme) hat einen Flächeninhalt von U 8 8 und das rote Rechteck (Obersumme) einen Flächeninhalt von O 8 5. Diese beiden Werte liegen noch sehr weit auseinander, doch die tatsächliche Größe des Flächeninhalts zwischen Kurve und x-achse liegt mit Sicherheit dazwischen. U n A b a O n Integralrechnung

12 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse Wir teilen das Intervall in gleich lange Teile: Die Breite eines solchen Rechtecks ist nun h b a. Die Höhen bei der Unternumme jeweils der niedrigste Funktionswert im Intervall und bei der Obersumme jeweils der höchste Funktionswert im Intervall: n 6+ U h f(a + h) + h f(a + h) + h f(a + h) + h f(a + h) f() + f() + f() + f() O h f(a) + h f(a + h) + h f(a + h) + h f(a + h) f( ) + f() + f() + f(6) Dementsprechend kann man das Intervall [a; b] in immer mehr Rechtecke einteilen und man wird immer enger beisammen liegende Werte für die Ober- und Untersumme erhalten. Integralrechnung

13 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse Je kleiner h (also umso mehr Intervalle n), desto geringer wird der Fehler zwischen O n, U n und dem tatsächlichen Flächeninhalt. Geht also die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich, so gehen die Ober- sowie auch die Untersumme gegen den Flächeninhalt: lim U n A lim O n n n Integralrechnung

14 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse Beispiel 5. Berechne den Flächeninhalt zwischen der Funktion f(x) x und der x-achse im Intervall [; b]. () Zerlege das Intervall [; b] in n gleiche Teilintervalle der Länge h b n. () (a) Die Obersumme ist die Summe der zu großen Rechtecke: Näherungsweises Berechnen der Fläche aller Rechtecksstreifen aus () mittels Rechtecksflächen, die oberhalb der Funktion liegen. Der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks wird berechnet durch Teilintervalllänge h mal größtem Funktionswert im betrachteten Intervall: O n f(h) h + f(h) h + f(h) h + + f(n h) h h + h + 9h + + n h h ( n ) h n(n + )(n + ) 6 h n + n n n ( ) 6 b n n n n 6 b 6 n n n n Anm.: n n(n+)(n+) 6 Integralrechnung

15 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse (b) Die Untersumme ist die Summe der zu kleinen Rechtecke: Näherungsweises Berechnen der Fläche aller Rechtecksstreifen aus () mittels Rechtecksflächen, die unterhalb der Funktion liegen. Der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks wird berechnet durch Teilintervalllänge h mal kleinstem Funktionswert im betrachteten Intervall: U n f() h + f(h) h + f(h) h + + f((n )h) h + h h + h h + + (n ) h h h ( (n ) ) h (n )((n ) + )((n ) + ) 6 h (n )n(n ) 6 h n n n n ( ) 6 b n n n n 6 b 6 n n n n Integralrechnung 5

16 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse () Durch eine Verfeinerung der Intervalleinteilung (d.h. durch eine Vergrößerung der Anzahl n der Teilintervalle) ergibt U n bzw. O n einen verbesserten Näherungswert für die gesuchte Fläche. (a) Es strebt O n mit n gegen die gesuchte Fläche. Für n ergibt sich: lim O b n lim n n 6 n n n n b lim n 6 n n n n n n n n b lim n 6 n n b 6 b (b) Es strebt U n mit n gegen die gesuchte Fläche. Für n ergibt sich: lim U b n lim n n 6 n n n n b lim n 6 n n b 6 b () Wenn der Fall eintritt, dass lim n U n lim n O n, dann wird der gemeinsame Grenzwert als Fläche gedeutet: A b b (5) Mittels Hauptsatz der Integralrechnung ergbt sich: b a f(x) dx b x dx x b b b (6) Die Ergebnisse aus () und (5) stimmen überein, d.h. Flächenberechnungen können unter bestimmten Voraussetzungen mittels Integralrechnung erfolgen. Integralrechnung 6

17 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse Beispiel 6. Berechne den Flächeninhalt zwischen der Funktion f(x) x und HÜ der x-achse im Intervall [; b]. () Zerlegen des Intervalls [; b] in n gleiche Teilintervalle der Länge h b n. () (a) Näherungsweises Berechnen der Fläche aller Rechtecksstreifen aus () mittels Rechtecksflächen, die unterhalb der Funktion liegen (Untersumme U n ). Flächeninhalt eines solchen Rechtecks: Teilintervalllänge h mal kleinstem Funktionswert im betrachteten Intervall. U n f() h + f(h) h + f(h) h + + f((n )h) h + h h + 8h h + + (n ) h h h ( (n ) ) [ ] (n ) h (n ) (n ) + + [ ] b (n ) n (n ) (n ) + + [ (n ) ] b (n ) (n ) + + n n n (b) Näherungsweises Berechnen der Fläche aller Rechtecksstreifen aus () mittels Rechtecksflächen, die oberhalb der Funktion liegen (Obersumme O n ). Flächeninhalt eines solchen Rechtecks: Teilintervalllänge h mal größtem Funktionswert im betrachteten Intervall. O n f(h) h + f(h) h + f(h) h + + f(n h) h h + 8h + 7h + + n h h [ n ] [ ] n h + n + n [ ] b n n + n + n b + b n + b n ( b + n + n ) Anm.: n n + n + n Integralrechnung 7

18 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse () Durch eine Verfeinerung der Intervalleinteilung (d.h. durch eine Vergrößerung der Anzahl n der Teilintervalle) ergibt U n bzw. O n einen verbesserten Näherungswert für die gesuchte Fläche. (a) Anschaulich strebt U n mit n gegen die gesuchte Fläche. Für n ergibt sich: [ (n lim U b ) ] n lim n n (n ) (n ) + + n n n b [ + + ] b (b) Anschaulich strebt O n mit n gegen die gesuchte Fläche. Für n ergibt sich: lim O b n lim n n ( + }{{} n + n }{{} ) b ( + + ) b () Wenn der Fall eintritt, dass lim n U n lim n O n, dann wird der gemeinsame Grenzwert als Fläche gedeutet: A b b (5) Mittels Hauptsatz der Integralrechnung ergbt sich: b a f(x) dx b x dx x b b b (6) Die Ergebnisse aus () und (5) stimmen überein, d.h. Flächenberechnungen können unter bestimmten Voraussetzungen mittels Integralrechnung erfolgen. Integralrechnung 8

19 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse 5. Negativer Flächeninhalt Beispiel 7. x 5x x dx x 5 dx ( ) x 5x ( ) 6 ( + ) Was bedeutet ein negativer Flächeninhalt? Skizze: f(x) x 5x x x 5 für x Lücke bei x Negativer Flächeninhalt bedeutet, dass die Fläche unter der x-achse liegt! Integralrechnung 9

20 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse 5. Flächeninhalt von Fkt., die teils oberhalb, teils unterhalb der x-achse liegen Durchsetzt der Graph von f(x) im vorgegebenen Intervall die x-achse, so wird das ursprüngliche Integrationsintervall durch die Nullstellen von f(x) in Teilintervalle aufgespaltet. Das Ermitteln möglicher Nullstellen von f(x) im vorgegebenen Intervall ist daher stets vor der Flächenberechnung durchzuführen! Beispiel 8. Gegeben ist die Funktion f(x) x 5x + 6. Ermittle den Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-achse im Intervall [; ] Skizze: Nullstellen: x 5x + 6 x, 5 ± ± x x A ( x 5x + 6 ) dx A + A + A A ( x 5x + 6 ) dx ( x ( 8 ) + ( x ) 5 6 ) + 6x Für den mittleren Flächeninhalt (A ) gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder wir subtrahieren den Flächeninhalt (da er negativ ist!), oder wir vertauschen die Grenzen! A ( x 5x + 6 ) ( x dx 5x ) ( 7 5 ) ( 8 + ) + 6x A ) + 6x ( x 5x + 6 ) ( x dx 5x ) ( 7 5 ) ( Integralrechnung

21 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse A ( x 5x + 6 ) dx A + A + A E bis 6a Wichtig! Wiederhole das Aussehen verschiedener Funktionen! f(x) x f(x) x f(x) (x + ) f(x) x f(x) x Als Hilfe dienen folgende Übersichten: Integralrechnung

22 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse Beispiel 9 (6cdh). Der grün unterlegte Flächeninhalt A ist als bestimmtes 6 Integral so anzugeben, dass eine numerische Auswertung ein positives Integral liefert: Rest 7 bis a (a) A a b (b) A c f(x) dx g(x) dx (c) A d h(x) dx + e d h(x) dx (d) A g f (e) A h i (f) A j i(x) dx j(x) dx k(x) dx (g) A l o(x) dx + l m o(x) dx (h) A p t(x) dx + p q t(x) dx + r q t(x) dx + r s t(x) dx Integralrechnung

23 5 FLÄCHENINHALT KRUMMLINIG BEGR. FLÄCHEN 8. Klasse Beispiel (b). Berechne die Fläche A zwischen der Funktion f(x) x x +, der x-achse und den Ordinaten in den Punkten x und x.. Nullstellen berechnen: x x +. Flächenberechnung: A f(x) dx x, ± 9 ± x x f(x) dx + f(x) dx ( x x + ) ( dx x x + ) dx+ ( + x x + ) dx [ ] x [ ] x x + x + x + x + [ ] x + x + x [ ] [( + + ) ( [( ) ( )] + [ ] [( ) ( )] [( ) ( )] E )] Integralrechnung

24 6 FLÄCHENINHALT OBERHALB DER KURVE 8. Klasse 6 Flächeninhalt oberhalb der Kurve Beispiel (). Die grün unterlegte Fläche ist rechnerisch zu ermitteln. a bis d (f) Wir berechnen zuerst das gesamte Rechteck und subtrahieren anschließend die Fläche zwischen der Funktion und der x-achse: (g) A ( ) x dx 5 [ln x ] [ 5 ln ln ] 5 ln 6. E A x dx ] 8 [x x 8 [(8 8 ] ) 8 E Integralrechnung

25 7 FLÄCHENINHALT ZWISCHEN ZWEI KURVEN 8. Klasse 7 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven Um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven zu berechnen, berechnet man zuerst den Flächeninhalt wzischen der oberen Kurve und der x-achse und diesen anschließend minus dem Flächeninhalt zwischen der unteren Kurve und der x-achse. A A g A f b a g(x) dx b a f(x) dx b a [g(x) f(x)] dx a und b sind dabei die Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x). Liegt die zu berechnende Fläche A nicht zur Gänze oberhalb der x-achse, d.h. f(x) und g(x) haben in [a; b] sowohl positive, als auch negative Funktionswerte, so kann A durch eine Schiebung parallel zur y-achse in eine Lage nur überhalb der x-achse gebracht werden: Wegen (s R) und f (x) f(x) s g (x) g(x) s f (x) g (x) [f(x) s] [g(x) s] f(x) s g(x) + s f(x) g(x) ergibt sich die gesuchte Fläche aus A A b a (f(x) g(x)) dx Integralrechnung 5

26 7 FLÄCHENINHALT ZWISCHEN ZWEI KURVEN 8. Klasse Beispiel (). Die grün unterlegte Fläche ist als bestimmtes Integral so anzugeben, dass eine numerische Auswertung ein positives Resultat liefert: (a)... Integralrechnung 6

27 7 FLÄCHENINHALT ZWISCHEN ZWEI KURVEN 8. Klasse Beispiel. Berechne den Inhalt der endlichen Fläche, die von den Graphen der Funktionen f(x) x + 5 und g(x) 8 x + eingeschlossen wird. () Integrationsgrenzen (Schnittpunkt der Graphen) [a; b] [ 8; ] () Flächenberechnung A f(x) g(x) f(x) g(x) x x b a 8 8 x x + x + x (x )(x + 8) x x 8 (f(x) g(x)) dx ( 8 x ) x + dx ( 8) [ x ] x + x 8 [ 6 ] [ ] [ ] [ 8 8 ] 6 E Integralrechnung 7

28 8 VOLUMSBERECHNUNGEN 8. Klasse 8 Volumsberechnungen Rotation um die x-achse: V x π b a y dx Rotation um die y-achse: V y π f(b) f(a) x dy Integralrechnung 8

29 8 VOLUMSBERECHNUNGEN 8. Klasse Beispiel (9h). Welches Volumen V entsteht, wenn die von f(x) x + und g(x) 7x eingeschlossene endliche Fläche um die y-achse rotiert? Schnittpunkte: f(x) g(x) x + 7x x 7x + x, 7 ± 9 x f(x) und g(x) jeweils nach x umformen: 7 ± 5 x S ( ) S ( 9) g(x) 7x y + 7x f(x) x + y x x y x y 7 + ( 7 y x ) x y y + 9 x 9 (y + y + ) Obere minus untere Funktion: x f x g y 9 (y + y + ) y y Integralrechnung 9

30 8 VOLUMSBERECHNUNGEN 8. Klasse Volumen: V y π π 9 9 [ y x dy ( y y 57 ) 98 π y y [ 69 π ] π E ] 9 dy Integralrechnung